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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis4,00 €8,00 €20,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
    2. Lücke: 10 · 4,00 € = 40,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis4,00 €8,00 €20,00 €? 40,00 €
      y : x4444

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 10 · 4,00 €.

    Ergebnis:
    40,00 €
  2. ●40
    Ein Wasserhahn füllt in 3 Minuten 24 Liter in die Wanne. Wie viel Liter sind es nach 6 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. MinutenLiter
    2. 3 Minuten→24 Liter
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Minute→24 Liter : 3 = 8 Liter
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→8 Liter · 6 = 48 Liter
    Ergebnis:
    48 Liter

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 3 von 4 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 9 von 10 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe3 von 4zweite Gruppe9 von 10
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 34
  2. Herr Ott: 910
  3. Gleicher Nenner 20: 1520 und 1820
  4. 1820 ist mehr: Herr Ott.
  1. Frau Kaya: 34
  2. Herr Ott: 910
  3. Gleicher Nenner 20: 1520 und 1820
  4. 1820 ist mehr: Herr Ott.
Ergebnis:
Herr Ott

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Beet von Frau Kaya sind 10 von 20 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 5 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe10 von 20zweite Gruppe5 von 12
    So fängst du an:
    Frau Kaya: 1020 = 12
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 1020 = 12
    2. Herr Ott: 512
    3. Gleicher Nenner 60: 3060 und 2560
    4. 3060 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya
  2. ●2
    In Tüte A sind 9 von 25 Bonbons rot, in Tüte B 3 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe9 von 25zweite Gruppe3 von 5
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 925
    2. Tüte B: 35
    3. Gleicher Nenner 25: 925 und 1525
    4. 1525 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  3. ★3
    Im Beet von Frau Kaya sind 4 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 9 von 32 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe4 von 12zweite Gruppe9 von 32
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 412 = 13
    2. Herr Ott: 932
    3. Gleicher Nenner 96: 3296 und 2796
    4. 3296 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Himbeerlimonade rührt Can 1 Löffel Sirup in 4 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 1 : 4
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 1 : 4
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 1 : 4
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 1 : 4
Ergebnis:
1 : 4

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 1 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 1
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 1
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 4 : 1
    Ergebnis:
    4 : 1
  2. ●5
    Für Saftschorle mischt Emil 2 Gläser Saft mit 4 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 2 : 4
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 2
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 2
    Ergebnis:
    1 : 2
  3. ★6
    Für ein helles Grün mischt Pia 6 Becher gelbe Farbe mit 10 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Blau zu Gelb mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Blau, dann Gelb: 10 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 3
    3. Verhältnis Blau zu Gelb: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Saft?
Schritt für Schritt
  1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
  3. Saft: 5 von 7 Teilen, also 57
  1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
  3. Saft: 5 von 7 Teilen, also 57
Ergebnis:
57

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 47 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    So fängst du an:
    4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    Lösung zeigen
    1. 4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 4 + 7 = 11 Teile.
    3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 411
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 15 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 5 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 5 = 6 Teile.
    3. Saft: 1 von 6 Teilen, also 16
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 16
  3. ★9
    Zement und Sand werden im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7 heißt: 3 Teile Zement, 7 Teile Sand.
    2. Zusammen: 3 + 7 = 10 Teile
    3. Zement: 3 von 10 Teilen, also 310
    Ergebnis:
    310

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig: 300 g Mehl und 50 ml Milch. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 5
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 50 · 5 = 250
  1. Faktor: 5
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 50 · 5 = 250
Ergebnis:
250 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Mörtel nimmt man 1 Eimer Zement auf 3 Eimer Sand. Tim nimmt 4 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    So fängst du an:
    4 : 1 = 4 – also 4-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 4 : 1 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Eimer
  2. ●11
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 450 g Mehl auf 150 ml Milch. Tim nimmt 900 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 900 : 450 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 150 · 2 = 300
    Ergebnis:
    300 ml
  3. ★12
    Für Pfannkuchenteig: 750 g Mehl und 450 ml Milch. Die Menge soll 2,5-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 2,5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 450 · 2,5 = 1125
    Ergebnis:
    1125 ml

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 40 cm wird im Verhältnis 2 : 3 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 40 : 5 = 8
  3. erstes Stück: 2 · 8 = 16
  4. zweites Stück: 3 · 8 = 24
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 40 : 5 = 8
  3. erstes Stück: 2 · 8 = 16
  4. zweites Stück: 3 · 8 = 24
Ergebnis:
16 cm und 24 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ina und Ole teilen 36 € im Verhältnis 4 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    So fängst du an:
    Teile: 4 + 5 = 9
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 5 = 9
    2. Ein Teil: 36 : 9 = 4
    3. Ina: 4 · 4 = 16
    4. Ole: 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    Ina 16 €, Ole 20 €
  2. ●14
    Ein Band von 49 cm wird im Verhältnis 2 : 5 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 49 : 7 = 7
    3. erstes Stück: 2 · 7 = 14
    4. zweites Stück: 5 · 7 = 35
    Ergebnis:
    14 cm und 35 cm
  3. ★15
    Drei Freunde teilen 24 € Gewinn aus dem Flohmarkt im Verhältnis 1 : 3 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil3. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 + 4 = 8
    2. Ein Teil: 24 : 8 = 3
    3. 1 · 3 = 3, 3 · 3 = 9, 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    3 €, 9 €, 12 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Eimer A enthält 3 Becher rote Farbe auf 5 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 2 Becher rote Farbe auf 6 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 3 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 3/8.
  2. Eimer B: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
  3. Gleicher Nenner 8: 38 und 28
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
  1. Eimer A: 3 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 3/8.
  2. Eimer B: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
  3. Gleicher Nenner 8: 38 und 28
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
Ergebnis:
Eimer A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eimer A: 3 Becher rote Farbe und 2 Becher weiße Farbe. Eimer B: 2 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 3 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 3/5.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 3 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 3/5.
    2. Eimer B: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
    3. Gleicher Nenner 40: 2440 und 1040
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  2. ●17
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 3 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser, Krug B hat 1 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 3 von 6 Teilen sind Saft, also 3/6.
    2. Krug B: 1 von 3 Teilen sind Saft, also 1/3.
    3. Gleicher Nenner 6: 36 und 26
    4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
    Ergebnis:
    Krug A
  3. ★18
    Eimer A: 1 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe. Eimer B: 1 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 1/7.
    2. Eimer B: 1 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 1/5.
    3. Gleicher Nenner 35: 535 und 735
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 6 : 7. In der Gruppe sind 21 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 6 : 7: auf 7 Mädchen kommen 6 Jungen.
  2. 21 : 7 = 3
  3. Jungen: 6 · 3 = 18
  1. 6 : 7: auf 7 Mädchen kommen 6 Jungen.
  2. 21 : 7 = 3
  3. Jungen: 6 · 3 = 18
Ergebnis:
18 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 6 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 8 zu ___ → 6,75
So richtig
Welche Zahl fehlt? 6 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 8 zu ___ → 12

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 3 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 6 Liter Blau?
    GelbBlau
    So fängst du an:
    5 : 3: auf 3 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3: auf 3 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    2. 6 : 3 = 2
    3. Gelb: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 Liter
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 6 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 8 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 6 : 9 wird zu 2 : 3
    2. 8 ist 4-mal 2.
    3. Also 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★21
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 3 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 4,5 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3: auf 3 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    2. 4,5 : 3 = 1,5
    3. Gelb: 5 · 1,5 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5 Liter

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 32 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Schorle: 32 · 0,25 = 8
  2. Teile: 1 + 3 = 4
  3. Ein Teil: 8 : 4 = 2
  4. Saft: 1 · 2 = 2
  1. Schorle: 32 · 0,25 = 8
  2. Teile: 1 + 3 = 4
  3. Ein Teil: 8 : 4 = 2
  4. Saft: 1 · 2 = 2
Ergebnis:
2 Liter

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
20 € im Verhältnis 1 : 4 → 5 € und 15 €
So richtig
20 € im Verhältnis 1 : 4 → 5 Teile, 4 € und 16 €

Leg die Teile hin: 1 Teil und 4 Teile. Zähl sie zusammen, bevor du teilst.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 32 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    So fängst du an:
    Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 3
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 3
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 32 : 4 = 8
    4. Ada: 1 · 8 = 8
    Ergebnis:
    8 €
  2. ●23
    Für eine Gartenmauer braucht man 54 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 54 : 6 = 9 Eimer
    3. Zement: 1 · 9 = 9 Eimer
    4. 9 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27,00 €
  3. ★24
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 84 € ein. Ada hat 4 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 4 : 3
    2. Teile: 4 + 3 = 7
    3. Ein Teil: 84 : 7 = 12
    4. Ada: 4 · 12 = 48
    Ergebnis:
    48 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Im Beet von Frau Kaya sind 7 von 10 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 5 von 25 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe7 von 10zweite Gruppe5 von 25
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 710
    2. Herr Ott: 525 = 15
    3. Gleicher Nenner 50: 3550 und 1050
    4. 3550 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya
  2. ●26
    Team A trifft 7-mal bei 8 Würfen, Team B 9-mal bei 20 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
    Team A7 von 8Team B9 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team A: 78
    2. Team B: 920
    3. Gleicher Nenner 40: 3540 und 1840
    4. 3540 ist mehr: Team A.
    5. Ben hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Team A
  3. ●27
    Für Himbeerlimonade rührt Can 5 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 5 : 2
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 5 : 2
    Ergebnis:
    5 : 2
  4. ●28
    Lena fädelt die Perlen aus dem Bild auf eine Kette. Welches Verhältnis Rot zu Blau hat ihre Kette? Kürze.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 10 Perlen, Blau: 6 Perlen
    2. Rot zu Blau: 10 : 6
    3. Durch 2 teilen: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 56 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 5 + 6 = 11 Teile.
    3. Saft: 5 von 11 Teilen, also 511
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 511
  6. ●30
    Für Mörtel nimmt man 3 Eimer Zement auf 5 Eimer Sand. Tim nimmt 15 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 15 : 3 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 2 von 20 Bonbons rot, in Tüte B 4 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 20zweite Gruppe4 von 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte B

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Himbeerlimonade rührt Can 2 Löffel Sirup in 6 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 3

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    16 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 5

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle: 3 Becher Saft und 1 Becher Wasser. Die Menge soll 2-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Lea und Max teilen 35 € im Verhältnis 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    LeaMax
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lea 10 €, Max 25 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 1 Becher rote Farbe auf 5 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 2 Becher rote Farbe auf 4 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Eimer B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 3 zu 15 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 32 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Frau Kaya
  2. Tüte B
  3. Frau Kaya
  4. 4 : 1
  5. 1 : 2
  6. 5 : 3
  7. nein, 411
  8. nein, 16
  9. 310
  10. 12 Eimer
  11. 300 ml
  12. 1125 ml
  13. Ina 16 €, Ole 20 €
  14. 14 cm und 35 cm
  15. 3 €, 9 €, 12 €
  16. Eimer A
  17. Krug A
  18. Eimer B
  19. 10 Liter
  20. 12
  21. 7,5 Liter
  22. 8 €
  23. 27,00 €
  24. 48 €
  25. Frau Kaya
  26. nein, Team A
  27. 5 : 2
  28. 5 : 3
  29. nein, 511
  30. 25 Eimer
  31. Tüte B
  32. 1 : 3
  33. 1 : 5
  34. 2 Becher
  35. Lea 10 €, Max 25 €
  36. Eimer B
  37. 25
  38. 28,00 €
  39. 40,00 €
  40. 48 Liter