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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis3,00 €?15,00 €30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis3,00 €? 6,00 €15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 2 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    6,00 €
  2. ●40
    Ein Zug fährt in 5 Stunden gleichmäßig 350 km. Wie lange braucht er für 700 km?
    Lösung zeigen
    1. Stundenkm
    2. 5 Stunden→350 km
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Stunde→350 km : 5 = 70 km
    5. ↓ · 10↓ · 10700 km : 70 km = 10
    6. 10 Stunden→700 km
    Ergebnis:
    10 Stunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 3 von 8 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 5 von 10 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe3 von 8zweite Gruppe5 von 10
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 38
  2. Herr Ott: 510 = 12
  3. Gleicher Nenner 40: 1540 und 2040
  4. 2040 ist mehr: Herr Ott.
  1. Frau Kaya: 38
  2. Herr Ott: 510 = 12
  3. Gleicher Nenner 40: 1540 und 2040
  4. 2040 ist mehr: Herr Ott.
Ergebnis:
Herr Ott

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In Tüte A sind 4 von 8 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 4 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe4 von 8zweite Gruppe1 von 4
    So fängst du an:
    Tüte A: 48 = 12
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 48 = 12
    2. Tüte B: 14
    3. Gleicher Nenner 8: 48 und 28
    4. 48 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  2. ●2
    In Tüte A sind 2 von 12 Bonbons rot, in Tüte B 4 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 12zweite Gruppe4 von 8
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 212 = 16
    2. Tüte B: 48 = 12
    3. Gleicher Nenner 24: 424 und 1224
    4. 1224 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 13 von 16 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 24 von 28 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe13 von 16zweite Gruppe24 von 28
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 1316
    2. Klasse B: 2428 = 67
    3. Gleicher Nenner 112: 91112 und 96112
    4. 96112 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Saftschorle mischt Emil 5 Gläser Saft mit 1 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 5 : 1
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 1
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 5 : 1
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 1
Ergebnis:
5 : 1

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Himbeerlimonade rührt Can 5 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Sirup, dann Wasser: 5 : 2
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 5 : 2
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 5 : 2
    Ergebnis:
    5 : 2
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 10 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 10 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3
  3. ★6
    Für Mörtel nimmt der Maurer 20 Schaufeln Zement und 4 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Sand zu Zement so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sand, dann Zement: 4 : 20
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 1 : 5
    3. Verhältnis Sand zu Zement: 1 : 5
    Ergebnis:
    1 : 5

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Sirup und Wasser werden im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
Schritt für Schritt
  1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Sirup, 2 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
  3. Sirup: 5 von 7 Teilen, also 57
  1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Sirup, 2 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
  3. Sirup: 5 von 7 Teilen, also 57
Ergebnis:
57

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    So fängst du an:
    3 : 5 heißt: 3 Teile Sirup, 5 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 5 heißt: 3 Teile Sirup, 5 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 3 + 5 = 8 Teile
    3. Sirup: 3 von 8 Teilen, also 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 3 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3 heißt: 5 Teile Saft, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 3 = 8 Teile
    3. Wasser: 3 von 8 Teilen, also 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 2 : 1 : 5. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 2 + 1 + 5 = 8
    2. Sand sind 1 von 8 Teilen.
    3. Anteil: 18
    Ergebnis:
    18

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für ein zartes Rosa nimmt man 1 Liter weiße Farbe auf 6 Liter rote Farbe. Tim nimmt 5 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
weiße Farberote Farbe
Schritt für Schritt
  1. 5 : 1 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 6 · 5 = 30
  1. 5 : 1 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 6 · 5 = 30
Ergebnis:
30 Liter

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Mörtel steht im Rezept: 5 Eimer Zement und 6 Eimer Sand. Lea hat 20 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
    ZementSand
    So fängst du an:
    20 : 5 = 4 – also 4-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 20 : 5 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 6 · 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Eimer
  2. ●11
    Für Orangenschorle: 3 Becher Saft und 2 Becher Wasser. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 4
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 2 · 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Becher
  3. ★12
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 1000 g Mehl auf 800 ml Milch. Tim macht weniger und nimmt nur 500 g Mehl. Wie viel Milch braucht er?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis kürzen: 1000 : 800 wird zu 250 : 200
    2. 500 : 250 = 2
    3. 200 · 2 = 400
    Ergebnis:
    400 ml

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 77 cm wird im Verhältnis 1 : 6 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 6 = 7
  2. Ein Teil: 77 : 7 = 11
  3. erstes Stück: 1 · 11 = 11
  4. zweites Stück: 6 · 11 = 66
  1. Teile: 1 + 6 = 7
  2. Ein Teil: 77 : 7 = 11
  3. erstes Stück: 1 · 11 = 11
  4. zweites Stück: 6 · 11 = 66
Ergebnis:
11 cm und 66 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 70 cm wird im Verhältnis 1 : 6 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 6 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 6 = 7
    2. Ein Teil: 70 : 7 = 10
    3. erstes Stück: 1 · 10 = 10
    4. zweites Stück: 6 · 10 = 60
    Ergebnis:
    10 cm und 60 cm
  2. ●14
    Ein Band von 8 cm wird im Verhältnis 1 : 3 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 8 : 4 = 2
    3. erstes Stück: 1 · 2 = 2
    4. zweites Stück: 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    2 cm und 6 cm
  3. ★15
    Lea und Max teilen 21 € im Verhältnis 3 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    LeaMax
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 4 = 7
    2. Ein Teil: 21 : 7 = 3
    3. Lea: 3 · 3 = 9
    4. Max: 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    Lea 9 €, Max 12 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Eimer A enthält 3 Becher rote Farbe auf 6 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 4 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 3 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 3/9.
  2. Eimer B: 4 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 4/7.
  3. Gleicher Nenner 63: 2163 und 3663
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
  1. Eimer A: 3 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 3/9.
  2. Eimer B: 4 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 4/7.
  3. Gleicher Nenner 63: 2163 und 3663
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
Ergebnis:
Eimer B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 2 Löffel Himbeersirup auf 1 Löffel Wasser, Kanne B enthält 4 Löffel Himbeersirup auf 4 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    So fängst du an:
    Kanne A: 2 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 2/3.
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 2 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 2/3.
    2. Kanne B: 4 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 4/8.
    3. Gleicher Nenner 24: 1624 und 1224
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A
  2. ●17
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 5 Becher rote Farbe auf 2 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 5 Becher rote Farbe auf 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 5 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 5/7.
    2. Eimer B: 5 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 5/6.
    3. Gleicher Nenner 42: 3042 und 3542
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  3. ★18
    Zwei Mischungen: Krug A enthält 1 Gläser Saft auf 2 Gläser Wasser, Krug B enthält 1 Gläser Saft auf 3 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 1 von 3 Teilen sind Saft, also 1/3.
    2. Krug B: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
    3. Gleicher Nenner 12: 412 und 312
    4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
    Ergebnis:
    Krug A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Welche Zahl fehlt? 15 zu 18 soll dasselbe Verhältnis sein wie 10 zu ___.
Schritt für Schritt
  1. Kürzen: 15 : 18 wird zu 5 : 6
  2. 10 ist 2-mal 5.
  3. Also 6 · 2 = 12
  1. Kürzen: 15 : 18 wird zu 5 : 6
  2. 10 ist 2-mal 5.
  3. Also 6 · 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 6. In der Gruppe sind 12 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    So fängst du an:
    5 : 6: auf 6 Mädchen kommen 5 Jungen.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6: auf 6 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 12 : 6 = 2
    3. Jungen: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 Jungen
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 3. In der Gruppe sind 12 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 12 : 3 = 4
    3. Jungen: 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Jungen
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 2. In der Gruppe sind 16 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 2: auf 2 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 16 : 2 = 8
    3. Jungen: 3 · 8 = 24
    Ergebnis:
    24 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 20 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 4. Wie viel Liter Saft braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Schorle: 20 · 0,25 = 5
  2. Teile: 1 + 4 = 5
  3. Ein Teil: 5 : 5 = 1
  4. Saft: 1 · 1 = 1
  1. Schorle: 20 · 0,25 = 5
  2. Teile: 1 + 4 = 5
  3. Ein Teil: 5 : 5 = 1
  4. Saft: 1 · 1 = 1
Ergebnis:
1 Liter

AchtungAdditiv statt multiplikativ

So nicht
3 Essen 13,50 € → 8 Essen 18,50 €
So richtig
3 Essen 13,50 € → 1 Essen 4,50 € → 8 Essen 36 €

Rechne zuerst auf 1. Nimm dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 63 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 63 : 7 = 9 Eimer
    3. Zement: 2 · 9 = 18 Eimer
    4. 18 · 4,5 = 81
    Ergebnis:
    81,00 €
  2. ●23
    Beim Schulfest werden 16 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 16 · 0,25 = 4
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 4 : 4 = 1
    4. Saft: 1 · 1 = 1
    Ergebnis:
    1 Liter
  3. ★24
    Für Türkis mischt Lina Blau und Grün im Verhältnis 2 : 3. Sie braucht 10 Liter Türkis. Blaue Farbe gibt es in Dosen mit 0,75 Liter. Wie viele Dosen Blau muss sie kaufen?
    BlauGrün
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 10 : 5 = 2 Liter
    3. Blau: 2 · 2 = 4 Liter
    4. 4 : 0,75 ist mehr als 5, also 6 Dosen
    Ergebnis:
    6 Dosen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 5 von 12 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 19 von 20 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe5 von 12zweite Gruppe19 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 512
    2. Klasse B: 1920
    3. Gleicher Nenner 60: 2560 und 5760
    4. 5760 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 1 von 4 Dosen, Ali 3 von 5. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A1 von 4B3 von 5
    Lösung zeigen
    1. Tom: 14
    2. Ali: 35
    3. Gleicher Nenner 20: 520 und 1220
    4. 1220 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für ein helles Grün mischt Pia 3 Becher gelbe Farbe mit 2 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 2
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 2
    Ergebnis:
    3 : 2
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Rot zu Blau an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 10 Perlen, Blau: 4 Perlen
    2. Rot zu Blau: 10 : 4
    3. Durch 2 teilen: 5 : 2
    Ergebnis:
    5 : 2
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 6 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 16 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 6 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 6 = 7 Teile.
    3. Saft: 1 von 7 Teilen, also 17
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 17
  6. ●30
    Für Orangenschorle nimmt man 1 Becher Saft auf 5 Becher Wasser. Tim nimmt 5 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. 5 : 1 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Becher

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 13 von 20 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe13 von 20zweite Gruppe1 von 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 2 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 : 1

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    35 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 : 2

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 5 Liter weiße Farbe und 2 Liter rote Farbe. Lea hat 25 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Liter

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    24 Murmeln werden im Verhältnis 3 : 1 an Lea und Max verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lea 18 Murmeln, Max 6 Murmeln

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Krug A: 4 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser. Krug B: 4 Gläser Saft und 1 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Krug B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 2 : 3. In der Gruppe sind 15 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Jungen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Beim Schulfest werden 60 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Liter

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Tüte A
  2. Tüte B
  3. Klasse B
  4. 5 : 2
  5. 5 : 3
  6. 1 : 5
  7. 38
  8. 38
  9. 18
  10. 24 Eimer
  11. 8 Becher
  12. 400 ml
  13. 10 cm und 60 cm
  14. 2 cm und 6 cm
  15. Lea 9 €, Max 12 €
  16. Kanne A
  17. Eimer B
  18. Krug A
  19. 10 Jungen
  20. 20 Jungen
  21. 24 Jungen
  22. 81,00 €
  23. 1 Liter
  24. 6 Dosen
  25. Klasse B
  26. ja, Ali
  27. 3 : 2
  28. 5 : 2
  29. nein, 17
  30. 25 Becher
  31. Tüte A
  32. 2 : 1
  33. 3 : 2
  34. 10 Liter
  35. Lea 18 Murmeln, Max 6 Murmeln
  36. Krug B
  37. 10 Jungen
  38. 4 Liter
  39. 6,00 €
  40. 10 Stunden