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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis5,00 €?25,00 €50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 2 · 5,00 € = 10,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis5,00 €? 10,00 €25,00 €50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●40
    Beim Training läuft Jamal 2 Runden und legt dabei 400 m zurück. Wie weit sind 8 Runden?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 2 Runden→400 m
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Runde→400 m : 2 = 200 m
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Runden→200 m · 8 = 1600 m
    Ergebnis:
    1600 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In der Klasse A kommen 2 von 8 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
erste Gruppe2 von 8zweite Gruppe4 von 5
Schritt für Schritt
  1. Klasse A: 28 = 14
  2. Klasse B: 45
  3. Gleicher Nenner 40: 1040 und 3240
  4. 3240 ist mehr: Klasse B.
  1. Klasse A: 28 = 14
  2. Klasse B: 45
  3. Gleicher Nenner 40: 1040 und 3240
  4. 3240 ist mehr: Klasse B.
Ergebnis:
Klasse B

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 3 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 3 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 10zweite Gruppe3 von 5
    So fängst du an:
    Klasse A: 310
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 310
    2. Klasse B: 35
    3. Gleicher Nenner 10: 310 und 610
    4. 610 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●2
    Im Beet von Frau Kaya sind 1 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 4 von 10 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe1 von 12zweite Gruppe4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 112
    2. Herr Ott: 410 = 25
    3. Gleicher Nenner 60: 560 und 2460
    4. 2460 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 1 von 30 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 1 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe1 von 30zweite Gruppe1 von 12
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 130
    2. Klasse B: 112
    3. Gleicher Nenner 60: 260 und 560
    4. 560 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Saftschorle mischt Emil 5 Gläser Saft mit 2 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Saft zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 5 : 2
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 2
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 5 : 2
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 2
Ergebnis:
5 : 2

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Himbeerlimonade rührt Can 6 Löffel Sirup in 9 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 9
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 9
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3
  2. ●5
    Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 12 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Saft zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 12
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 6
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 6
    Ergebnis:
    5 : 6
  3. ★6
    Für ein helles Grün mischt Pia 20 Becher gelbe Farbe mit 12 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 20 : 12
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 5 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 35 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Schritt für Schritt
  1. 3 : 5 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 3 + 5 = 8 Teile.
  3. Saft: 3 von 8 Teilen, also 38
  4. Ali hat nicht recht.
  1. 3 : 5 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 3 + 5 = 8 Teile.
  3. Saft: 3 von 8 Teilen, also 38
  4. Ali hat nicht recht.
Ergebnis:
nein, 38

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    14 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    So fängst du an:
    Von 4 Teilen sind 1 rot.
    Lösung zeigen
    1. Von 4 Teilen sind 1 rot.
    2. Blau: 4 − 1 = 3 Teile
    3. Rot zu Blau: 1 : 3
    Ergebnis:
    1 : 3
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 27 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 2 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 2 + 7 = 9 Teile.
    3. Saft: 2 von 9 Teilen, also 29
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 29
  3. ★9
    Zement und Sand werden im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 1 : 2 heißt: 1 Teile Zement, 2 Teile Sand.
    2. Zusammen: 1 + 2 = 3 Teile
    3. Zement: 1 von 3 Teilen, also 13
    Ergebnis:
    13

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig steht im Rezept: 300 g Mehl und 50 ml Milch. Lea hat 1200 g Mehl. Wie viel Milch muss dazu?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. 1200 : 300 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 50 · 4 = 200
  1. 1200 : 300 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 50 · 4 = 200
Ergebnis:
200 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Pfannkuchenteig: 150 g Mehl und 100 ml Milch. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    So fängst du an:
    Faktor: 3
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300 ml
  2. ●11
    Für Orangenschorle nimmt man 3 Becher Saft auf 4 Becher Wasser. Tim nimmt 6 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. 6 : 3 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Becher
  3. ★12
    Für Mörtel nimmt man 15 Eimer Zement auf 25 Eimer Sand. Tim macht weniger und nimmt nur 3 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis kürzen: 15 : 25 wird zu 3 : 5
    2. 3 : 3 = 1
    3. 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Eimer

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

27 Murmeln werden im Verhältnis 4 : 5 an Sara und Tim verteilt. Wie viele bekommt jeder?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 4 + 5 = 9
  2. Ein Teil: 27 : 9 = 3
  3. Sara: 4 · 3 = 12
  4. Tim: 5 · 3 = 15
  1. Teile: 4 + 5 = 9
  2. Ein Teil: 27 : 9 = 3
  3. Sara: 4 · 3 = 12
  4. Tim: 5 · 3 = 15
Ergebnis:
Sara 12 Murmeln, Tim 15 Murmeln

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 63 cm wird im Verhältnis 4 : 3 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 4 + 3 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 3 = 7
    2. Ein Teil: 63 : 7 = 9
    3. erstes Stück: 4 · 9 = 36
    4. zweites Stück: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    36 cm und 27 cm
  2. ●14
    Ein Band von 21 cm wird im Verhältnis 2 : 5 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 21 : 7 = 3
    3. erstes Stück: 2 · 3 = 6
    4. zweites Stück: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    6 cm und 15 cm
  3. ★15
    Drei Freunde teilen 60 € Gewinn aus dem Flohmarkt im Verhältnis 4 : 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil3. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 1 + 5 = 10
    2. Ein Teil: 60 : 10 = 6
    3. 4 · 6 = 24, 1 · 6 = 6, 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    24 €, 6 €, 30 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 3 Gläser Saft und 6 Gläser Wasser, Krug B hat 2 Gläser Saft und 1 Gläser Wasser.
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 3 von 9 Teilen sind Saft, also 3/9.
  2. Krug B: 2 von 3 Teilen sind Saft, also 2/3.
  3. Gleicher Nenner 9: 39 und 69
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 3 von 9 Teilen sind Saft, also 3/9.
  2. Krug B: 2 von 3 Teilen sind Saft, also 2/3.
  3. Gleicher Nenner 9: 39 und 69
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Kanne A: 5 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser. Kanne B: 2 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    So fängst du an:
    Kanne A: 5 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 5/7.
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 5 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 5/7.
    2. Kanne B: 2 von 4 Teilen sind Himbeersirup, also 2/4.
    3. Gleicher Nenner 28: 2028 und 1428
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A
  2. ●17
    Eimer A: 4 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 2 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 4/7.
    2. Eimer B: 2 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 2/7.
    3. Gleicher Nenner 7: 47 und 27
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  3. ★18
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 3 Löffel Himbeersirup auf 1 Löffel Wasser, Kanne B enthält 4 Löffel Himbeersirup auf 2 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 3 von 4 Teilen sind Himbeersirup, also 3/4.
    2. Kanne B: 4 von 6 Teilen sind Himbeersirup, also 4/6.
    3. Gleicher Nenner 12: 912 und 812
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 30 Liter Blau?
GelbBlau
Schritt für Schritt
  1. 2 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 2 Liter Gelb.
  2. 30 : 5 = 6
  3. Gelb: 2 · 6 = 12
  1. 2 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 2 Liter Gelb.
  2. 30 : 5 = 6
  3. Gelb: 2 · 6 = 12
Ergebnis:
12 Liter

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 2 : 7. In der Gruppe sind 35 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    So fängst du an:
    2 : 7: auf 7 Mädchen kommen 2 Jungen.
    Lösung zeigen
    1. 2 : 7: auf 7 Mädchen kommen 2 Jungen.
    2. 35 : 7 = 5
    3. Jungen: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Jungen
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 3. In der Gruppe sind 12 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 12 : 3 = 4
    3. Jungen: 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Jungen
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 2 : 7. In der Gruppe sind 28 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 2 : 7: auf 7 Mädchen kommen 2 Jungen.
    2. 28 : 7 = 4
    3. Jungen: 2 · 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 25 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 3
  2. Teile: 2 + 3 = 5
  3. Ein Teil: 25 : 5 = 5
  4. Ada: 2 · 5 = 10
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 3
  2. Teile: 2 + 3 = 5
  3. Ein Teil: 25 : 5 = 5
  4. Ada: 2 · 5 = 10
Ergebnis:
10 €

AchtungAdditiv statt multiplikativ

So nicht
3 Essen 13,50 € → 8 Essen 18,50 €
So richtig
3 Essen 13,50 € → 1 Essen 4,50 € → 8 Essen 36 €

Rechne zuerst auf 1. Nimm dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 64 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    So fängst du an:
    Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 5
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 5
    2. Teile: 3 + 5 = 8
    3. Ein Teil: 64 : 8 = 8
    4. Ada: 3 · 8 = 24
    Ergebnis:
    24 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 30 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 2
    2. Teile: 3 + 2 = 5
    3. Ein Teil: 30 : 5 = 6
    4. Ada: 3 · 6 = 18
    Ergebnis:
    18 €
  3. ★24
    Für eine Gartenmauer braucht man 21 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 21 : 7 = 3 Eimer
    3. Zement: 2 · 3 = 6 Eimer
    4. 6 · 4,5 = 27
    Ergebnis:
    27,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Im Beet von Frau Kaya sind 7 von 8 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 3 von 5 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe7 von 8zweite Gruppe3 von 5
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 78
    2. Herr Ott: 35
    3. Gleicher Nenner 40: 3540 und 2440
    4. 3540 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 2 von 5 Dosen, Ali 8 von 20. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A2 von 5B8 von 20
    Lösung zeigen
    1. Tom: 25
    2. Ali: 820 = 25
    3. Gleicher Nenner 20: 820 und 820
    4. Beide Anteile sind gleich groß.
    5. Ali hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, beide gleich
  3. ●27
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3
  4. ●28
    Zähle die Perlen im Bild. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau, so einfach wie möglich geschrieben?
    Lösung zeigen
    1. Rot: 12 Perlen, Blau: 15 Perlen
    2. Rot zu Blau: 12 : 15
    3. Durch 3 teilen: 4 : 5
    Ergebnis:
    4 : 5
  5. ●29
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 2 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    Lösung zeigen
    1. 2 : 7 heißt: 2 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
    2. Zusammen: 2 + 7 = 9 Teile
    3. Gelb: 2 von 9 Teilen, also 29
    Ergebnis:
    29
  6. ●30
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 200 g Mehl auf 150 ml Milch. Tim nimmt 1000 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 1000 : 200 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 150 · 5 = 750
    Ergebnis:
    750 ml

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 4 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 3 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 4zweite Gruppe3 von 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Frau Kaya

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Himbeerlimonade rührt Can 10 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 : 1

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Mörtel nimmt man 6 Eimer Zement auf 5 Eimer Sand. Tim nimmt 18 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Eimer

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Mia und Can teilen 72 € im Verhältnis 5 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mia 45 €, Can 27 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 3 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 3 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Eimer B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 24 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 3,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse B
  2. Herr Ott
  3. Klasse B
  4. 2 : 3
  5. 5 : 6
  6. 5 : 3
  7. 1 : 3
  8. nein, 29
  9. 13
  10. 300 ml
  11. 8 Becher
  12. 5 Eimer
  13. 36 cm und 27 cm
  14. 6 cm und 15 cm
  15. 24 €, 6 €, 30 €
  16. Kanne A
  17. Eimer A
  18. Kanne A
  19. 10 Jungen
  20. 20 Jungen
  21. 8 Jungen
  22. 24 €
  23. 18 €
  24. 27,00 €
  25. Frau Kaya
  26. nein, beide gleich
  27. 2 : 3
  28. 4 : 5
  29. 29
  30. 750 ml
  31. Frau Kaya
  32. 5 : 1
  33. 27
  34. 15 Eimer
  35. Mia 45 €, Can 27 €
  36. Eimer B
  37. 12
  38. 24,50 €
  39. 10,00 €
  40. 1600 m