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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis5,00 €10,00 €25,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 10 · 5,00 € = 50,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis5,00 €10,00 €25,00 €? 50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 10 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    50,00 €
  2. ●40
    In 2 Sekunden sind 40 MB eines Updates geladen. Wie lange dauern 120 MB?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 2 Sekunden→40 MB
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Sekunde→40 MB : 2 = 20 MB
    5. ↓ · 6↓ · 6120 MB : 20 MB = 6
    6. 6 Sekunden→120 MB
    Ergebnis:
    6 Sekunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 3 von 8 Bonbons rot, in Tüte B 11 von 20 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
erste Gruppe3 von 8zweite Gruppe11 von 20
Schritt für Schritt
  1. Tüte A: 38
  2. Tüte B: 1120
  3. Gleicher Nenner 40: 1540 und 2240
  4. 2240 ist mehr: Tüte B.
  1. Tüte A: 38
  2. Tüte B: 1120
  3. Gleicher Nenner 40: 1540 und 2240
  4. 2240 ist mehr: Tüte B.
Ergebnis:
Tüte B

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Beet von Frau Kaya sind 4 von 8 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 1 von 20 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe4 von 8zweite Gruppe1 von 20
    So fängst du an:
    Frau Kaya: 48 = 12
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 48 = 12
    2. Herr Ott: 120
    3. Gleicher Nenner 40: 2040 und 240
    4. 2040 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya
  2. ●2
    Im Beet von Frau Kaya sind 3 von 10 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 11 von 25 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe3 von 10zweite Gruppe11 von 25
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 310
    2. Herr Ott: 1125
    3. Gleicher Nenner 50: 1550 und 2250
    4. 2250 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 6 von 18 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 15 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe6 von 18zweite Gruppe4 von 15
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 618 = 13
    2. Klasse B: 415
    3. Gleicher Nenner 90: 3090 und 2490
    4. 3090 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 3 Schaufeln Zement und 5 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Zement zu Sand so einfach wie möglich an.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 3 : 5
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 3 : 5
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 3 : 5
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 3 : 5
Ergebnis:
3 : 5

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Saftschorle mischt Emil 1 Gläser Saft mit 3 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    So fängst du an:
    Zuerst Saft, dann Wasser: 1 : 3
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 1 : 3
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 3
    Ergebnis:
    1 : 3
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 2 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 2 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 3
    Ergebnis:
    1 : 3
  3. ★6
    Für ein helles Grün mischt Pia 9 Becher gelbe Farbe mit 15 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 9 : 15
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 5
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

58 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
Schritt für Schritt
  1. Von 8 Teilen sind 5 rot.
  2. Blau: 8 − 5 = 3 Teile
  3. Rot zu Blau: 5 : 3
  1. Von 8 Teilen sind 5 rot.
  2. Blau: 8 − 5 = 3 Teile
  3. Rot zu Blau: 5 : 3
Ergebnis:
5 : 3

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    So fängst du an:
    1 : 4 heißt: 1 Teile Sirup, 4 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 4 heißt: 1 Teile Sirup, 4 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 1 + 4 = 5 Teile
    3. Sirup: 1 von 5 Teilen, also 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 17 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 7 = 8 Teile.
    3. Saft: 1 von 8 Teilen, also 18
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 18
  3. ★9
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Saft?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6 heißt: 5 Teile Saft, 6 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 6 = 11 Teile
    3. Saft: 5 von 11 Teilen, also 511
    Ergebnis:
    511

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig: 250 g Mehl und 300 ml Milch. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 5
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 300 · 5 = 1500
  1. Faktor: 5
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 300 · 5 = 1500
Ergebnis:
1500 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Orangenschorle: 1 Becher Saft und 5 Becher Wasser. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    Faktor: 3
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 Becher
  2. ●11
    Für Mörtel nimmt man 5 Eimer Zement auf 3 Eimer Sand. Tim nimmt 10 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 10 : 5 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Eimer
  3. ★12
    Für Orangenschorle nimmt man 16 Becher Saft auf 4 Becher Wasser. Tim macht weniger und nimmt nur 4 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis kürzen: 16 : 4 wird zu 4 : 1
    2. 4 : 4 = 1
    3. 1 · 1 = 1
    Ergebnis:
    1 Becher

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Lea und Max teilen 16 € im Verhältnis 3 : 1. Wie viel bekommt jeder?
LeaMax
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 1 = 4
  2. Ein Teil: 16 : 4 = 4
  3. Lea: 3 · 4 = 12
  4. Max: 1 · 4 = 4
  1. Teile: 3 + 1 = 4
  2. Ein Teil: 16 : 4 = 4
  3. Lea: 3 · 4 = 12
  4. Max: 1 · 4 = 4
Ergebnis:
Lea 12 €, Max 4 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ada und Ben teilen 18 € im Verhältnis 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    AdaBen
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 18 : 6 = 3
    3. Ada: 1 · 3 = 3
    4. Ben: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    Ada 3 €, Ben 15 €
  2. ●14
    Ina und Ole teilen 66 € im Verhältnis 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 66 : 6 = 11
    3. Ina: 1 · 11 = 11
    4. Ole: 5 · 11 = 55
    Ergebnis:
    Ina 11 €, Ole 55 €
  3. ★15
    Mia und Can teilen Sticker im Verhältnis 2 : 3. Can bekommt 11 Sticker mehr als Mia. Wie viele bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 3 − 2 = 1 Teile
    2. Ein Teil: 11 : 1 = 11
    3. Mia: 2 · 11 = 22, Can: 3 · 11 = 33
    Ergebnis:
    Mia 22, Can 33

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Krug A enthält 4 Gläser Saft auf 5 Gläser Wasser, Krug B enthält 4 Gläser Saft auf 1 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 4 von 9 Teilen sind Saft, also 4/9.
  2. Krug B: 4 von 5 Teilen sind Saft, also 4/5.
  3. Gleicher Nenner 45: 2045 und 3645
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 4 von 9 Teilen sind Saft, also 4/9.
  2. Krug B: 4 von 5 Teilen sind Saft, also 4/5.
  3. Gleicher Nenner 45: 2045 und 3645
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 2 Gläser Saft und 1 Gläser Wasser, Krug B hat 1 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    So fängst du an:
    Krug A: 2 von 3 Teilen sind Saft, also 2/3.
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 2 von 3 Teilen sind Saft, also 2/3.
    2. Krug B: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
    3. Gleicher Nenner 12: 812 und 312
    4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
    Ergebnis:
    Krug A
  2. ●17
    Eimer A: 3 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 2 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 3 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 3/6.
    2. Eimer B: 2 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 2/5.
    3. Gleicher Nenner 30: 1530 und 1230
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  3. ★18
    Kanne A: 2 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser. Kanne B: 2 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 2 von 4 Teilen sind Himbeersirup, also 2/4.
    2. Kanne B: 2 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 2/5.
    3. Gleicher Nenner 20: 1020 und 820
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 3. In der Gruppe sind 12 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 12 : 3 = 4
  3. Jungen: 5 · 4 = 20
  1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 12 : 3 = 4
  3. Jungen: 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 12 zu 16 soll dasselbe Verhältnis sein wie 15 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 12 : 16 wird zu 3 : 4
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 12 : 16 wird zu 3 : 4
    2. 15 ist 5-mal 3.
    3. Also 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 5. In der Gruppe sind 15 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 5: auf 5 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 15 : 5 = 3
    3. Jungen: 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Jungen
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 2. In der Gruppe sind 4 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 2: auf 2 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 4 : 2 = 2
    3. Jungen: 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 20 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 4
  2. Teile: 1 + 4 = 5
  3. Ein Teil: 20 : 5 = 4
  4. Ada: 1 · 4 = 4
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 4
  2. Teile: 1 + 4 = 5
  3. Ein Teil: 20 : 5 = 4
  4. Ada: 1 · 4 = 4
Ergebnis:
4 €

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Beim Schulfest werden 40 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,3 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    Schorle: 40 · 0,3 = 12
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 40 · 0,3 = 12
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 12 : 4 = 3
    4. Saft: 1 · 3 = 3
    Ergebnis:
    3 Liter
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 15 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 2
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 15 : 3 = 5
    4. Ada: 1 · 5 = 5
    Ergebnis:
    5 €
  3. ★24
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 15 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 4
    2. Teile: 1 + 4 = 5
    3. Ein Teil: 15 : 5 = 3
    4. Ada: 1 · 3 = 3
    Ergebnis:
    3 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Im Beet von Frau Kaya sind 3 von 10 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 2 von 5 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe3 von 10zweite Gruppe2 von 5
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 310
    2. Herr Ott: 25
    3. Gleicher Nenner 10: 310 und 410
    4. 410 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  2. ●26
    Team A trifft 1-mal bei 4 Würfen, Team B 12-mal bei 20 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
    Team A1 von 4Team B12 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team A: 14
    2. Team B: 1220 = 35
    3. Gleicher Nenner 20: 520 und 1220
    4. 1220 ist mehr: Team B.
    5. Ben hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Team B
  3. ●27
    Für Himbeerlimonade rührt Can 6 Löffel Sirup in 10 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Sirup zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 5
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Blau zu Rot an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 5 Perlen
    2. Blau zu Rot: 5 : 3
    3. Kürzen geht nicht.
    Ergebnis:
    5 : 3
  5. ●29
    27 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 7 Teilen sind 2 rot.
    2. Blau: 7 − 2 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 2 : 5
    Ergebnis:
    2 : 5
  6. ●30
    Für ein zartes Rosa nimmt man 1 Liter weiße Farbe auf 6 Liter rote Farbe. Tim nimmt 4 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 4 : 1 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 6 · 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Liter

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 4 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 4 von 5 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 4zweite Gruppe4 von 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Herr Ott

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Himbeerlimonade rührt Can 8 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Sirup zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 : 1

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    17 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 6

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Mörtel nimmt man 6 Eimer Zement auf 1 Eimer Sand. Tim nimmt 12 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ina und Ole teilen 20 € im Verhältnis 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ina 4 €, Ole 16 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Kanne A: 5 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser. Kanne B: 5 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne A

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 12 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Liter

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 28 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Frau Kaya
  2. Herr Ott
  3. Klasse A
  4. 1 : 3
  5. 1 : 3
  6. 3 : 5
  7. 15
  8. nein, 18
  9. 511
  10. 15 Becher
  11. 6 Eimer
  12. 1 Becher
  13. Ada 3 €, Ben 15 €
  14. Ina 11 €, Ole 55 €
  15. Mia 22, Can 33
  16. Krug A
  17. Eimer A
  18. Kanne A
  19. 20
  20. 9 Jungen
  21. 6 Jungen
  22. 3 Liter
  23. 5 €
  24. 3 €
  25. Herr Ott
  26. ja, Team B
  27. 3 : 5
  28. 5 : 3
  29. 2 : 5
  30. 24 Liter
  31. Herr Ott
  32. 4 : 1
  33. 1 : 6
  34. 2 Eimer
  35. Ina 4 €, Ole 16 €
  36. Kanne A
  37. 4 Liter
  38. 8 €
  39. 50,00 €
  40. 6 Sekunden