Mathematik · Klasse 10 · Kapitel

Exponentielles Wachstum

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Konto mit 500 € wächst jedes Jahr um 4 %. Wie viel ist nach 25 Jahren darauf? Jahr für Jahr rechnen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: 25 Zeilen, jede mit Prozentrechnung, und ein Fehler in Zeile 9 zieht durch. Die Klasse will die Abkürzung. Mal 1,04 je Jahr, also 500 · 1,04 hoch 25 ≈ 1.333 €. Der Wachstumsfaktor und die Potenz ersetzen 25 Zeilen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozentuales Wachstum heißt Multiplizieren mit einem Faktor, nicht Addieren.

●36
Für 500,00 € gibt die Bank nach einem Jahr 10,00 € Zinsen. Berechne den Zinssatz.
Lösung zeigen
1. p % = Z : K · 100
2. = 10 : 500 · 100 = 2 %
Ergebnis:
2 %
●37
Ein Handy kostet 200,00 €. Berechne 20 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 200,00 €
2. 1 % → 2,00 €
3. 20 % → 2,00 € · 20 = 40,00 €
Ergebnis:
40,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenImmer mal denselben Faktor

Linear heißt: immer dasselbe DAZU. Exponentiell heißt: immer dasselbe MAL. Deshalb bleibt exponentielles Wachstum lange unauffällig und wird dann sehr schnell groß.

WeiterdenkenDenk nach

5 % Zuwachs pro Jahr – ist das nach 20 Jahren 100 % mehr? Warum nicht?

1Ich unterscheide lineares und exponentielles Wachstum.

EntdeckenFrage

Wann ist der Teich halb voll, wenn sich die Seerosen täglich verdoppeln und er nach 30 Tagen voll ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am 29. Tag. Exponentielles Wachstum sieht lange harmlos aus und kippt dann in einem Schritt – deshalb wirken Epidemien und Zinsen am Anfang so klein.

MerkenLinear oder exponentiell

Linear: pro Schritt kommt dieselbe Zahl dazu (+ 50).

Exponentiell: pro Schritt derselbe Faktor (· 1,5).

Eselsbrücke: Wachstumsfaktor q = 1 + p/100 – „plus für mehr, minus für weniger“: 3 % Zuwachs → ·1,03, 3 % Abnahme → ·0,97

BeispielExponentielles Wachstum

Eine Bakterienkultur mit 800 Zellen wächst um 50 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind.

Schritt für Schritt

Wachstumsfaktor q = 1 + 50100 = 1,5
B(t) = 800 · 1,5⁴
≈ 4.050

Wachstumsfaktor q = 1 + 50100 = 1,5
B(t) = 800 · 1,5⁴
≈ 4.050

Ergebnis:

≈ 4.050 Zellen

AchtungProzentualen Zuwachs linear gerechnet

So nicht

1000 mit 10 % für 2 Jahre → 1200

So richtig

1000 mit 10 % für 2 Jahre → 1000 · 1,1 · 1,1 = 1210

Rechne Jahr für Jahr mit dem neuen Wert. Nimm jedes Mal mit dem Faktor mal.

ÜbenJetzt du

○1
Eine Bakterienkultur mit 1000 Zellen wächst um 50 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 3 Stunden sind.
So fängst du an:
Wachstumsfaktor q = 1 + 50100 = 1,5
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor q = 1 + 50100 = 1,5
2. B(t) = 1000 · 1,5³
3. ≈ 3.375
Ergebnis:
≈ 3.375 Zellen
●2
Eine Bakterienkultur mit 100 Zellen wächst um 10 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor q = 1 + 10100 = 1,1
2. B(t) = 100 · 1,1⁴
3. ≈ 146
Ergebnis:
≈ 146 Zellen
★3
Eine Bakterienkultur mit 2000 Zellen wächst um 4 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor q = 1 + 4100 = 1,04
2. B(t) = 2000 · 1,04⁴
3. ≈ 2.340
Ergebnis:
≈ 2.340 Zellen

2Ich berechne mit dem Wachstumsfaktor.

EntdeckenFrage

Wie lange dauert es, bis sich Geld bei 7 % verdoppelt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa zehn Jahre – die 72er-Regel: 72 geteilt durch den Zinssatz. Bei 2 % Inflation halbiert sich die Kaufkraft in 36 Jahren.

MerkenWachstumsfaktor

q = 1 + p/100. 3 % Wachstum → q = 1,03. Nach n Schritten: Endwert = Startwert · qⁿ.

BeispielProzentsatz und Wachstumsfaktor

Eine Größe wächst jedes Jahr um 25 % zu. Wie heißt der Wachstumsfaktor? Was wird in einem Jahr aus 1000?

Schritt für Schritt

Neuer Wert: 100 % + 25 % = 125 % des alten Werts.
125 % als Dezimalzahl: 1,25. Das ist der Wachstumsfaktor.
1000 · 1,25 = 1250

Neuer Wert: 100 % + 25 % = 125 % des alten Werts.
125 % als Dezimalzahl: 1,25. Das ist der Wachstumsfaktor.
1000 · 1,25 = 1250

Ergebnis:

q = 1,25, nach einem Jahr 1250

AchtungZinsen linear statt exponentiell

So nicht

1.000 € zu 3 %, 2 Jahre: 1.000 + 30 + 30 = 1.060 €

So richtig

1.000 € zu 3 %, 2 Jahre: 1.000 · 1,03 = 1.030, dann 1.030 · 1,03 = 1.060,90 €

Jedes Jahr auf das neue Kapital rechnen: mal q, nicht plus Zinsen.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Größe nimmt jedes Jahr um 4 % ab. Wie heißt der Wachstumsfaktor? Was wird in einem Jahr aus 500?
So fängst du an:
Neuer Wert: 100 % − 4 % = 96 % des alten Werts.
Lösung zeigen
1. Neuer Wert: 100 % − 4 % = 96 % des alten Werts.
2. 96 % als Dezimalzahl: 0,96. Das ist der Wachstumsfaktor.
3. 500 · 0,96 = 480
Ergebnis:
q = 0,96, nach einem Jahr 480
●5
Eine Größe wächst jedes Jahr um 3 % zu. Wie heißt der Wachstumsfaktor? Was wird in einem Jahr aus 200?
Lösung zeigen
1. Neuer Wert: 100 % + 3 % = 103 % des alten Werts.
2. 103 % als Dezimalzahl: 1,03. Das ist der Wachstumsfaktor.
3. 200 · 1,03 = 206
Ergebnis:
q = 1,03, nach einem Jahr 206
★6
Ein Wert steigt zwei Jahre lang um jeweils 5 %. Emir sagt: „Das sind zusammen 10 %.“ Stimmt das? Begründe mit dem Wachstumsfaktor.
Lösung zeigen
1. Faktor je Jahr: 1,05.
2. Zwei Jahre: 1,05 · 1,05 = 1,1025.
3. Das ist eine Änderung um 10,25 %, nicht um 10 %.
4. Im zweiten Jahr wächst auch der Zuwachs des ersten Jahres mit.
Ergebnis:
Nein, zusammen +10,25 %

3Ich stelle Wachstum in Tabellen und Graphen dar.

EntdeckenFrage

Warum sieht exponentielles Wachstum am Anfang so harmlos aus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Zuwachs zuerst winzig ist. Bei täglicher Verdopplung steht nach zehn Tagen die Tausend, nach zwanzig die Million – der Graph bleibt lange flach und steigt dann fast senkrecht.

MerkenTabelle und Graph

Tabelle: jede Zeile mal q. Graph: eine gebogene Kurve, keine Gerade.

Bei q > 1 immer steiler, bei q < 1 immer flacher.

BeispielExponentielles Wachstum über mehrere Schritte

500 Follower wachsen jede Periode um 20 %. Berechne, wie viele es nach 3 Perioden sind.

Schritt für Schritt

Wachstumsfaktor: 1 + 20100 = 1,2
500 · 1,2³ = 864

Wachstumsfaktor: 1 + 20100 = 1,2
500 · 1,2³ = 864

Ergebnis:

≈ 864

AchtungLinear statt exponentiell fortgeschrieben

So nicht

100 mit 10 % zwei Jahre → 100 + 10 + 10 = 120

So richtig

100 mit 10 % zwei Jahre → 100 · 1,1 · 1,1 = 121

Rechne Schritt für Schritt mit dem neuen Wert weiter.

ÜbenJetzt du

○7
8000 Spieler auf dem Server wachsen jede Periode um 10 %. Berechne, wie viele es nach 3 Perioden sind.
So fängst du an:
Wachstumsfaktor: 1 + 10100 = 1,1
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor: 1 + 10100 = 1,1
2. 8000 · 1,1³ = 10.648
Ergebnis:
≈ 10.648
●8
8000 Bakterien wachsen jede Periode um 20 %. Berechne, wie viele es nach 2 Perioden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor: 1 + 20100 = 1,2
2. 8000 · 1,2² = 11.520
Ergebnis:
≈ 11.520
★9
8000 Bakterien wachsen jede Periode um 25 %. Berechne, wie viele es nach 5 Perioden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor: 1 + 25100 = 1,25
2. 8000 · 1,25⁵ = 24.414,06
Ergebnis:
≈ 24.414,06

4Ich berechne Zinseszins.

EntdeckenFrage

Warum kostet fast alles nach hundert Jahren ein Vielfaches?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich zwei Prozent im Jahr aufeinander türmen: 1,02 hoch 100 ist rund 7. Derselbe Zinseszins, der ein Guthaben wachsen lässt, entwertet auch das Geld unter der Matratze.

MerkenZinseszins

Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ – die Zinsen werden mitverzinst.

Der Unterschied zur einfachen Verzinsung wächst jedes Jahr.

BeispielZinseszins berechnen

800,00 € werden zu 2 % Zinsen im Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie viel Geld ist nach 4 Jahren darauf?

Schritt für Schritt

Zinsfaktor: 100 % + 2 % = 102 %, also q = 1,02
Nach 4 Jahren: K · q⁴
800,00 · 1,02⁴ ≈ 865,95

Zinsfaktor: 100 % + 2 % = 102 %, also q = 1,02
Nach 4 Jahren: K · q⁴
800,00 · 1,02⁴ ≈ 865,95

Ergebnis:

≈ 865,95 €

AchtungProzentsatz nicht durch 100

So nicht

20 % von 800 = 800 · 20 = 16.000

So richtig

20 % von 800 = 800 : 100 · 20 = 160

Rechne zuerst 1 %: teile durch 100.

ÜbenJetzt du

○10
2.500,00 € werden zu 1,5 % Zinsen im Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie viel Geld ist nach 2 Jahren darauf?
So fängst du an:
Zinsfaktor: 100 % + 1,5 % = 101,5 %, also q = 1,015
Lösung zeigen
1. Zinsfaktor: 100 % + 1,5 % = 101,5 %, also q = 1,015
2. Nach 2 Jahren: K · q²
3. 2.500,00 · 1,015² ≈ 2.575,56
Ergebnis:
≈ 2.575,56 €
●11
800,00 € werden zu 2,5 % Zinsen im Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie viel Geld ist nach 3 Jahren darauf?
Lösung zeigen
1. Zinsfaktor: 100 % + 2,5 % = 102,5 %, also q = 1,025
2. Nach 3 Jahren: K · q³
3. 800,00 · 1,025³ ≈ 861,51
Ergebnis:
≈ 861,51 €
★12
2.000,00 € werden zu 1,5 % Zinsen im Jahr angelegt, die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie viel Zinsen bringen die ersten 3 Jahre zusammen?
Lösung zeigen
1. Zinsfaktor: q = 1,015
2. Guthaben: 2.000,00 · 1,015³ ≈ 2.091,36
3. Zinsen: 2.091,36 − 2.000,00 = 91,36
Ergebnis:
≈ 91,36 €

5Ich beschreibe Zerfall (Halbwertszeit, Wertverlust).

EntdeckenFrage

Warum ist ein Auto nach drei Jahren nur noch etwa die Hälfte wert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Wert jedes Jahr um denselben Anteil sinkt, nicht um denselben Betrag. Bei 20 Prozent im Jahr bleiben 0,8 hoch 3, also rund 51 Prozent.

MerkenZerfall

Bei Abnahme ist der Faktor kleiner als eins: q = 1 − p/100. Zwanzig Prozent Verlust heißt q = 0,8. Die Halbwertszeit ist die Zeit, bis nur noch die Hälfte da ist.

BeispielExponentielle Abnahme (Halbwertszeit)

Ein Medikament wird im Körper alle 4 Stunden halbiert. Von 1000 mg bleibt nach 16 Stunden ein Rest. Berechne diesen Rest.

Schritt für Schritt

16 h = 4 Halbierungen
1000 · (½)⁴ = 62,5 mg

16 h = 4 Halbierungen
1000 · (½)⁴ = 62,5 mg

Ergebnis:

62,5 mg

AchtungNoch einmal: Zinsen linear statt exponentiell

So nicht

1.000 € zu 3 %, 2 Jahre: 1.000 + 30 + 30 = 1.060 €

So richtig

1.000 € zu 3 %, 2 Jahre: 1.000 · 1,03 = 1.030, dann 1.030 · 1,03 = 1.060,90 €

Jedes Jahr auf das neue Kapital rechnen: mal q, nicht plus Zinsen.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Medikament wird im Körper alle 4 Stunden halbiert. Von 800 mg bleibt nach 8 Stunden ein Rest. Berechne diesen Rest.
So fängst du an:
8 h = 2 Halbierungen
Lösung zeigen
1. 8 h = 2 Halbierungen
2. 800 · (½)² = 200 mg
Ergebnis:
200 mg
●14
Ein Medikament wird im Körper alle 4 Stunden halbiert. Von 5000 mg bleibt nach 16 Stunden ein Rest. Berechne diesen Rest.
Lösung zeigen
1. 16 h = 4 Halbierungen
2. 5000 · (½)⁴ = 312,5 mg
Ergebnis:
312,5 mg
★15
Ein Medikament wird im Körper alle 4 Stunden halbiert. Von 640 mg bleibt nach 8 Stunden ein Rest. Berechne diesen Rest. Bestimme auch, wann es weniger als 10 % sind.
Lösung zeigen
1. 8 h = 2 Halbierungen
2. 640 · (½)² = 160 mg
3. 10 % nach ⌈log₂ 10⌉ = 4 Halbierungen → 16 h
Ergebnis:
160 mg · nach 16 h

6Ich modelliere Wachstum aus Daten.

EntdeckenFrage

Von 6 auf 7 Milliarden Menschen dauerte es 12 Jahre, von 7 auf 8 Milliarden 11 Jahre. Wächst die Menschheit exponentiell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus den Daten folgt ein jährlicher Faktor von etwa 1,0129 für die erste Milliarde und 1,0122 für die zweite. Der Faktor ist nicht fest, er sinkt langsam. Ein Modell mit festem Faktor passt also nur ungefähr.

MerkenModellieren aus Daten

Faktor q = späterer Wert : früherer Wert.

Ist der Faktor zwischen den Schritten etwa gleich, passt exponentielles Wachstum.

BeispielWachstum aus Daten modellieren

Die Zahl der Follower eines Schulkanals wurde vier Jahre lang gezählt: 2000; 2200; 2420; 2662. Prüfe, ob das Wachstum exponentiell ist, und sage den Wert nach 5 Jahren voraus.

Schritt für Schritt

Quotienten: 2200 : 2000 = 1,1, 2420 : 2200 = 1,1
Gleicher Quotient: exponentiell mit q = 1,1
Nach 5 Jahren: 2000 · 1,1⁵ ≈ 3221

Quotienten: 2200 : 2000 = 1,1, 2420 : 2200 = 1,1
Gleicher Quotient: exponentiell mit q = 1,1
Nach 5 Jahren: 2000 · 1,1⁵ ≈ 3221

Ergebnis:

≈ 3221

AchtungFaktor für mehrere Jahre wie für ein Jahr benutzt

So nicht

in 2 Jahren mal 1,21 → Jahresfaktor 1,21

So richtig

in 2 Jahren mal 1,21 → Jahresfaktor √1,21 = 1,1

Schreib auf, wie viele Jahre zwischen den Werten liegen. So oft steckt der Jahresfaktor darin.

ÜbenJetzt du

○16
Die Zahl der Follower eines Schulkanals wurde vier Jahre lang gezählt: 800; 1000; 1250; 1562,5. Prüfe, ob das Wachstum exponentiell ist, und sage den Wert nach 5 Jahren voraus.
So fängst du an:
Quotienten: 1000 : 800 = 1,25, 1250 : 1000 = 1,25
Lösung zeigen
1. Quotienten: 1000 : 800 = 1,25, 1250 : 1000 = 1,25
2. Gleicher Quotient: exponentiell mit q = 1,25
3. Nach 5 Jahren: 800 · 1,25⁵ ≈ 2441
Ergebnis:
≈ 2441
●17
Die Zahl der Follower eines Schulkanals wurde vier Jahre lang gezählt: 2500; 3000; 3600; 4320. Prüfe, ob das Wachstum exponentiell ist, und sage den Wert nach 5 Jahren voraus.
Lösung zeigen
1. Quotienten: 3000 : 2500 = 1,2, 3600 : 3000 = 1,2
2. Gleicher Quotient: exponentiell mit q = 1,2
3. Nach 5 Jahren: 2500 · 1,2⁵ ≈ 6221
Ergebnis:
≈ 6221
★18
Im Jahr 2022 wurden 500 Pflanzen einer Art gezählt, im Jahr 2024 schon 720. Nimm exponentielles Wachstum an. Wie viele werden es im Jahr 2027 sein?
Lösung zeigen
1. Zwei Jahre: 720 : 500 = 1,44, das ist q · q
2. Jahresfaktor: q = √1,44 = 1,2
3. 2027 ist drei Jahre nach 2024: 720 · 1,2³ ≈ 1244
Ergebnis:
≈ 1244

7Ich vergleiche Angebote (Sparplan, Kredit).

EntdeckenFrage

Ist 1 % Zinsen im Monat dasselbe wie 12 % im Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die Zinsen jedes Monats werden im nächsten Monat mitverzinst. Nach zwölf Monaten ist der Faktor 1,01¹² ≈ 1,1268, also 12,68 % im Jahr. Deshalb schreibt das Gesetz den effektiven Jahreszins vor.

MerkenAngebote vergleichen

Gleiche Laufzeit, gleiche Startsumme, dann Endwerte mit qⁿ berechnen.

Kleine Zinsunterschiede werden über Jahre groß.

BeispielSparplan: Taschengeld bis 18 / Schulgeld statt Privatschule

Du bist 15 und legst ab jetzt jeden Monat 20,00 € zurück – die Hälfte deines Taschengelds – bis du 18 bist (3 Jahre). Das Geld liegt auf einem Tagesgeldkonto mit 2,5 % Zinsen im Jahr. Einzahlung jeweils am Jahresanfang, Zinsen bleiben drauf. Berechne, wie viel du am Ende hast und wie viel davon eingezahlt ist.

Schritt für Schritt

Einzahlung je Jahr: 12 · 20,00 € = 240,00 €
Jahr 1: (0,00 € + 240,00 €) · 1,025 = 246,00 €
Jahr 2: (246,00 € + 240,00 €) · 1,025 = 498,15 €
Jahr 3: (498,15 € + 240,00 €) · 1,025 = 756,60 €
Eingezahlt: 3 · 240,00 € = 720,00 €
Zinsen: 756,60 € − 720,00 € = 36,60 €

Einzahlung je Jahr: 12 · 20,00 € = 240,00 €
Jahr 1: (0,00 € + 240,00 €) · 1,025 = 246,00 €
Jahr 2: (246,00 € + 240,00 €) · 1,025 = 498,15 €
Jahr 3: (498,15 € + 240,00 €) · 1,025 = 756,60 €
Eingezahlt: 3 · 240,00 € = 720,00 €
Zinsen: 756,60 € − 720,00 € = 36,60 €

Ergebnis:

756,60 €, davon 720,00 € eingezahlt und 36,60 € Zinsen

AchtungDurch den Prozentsatz geteilt

So nicht

25 % von 200 = 200 : 25 = 8

So richtig

25 % von 200 = 2 · 25 = 50

Rechne zuerst 1 %. Nimm es dann mal den Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○19
Du bist 14 und legst ab jetzt jeden Monat 20,00 € zurück – die Hälfte deines Taschengelds – bis du 18 bist (4 Jahre). Das Geld liegt auf einem Tagesgeldkonto mit 2 % Zinsen im Jahr. Einzahlung jeweils am Jahresanfang, Zinsen bleiben drauf. Berechne, wie viel du am Ende hast und wie viel davon eingezahlt ist.
So fängst du an:
Einzahlung je Jahr: 12 · 20,00 € = 240,00 €
Lösung zeigen
1. Einzahlung je Jahr: 12 · 20,00 € = 240,00 €
2. Jahr 1: (0,00 € + 240,00 €) · 1,02 = 244,80 €
3. Jahr 2: (244,80 € + 240,00 €) · 1,02 = 494,50 €
4. Jahr 3: (494,50 € + 240,00 €) · 1,02 = 749,19 €
5. Jahr 4: (749,19 € + 240,00 €) · 1,02 = 1.008,97 €
6. Eingezahlt: 4 · 240,00 € = 960,00 €
7. Zinsen: 1.008,97 € − 960,00 € = 48,97 €
Ergebnis:
1.008,97 €, davon 960,00 € eingezahlt und 48,97 € Zinsen
●20
Eine Privatschule kostet 450,00 € im Monat. Deine Eltern legen das Geld ab deinem 13. Geburtstag stattdessen an und geben es dir mit 18. Das Geld liegt auf einem Tagesgeldkonto mit 2 % Zinsen im Jahr. Einzahlung jeweils am Jahresanfang, Zinsen bleiben drauf. Berechne, wie viel du am Ende hast und wie viel davon eingezahlt ist.
Lösung zeigen
1. Einzahlung je Jahr: 12 · 450,00 € = 5.400,00 €
2. Jahr 1: (0,00 € + 5.400,00 €) · 1,02 = 5.508,00 €
3. Jahr 2: (5.508,00 € + 5.400,00 €) · 1,02 = 11.126,16 €
4. Jahr 3: (11.126,16 € + 5.400,00 €) · 1,02 = 16.856,68 €
5. Jahr 4: (16.856,68 € + 5.400,00 €) · 1,02 = 22.701,81 €
6. Jahr 5: (22.701,81 € + 5.400,00 €) · 1,02 = 28.663,85 €
7. Eingezahlt: 5 · 5.400,00 € = 27.000,00 €
8. Zinsen: 28.663,85 € − 27.000,00 € = 1.663,85 €
Ergebnis:
28.663,85 €, davon 27.000,00 € eingezahlt und 1.663,85 € Zinsen
★21
Eine Privatschule kostet 300,00 € im Monat. Deine Eltern legen das Geld ab deinem 10. Geburtstag stattdessen an und geben es dir mit 18. Tagesgeld mit 3 % – oder ein Aktien-ETF mit im Schnitt 7 % im Jahr? Einzahlung jeweils am Jahresanfang, Zinsen bleiben drauf. Berechne beide Endbeträge und den Unterschied.
Lösung zeigen
1. Einzahlung je Jahr: 12 · 300,00 € = 3.600,00 € · eingezahlt insgesamt: 8 · 3.600,00 € = 28.800,00 €
2. Tagesgeld 3 %:
3. Jahr 1: (0,00 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 3.708,00 €
4. Jahr 2: (3.708,00 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 7.527,24 €
5. Jahr 3: (7.527,24 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 11.461,06 €
6. Jahr 4: (11.461,06 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 15.512,89 €
7. Jahr 5: (15.512,89 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 19.686,28 €
8. Jahr 6: (19.686,28 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 23.984,87 €
9. Jahr 7: (23.984,87 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 28.412,42 €
10. Jahr 8: (28.412,42 € + 3.600,00 €) · 1,03 = 32.972,79 €
11. Aktien-ETF 7 %:
12. Jahr 1: (0,00 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 3.852,00 €
13. Jahr 2: (3.852,00 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 7.973,64 €
14. Jahr 3: (7.973,64 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 12.383,79 €
15. Jahr 4: (12.383,79 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 17.102,66 €
16. Jahr 5: (17.102,66 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 22.151,85 €
17. Jahr 6: (22.151,85 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 27.554,48 €
18. Jahr 7: (27.554,48 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 33.335,29 €
19. Jahr 8: (33.335,29 € + 3.600,00 €) · 1,07 = 39.520,76 €
20. Unterschied: 39.520,76 € − 32.972,79 € = 6.547,97 €
Ergebnis:
Tagesgeld 32.972,79 € · ETF 39.520,76 € · Unterschied 6.547,97 € (eingezahlt: 28.800,00 €)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
Eine Bakterienkultur mit 400 Zellen wächst um 20 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 2 Stunden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor q = 1 + 20100 = 1,2
2. B(t) = 400 · 1,2²
3. ≈ 576
Ergebnis:
≈ 576 Zellen
●23
1.500,00 € werden ein Jahr zu 5 % angelegt. Berechne, wie viel Zinsen es gibt.
Lösung zeigen
1. Z = K · p/100 = 1.500,00 € · 0,05
2. Z = 75,00 €
Ergebnis:
75,00 €
●24
Vereinfache und berechne: 2³ · 2¹
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 2⁴
2. = 16
Ergebnis:
2⁴ = 16
●25
Eine Privatschule kostet 800,00 € im Monat. Deine Eltern legen das Geld ab deinem 14. Geburtstag stattdessen an und geben es dir mit 18. Das Geld liegt auf einem Tagesgeldkonto mit 2 % Zinsen im Jahr. Einzahlung jeweils am Jahresanfang, Zinsen bleiben drauf. Berechne, wie viel du am Ende hast und wie viel davon eingezahlt ist.
Lösung zeigen
1. Einzahlung je Jahr: 12 · 800,00 € = 9.600,00 €
2. Jahr 1: (0,00 € + 9.600,00 €) · 1,02 = 9.792,00 €
3. Jahr 2: (9.792,00 € + 9.600,00 €) · 1,02 = 19.779,84 €
4. Jahr 3: (19.779,84 € + 9.600,00 €) · 1,02 = 29.967,44 €
5. Jahr 4: (29.967,44 € + 9.600,00 €) · 1,02 = 40.358,79 €
6. Eingezahlt: 4 · 9.600,00 € = 38.400,00 €
7. Zinsen: 40.358,79 € − 38.400,00 € = 1.958,79 €
Ergebnis:
40.358,79 €, davon 38.400,00 € eingezahlt und 1.958,79 € Zinsen
●26
8000 Follower wachsen jede Periode um 10 %. Berechne, wie viele es nach 3 Perioden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor: 1 + 10100 = 1,1
2. 8000 · 1,1³ = 10.648
Ergebnis:
≈ 10.648
●27
Ein Medikament wird im Körper alle 4 Stunden halbiert. Von 640 mg bleibt nach 8 Stunden ein Rest. Berechne diesen Rest.
Lösung zeigen
1. 8 h = 2 Halbierungen
2. 640 · (½)² = 160 mg
Ergebnis:
160 mg

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Linear oder exponentiell: Linear: pro Schritt kommt dieselbe Zahl dazu (+ 50).
Wachstumsfaktor: q = 1 + p/100. 3 % Wachstum → q = 1,03. Nach n Schritten: Endwert = Startwert · qⁿ.
Tabelle und Graph: Tabelle: jede Zeile mal q. Graph: eine gebogene Kurve, keine Gerade.
Zinseszins: Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ – die Zinsen werden mitverzinst.
Zerfall: Bei Abnahme ist der Faktor kleiner als eins: q = 1 − p/100. Zwanzig Prozent Verlust heißt q = 0,8. Die Halbwertszeit ist die Zeit, bis nur noch die Hälfte da ist.
Modellieren aus Daten: Faktor q = späterer Wert : früherer Wert.
Angebote vergleichen: Gleiche Laufzeit, gleiche Startsumme, dann Endwerte mit qⁿ berechnen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich unterscheide lineares und exponentielles Wachstum.
28
Eine Bakterienkultur mit 200 Zellen wächst um 25 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 488 Zellen
Ich berechne mit dem Wachstumsfaktor.
29
Eine Größe nimmt jedes Jahr um 12 % ab. Wie heißt der Wachstumsfaktor? Was wird in einem Jahr aus 1000?
Lösung zeigen
Ergebnis:
q = 0,88, nach einem Jahr 880
Ich stelle Wachstum in Tabellen und Graphen dar.
30
2000 Bakterien wachsen jede Periode um 10 %. Berechne, wie viele es nach 3 Perioden sind.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 2662
Ich berechne Zinseszins.
31
2.000,00 € werden zu 2,5 % Zinsen im Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie viel Geld ist nach 2 Jahren darauf?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 2.101,25 €
Ich beschreibe Zerfall (Halbwertszeit, Wertverlust).
32
Ein Medikament wird im Körper alle 4 Stunden halbiert. Von 800 mg bleibt nach 8 Stunden ein Rest. Berechne diesen Rest.
Lösung zeigen
Ergebnis:
200 mg
Ich modelliere Wachstum aus Daten.
33
Die Zahl der Tiere in einem Teich wurde vier Jahre lang gezählt: 2500; 2000; 1600; 1280. Prüfe, ob das Wachstum exponentiell ist, und sage den Wert nach 5 Jahren voraus.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 819
Ich vergleiche Angebote (Sparplan, Kredit).
34
Du bist 14 und legst ab jetzt jeden Monat 20,00 € zurück – die Hälfte deines Taschengelds – bis du 18 bist (4 Jahre). Das Geld liegt auf einem Tagesgeldkonto mit 2 % Zinsen im Jahr. Einzahlung jeweils am Jahresanfang, Zinsen bleiben drauf. Berechne, wie viel du am Ende hast und wie viel davon eingezahlt ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1.008,97 €, davon 960,00 € eingezahlt und 48,97 € Zinsen
Ich bereite die Abschlussprüfung vor.
35
Eine Bakterienkultur mit 400 Zellen wächst um 25 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 2 Stunden sind.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 625 Zellen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Konto mit 500 € wächst jedes Jahr um 4 %. Wie viel ist nach 25 Jahren darauf? Jahr für Jahr rechnen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Wachstumsfaktor und die Exponentialfunktion.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Zinseszins, Viren-Ausbreitung, Follower-Wachstum. Beruf: Medizin, Finanzen, Ökologie, Datenanalyse.

ÜbenMit echten Zahlen

Diese Zahlen sind gemessen, nicht ausgedacht. Die Quelle und der Stand stehen bei jeder Aufgabe.

●38
Installierte Leistung in Deutschland (Wind auf See), jeweils am Jahresende: 2023 waren es 8,47 GW, 2024 waren es 9,21 GW (GW heißt Gigawatt).
Berechne den Wachstumsfaktor und die Änderung in Prozent.
Daten: Energy-Charts, Fraunhofer ISE (CC BY 4.0), Stand 01.10.2026
Lösung zeigen
1. 9,21 : 8,47 ≈ 1,087
2. Änderung: ≈ 8,7 %
Ergebnis:
Faktor ≈ 1,087; Zunahme ≈ 8,7 %
●39
Installierte Leistung in Deutschland (Wind auf See) am Jahresende: 2019 7,66 GW, 2020 7,87 GW, 2021 7,87 GW.
Berechne die beiden Differenzen und die beiden Quotienten aufeinanderfolgender Jahre.
Daten: Energy-Charts, Fraunhofer ISE (CC BY 4.0), Stand 01.10.2026
Lösung zeigen
1. 7,87 − 7,66 = 0,21
2. 7,87 − 7,87 = 0
3. 7,87 : 7,66 ≈ 1,027
4. 7,87 : 7,87 = 1
Ergebnis:
Differenzen 0,21 und 0; Quotienten ≈ 1,027 und 1

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentuale Veränderungen, Zinsrechnung, Potenzen und Wurzeln

Darauf baut auf: e-Funktion und Logarithmus

Lösungen

≈ 3.375 Zellen
≈ 146 Zellen
≈ 2.340 Zellen
q = 0,96, nach einem Jahr 480
q = 1,03, nach einem Jahr 206
Nein, zusammen +10,25 %
≈ 10.648
≈ 11.520
≈ 24.414,06
≈ 2.575,56 €
≈ 861,51 €
≈ 91,36 €
200 mg
312,5 mg
160 mg · nach 16 h
≈ 2441
≈ 6221
≈ 1244
1.008,97 €, davon 960,00 € eingezahlt und 48,97 € Zinsen
28.663,85 €, davon 27.000,00 € eingezahlt und 1.663,85 € Zinsen
Tagesgeld 32.972,79 € · ETF 39.520,76 € · Unterschied 6.547,97 € (eingezahlt: 28.800,00 €)
≈ 576 Zellen
75,00 €
2⁴ = 16
40.358,79 €, davon 38.400,00 € eingezahlt und 1.958,79 € Zinsen
≈ 10.648
160 mg
≈ 488 Zellen
q = 0,88, nach einem Jahr 880
≈ 2662
≈ 2.101,25 €
200 mg
≈ 819
1.008,97 €, davon 960,00 € eingezahlt und 48,97 € Zinsen
≈ 625 Zellen
2 %
40,00 €
Faktor ≈ 1,087; Zunahme ≈ 8,7 %
Differenzen 0,21 und 0; Quotienten ≈ 1,027 und 1