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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Winkel an Geraden und in Figuren

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zwei Linien kreuzen sich. Ein Winkel ist mit 38° angegeben. Bestimme die drei anderen Winkel – ohne Geodreieck, nur mit dem, was du weißt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige wollen doch messen. Andere sehen, dass der gegenüberliegende Winkel gleich aussieht, sind aber unsicher, ob er genau gleich ist. Für den Winkel daneben fehlt ein Ansatz. Zwei Winkel nebeneinander bilden zusammen einen gestreckten Winkel: 180°. Der Nachbar hat also 142°. Der gegenüberliegende Winkel ist der Nachbar vom Nachbarn: wieder 38°. Diese zwei Beziehungen heißen Nebenwinkel und Scheitelwinkel.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein gestreckter Winkel hat 180°, ein voller 360° – Winkel an einer Geraden ergänzen sich zu 180°.

  1. ●39
    Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 125° hat.
    Lösung zeigen
    1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
    2. 125° → stumpf
    Ergebnis:
    stumpf
  2. ●40
    Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 105°. Berechne seinen Nebenwinkel.
    Lösung zeigen
    1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
    2. 180° − 105° = 75°
    Ergebnis:
    75°

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenWinkel hängen zusammen

Wer einen Winkel an einer Figur kennt, kennt oft viele. Gestreckte Winkel, gegenüberliegende Winkel und Parallelen verbinden sie. Ein Winkel wird nicht nur gemessen, sondern aus anderen erschlossen – und der Grund gehört dazu.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Parallelen werden von einer dritten Linie geschnitten. Warum genügt ein einziger gemessener Winkel, um alle acht zu kennen?

1Ich bestimme Nebenwinkel und Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden.

EntdeckenFrage

Wie konnte Eratosthenes vor über 2000 Jahren mit einem Schatten den Umfang der Erde bestimmen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In Syene warf die Mittagssonne keinen Schatten, im nördlich gelegenen Alexandria stand er um etwa ein Fünfzigstel des Vollwinkels schräg. Weil die Sonnenstrahlen parallel einfallen, ist das derselbe Winkel wie am Erdmittelpunkt: Wechselwinkel. Also ist der Erdumfang etwa 50-mal der Abstand der beiden Städte.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenNeben- und Scheitelwinkel

Zwei Geraden schneiden sich und bilden vier Winkel.

Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu 180°. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.

BeispielNebenwinkel und Scheitelwinkel berechnen

Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Der Winkel α misst 120°. Berechne δ und sage, warum.
ghα = 120°βγ?
Schritt für Schritt
  1. δ liegt neben α: Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.
  2. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
  3. 180° − 120° = 60°
  1. δ liegt neben α: Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.
  2. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
  3. 180° − 120° = 60°
Ergebnis:
60°

AchtungNebenwinkel und Scheitelwinkel verwechselt

So nicht
α = 70°, β ist Nebenwinkel von α → β = 70°
So richtig
α = 70°, β ist Nebenwinkel von α → β = 180° − 70° = 110°

Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben zusammen 180°. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Der Winkel α misst 140°. Berechne β und sage, warum.
    ghα = 140°?γδ
    So fängst du an:
    β liegt neben α: Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.
    Lösung zeigen
    1. β liegt neben α: Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.
    2. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
    3. 180° − 140° = 40°
    Ergebnis:
    40°
  2. ●2
    Zwei Geraden schneiden sich. Es gilt α = 145°. Wie groß ist δ?
    ghα = 145°βγ?
    Lösung zeigen
    1. δ liegt neben α: Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.
    2. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
    3. 180° − 145° = 35°
    Ergebnis:
    35°
  3. ★3
    Zwei Geraden schneiden sich im Punkt S. Der Winkel β ist um 66° größer als sein Nebenwinkel α. Wie groß ist α?
    gh?
    Lösung zeigen
    1. α und β sind Nebenwinkel: zusammen 180°.
    2. Ohne den Unterschied bleiben 180° − 66° = 114°.
    3. Das teilen sich zwei gleiche Winkel: 114° : 2 = 57°.
    4. Probe: 57° + 123° = 180°
    Ergebnis:
    57°

2Ich erkenne Stufenwinkel und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An jeder Ecke einer Wabe treffen drei Sechsecke zusammen. Jeder Winkel im regelmäßigen Sechseck misst 120°, und 3 · 120° = 360°: Es bleibt keine Lücke. Beim Fünfeck mit 108° passen drei nicht ganz zusammen, und vier sind schon zu viel.

MerkenStufen- und Wechselwinkel an Parallelen

Wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, entstehen Stufenwinkel und Wechselwinkel.

Stufenwinkel liegen an derselben Stelle, Wechselwinkel über Kreuz. An Parallelen sind beide gleich groß.

BeispielStufenwinkel und Wechselwinkel erkennen

g und h sind parallel und werden von s geschnitten. Es gilt δ = 70°. Wie groß ist ζ?
ghs?δ = 70°
Schritt für Schritt
  1. δ und ζ sind Wechselwinkel.
  2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
  3. ζ = 70°
  1. δ und ζ sind Wechselwinkel.
  2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
  3. ζ = 70°
Ergebnis:
70°

AchtungStufen- oder Wechselwinkel ohne Parallelen gleichgesetzt

So nicht
Stufenwinkel 64° und 61° → g und h sind parallel
So richtig
Stufenwinkel 64° und 61° → 64° ≠ 61° → g und h sind nicht parallel

Gleich groß sind sie nur an Parallelen. Erst prüfen, dann übertragen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    g und h sind parallel und werden von s geschnitten. Es gilt γ = 40°. Wie groß ist ε?
    ghs?γ = 40°
    So fängst du an:
    γ und ε sind Wechselwinkel.
    Lösung zeigen
    1. γ und ε sind Wechselwinkel.
    2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
    3. ε = 40°
    Ergebnis:
    40°
  2. ●5
    An den Parallelen g und h, geschnitten von s: Welcher Winkel ist Stufenwinkel zu ζ?
    ghsζ
    Lösung zeigen
    1. ζ liegt an seinem Schnittpunkt links oben.
    2. Sein Stufenwinkel liegt am anderen Schnittpunkt an derselben Stelle.
    3. Das ist β.
    Ergebnis:
    β
  3. ★6
    g und h sind parallel und werden von s geschnitten. Es gilt δ = 53°. Wie groß ist ζ?
    ghs?δ = 53°
    Lösung zeigen
    1. δ und ζ sind Wechselwinkel.
    2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
    3. ζ = 53°
    Ergebnis:
    53°

3Ich berechne alle acht Winkel an einer Parallelenkreuzung aus einem Winkel.

EntdeckenFrage

Woher weiß man, dass jedes Dreieck 180° hat – niemand hat alle Dreiecke gemessen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Euklid hat es vor über 2000 Jahren bewiesen. Eine Parallele durch eine Ecke legt die beiden anderen Winkel als Wechselwinkel neben den dritten. Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel. Der Beweis gilt für jedes Dreieck, auch für eines, das nie gezeichnet wurde.

MerkenAcht Winkelgrößen an einer Kreuzung

An zwei geschnittenen Parallelen gibt es acht Winkel, aber nur zwei Größen.

Ist ein Winkel bekannt, sind es alle: gleich groß oder zusammen 180°.

BeispielAlle Winkel an geschnittenen Parallelen

Die Parallelen g und h werden von s geschnitten. Es gilt β = 125°. Wie groß ist ε?
ghsα?β = 125°ζγηδφ
Schritt für Schritt
  1. ζ ist Stufenwinkel zu β: ζ = 125°.
  2. ε ist Nebenwinkel zu ζ: 180° − 125° = 55°.
  1. ζ ist Stufenwinkel zu β: ζ = 125°.
  2. ε ist Nebenwinkel zu ζ: 180° − 125° = 55°.
Ergebnis:
55°

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Die Parallelen g und h werden von s geschnitten, und α = 60°. Gib alle anderen sieben Winkel an.
    ghsα = 60°???????
    So fängst du an:
    Scheitelwinkel und Stufenwinkel von α: γ, ε, η haben je 60°.
    Lösung zeigen
    1. Scheitelwinkel und Stufenwinkel von α: γ, ε, η haben je 60°.
    2. Die Nebenwinkel: 180° − 60° = 120°.
    3. β, δ, ζ, φ haben je 120°.
    Ergebnis:
    γ, ε, η: 60°; β, δ, ζ, φ: 120°
  2. ●8
    Die Parallelen g und h werden von s geschnitten, und α = 135°. Gib alle anderen sieben Winkel an.
    ghsα = 135°???????
    Lösung zeigen
    1. Scheitelwinkel und Stufenwinkel von α: γ, ε, η haben je 135°.
    2. Die Nebenwinkel: 180° − 135° = 45°.
    3. β, δ, ζ, φ haben je 45°.
    Ergebnis:
    γ, ε, η: 135°; β, δ, ζ, φ: 45°
  3. ★9
    Die Parallelen g und h werden von s geschnitten. γ ist um 118° größer als sein Nebenwinkel β. Wie groß ist φ?
    ghsαεβζγηδ?
    Lösung zeigen
    1. β = (180° − 118°) : 2 = 31°, γ = 149°
    2. ζ ist Stufenwinkel zu β: ζ = 31°.
    3. φ ist Scheitelwinkel zu ζ: φ = 31°.
    Ergebnis:
    31°

4Ich begründe die Winkelsumme im Dreieck mit Wechselwinkeln.

EntdeckenFrage

Warum wird der klassische Fußball aus Fünfecken und Sechsecken rund und nicht flach?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An jeder Ecke des WM-Balls von 1970 treffen ein Fünfeck und zwei Sechsecke zusammen: 108° + 120° + 120° = 348°. Das sind 12° weniger als ein Vollwinkel. Diese fehlenden Grad wölben die Fläche zur Kugel. Der Ball hat 12 Fünfecke und 20 Sechsecke.

MerkenWinkelsumme im Dreieck

In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.

Die Parallele durch C zeigt es: α und β tauchen dort als Wechselwinkel wieder auf, und mit γ bilden sie einen gestreckten Winkel.

BeispielWinkelsumme im Dreieck begründen

Durch C ist die Parallele p zu AB gezeichnet. Im Bild ist β = 65°. Warum ist β' genauso groß wie β?
α65°γpα'?ABC
Schritt für Schritt
  1. β und β' liegen an den Parallelen AB und p.
  2. Sie liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden BC: Es sind Wechselwinkel.
  3. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
  1. β und β' liegen an den Parallelen AB und p.
  2. Sie liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden BC: Es sind Wechselwinkel.
  3. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
Ergebnis:
Wechselwinkel

AchtungWinkelsumme im Dreieck falsch genutzt

So nicht
Dreieck mit 50° und 60° → dritter Winkel 360° − 110° = 250°
So richtig
Dreieck mit 50° und 60° → dritter Winkel 180° − 110° = 70°

Die drei Winkel ergeben zusammen 180°, nicht 360°. Von 180° die beiden bekannten abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Im Dreieck ABC ist α = 80° und β = 75°. Durch C geht die Parallele p zu AB. Bestimme γ mit Hilfe von α' und β'.
    80°75°?pα'β'ABC
    So fängst du an:
    α' = α = 80° (Wechselwinkel an p und AB)
    Lösung zeigen
    1. α' = α = 80° (Wechselwinkel an p und AB)
    2. β' = β = 75° (Wechselwinkel an p und AB)
    3. α', γ und β' bilden an p einen gestreckten Winkel: 180°.
    4. γ = 180° − 80° − 75° = 25°
    Ergebnis:
    25°
  2. ●11
    Durch C ist die Parallele p zu AB gezeichnet. Im Bild ist β = 35°. Warum ist β' genauso groß wie β?
    α35°γpα'?ABC
    Lösung zeigen
    1. β und β' liegen an den Parallelen AB und p.
    2. Sie liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden BC: Es sind Wechselwinkel.
    3. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
    Ergebnis:
    Wechselwinkel
  3. ★12
    Im Dreieck ABC ist α = 63° und β = 52°. Durch C geht die Parallele p zu AB. Bestimme γ mit Hilfe von α' und β'.
    63°52°?pα'β'ABC
    Lösung zeigen
    1. α' = α = 63° (Wechselwinkel an p und AB)
    2. β' = β = 52° (Wechselwinkel an p und AB)
    3. α', γ und β' bilden an p einen gestreckten Winkel: 180°.
    4. γ = 180° − 63° − 52° = 65°
    Ergebnis:
    65°

5Ich berechne fehlende Winkel im Dreieck und ordne Dreiecke nach ihren Winkeln.

EntdeckenFrage

Welchen Winkel hat jede Ecke eines Stoppschilds – und warum ist das Schild achteckig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Achteck zerfällt von einer Ecke aus in sechs Dreiecke: 6 · 180° = 1080°. Das regelmäßige Achteck hat also acht Winkel zu je 135°. Die achteckige Form gibt es bei keinem anderen Verkehrszeichen, deshalb erkennt man das Schild sogar von hinten oder verschneit.

MerkenSpitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig

Der größte Winkel entscheidet über die Art des Dreiecks.

Unter 90° heißt spitzwinklig, genau 90° rechtwinklig, darüber stumpfwinklig. Zwei stumpfe Winkel passen nie in ein Dreieck.

BeispielFehlender Winkel im Dreieck

Ein dreieckiges Segel hat an zwei Ecken die Winkel 35° und 40°. Wie groß ist der Winkel an der dritten Ecke?
35°?40°ABC
Schritt für Schritt
  1. Die drei Winkel im Dreieck ergeben zusammen 180°.
  2. 35° + 40° = 75°
  3. 180° − 75° = 105°
  1. Die drei Winkel im Dreieck ergeben zusammen 180°.
  2. 35° + 40° = 75°
  3. 180° − 75° = 105°
Ergebnis:
105°

AchtungDreiecksart nach dem Aussehen bestimmt

So nicht
Dreieck mit 30° und 25° → sieht flach aus → spitzwinklig
So richtig
Dreieck mit 30° und 25° → dritter Winkel 180° − 55° = 125° → stumpfwinklig

Den dritten Winkel ausrechnen und den größten nehmen: Er entscheidet.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Dreieck ABC ist α = 60° und β = 45°. Berechne γ.
    60°45°?ABC
    So fängst du an:
    Die drei Winkel im Dreieck ergeben 180°.
    Lösung zeigen
    1. Die drei Winkel im Dreieck ergeben 180°.
    2. α + β = 60° + 45° = 105°
    3. γ = 180° − 105° = 75°
    Ergebnis:
    75°
  2. ●14
    Ein Dreieck hat einen rechten Winkel. Ein zweiter Winkel misst 50°. Wie groß ist der dritte Winkel?
    90°50°?ABC
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Winkel hat 90°.
    2. 90° + 50° = 140°
    3. 180° − 140° = 40°
    Ergebnis:
    40°
  3. ★15
    Im Dreieck ABC ist γ = 87°. Der Winkel β ist doppelt so groß wie α. Wie groß sind α und β?
    ??87°ABC
    Lösung zeigen
    1. α und β zusammen: 180° − 87° = 93°
    2. β ist doppelt so groß: α ist ein Teil, β zwei Teile, zusammen drei Teile.
    3. α = 93° : 3 = 31°, β = 2 · 31° = 62°
    Ergebnis:
    α = 31°, β = 62°

6Ich nutze gleiche Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

EntdeckenFrage

Warum gibt es Fußböden aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken, aber keine aus regelmäßigen Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

An einer Ecke müssen die Winkel genau 360° ergeben. Sechs Dreiecke mit 60°, vier Quadrate mit 90° und drei Sechsecke mit 120° schaffen das. Regelmäßige Fünfecke haben 108°: Drei ergeben 324°, vier schon 432°. Es bleibt immer eine Lücke oder eine Überlappung.

MerkenBasiswinkel im gleichschenkligen Dreieck

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang, die Schenkel.

Die Winkel an der Basis sind gleich groß. Kennt man die Spitze, ist jeder Basiswinkel (180° − Spitze) : 2.

BeispielBasiswinkel im gleichschenkligen Dreieck

Ein Dachgiebel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die beiden Dachseiten steigen unten jeweils mit 25° an. Welchen Winkel bilden sie oben am First?
25°25°?ABC
Schritt für Schritt
  1. Die Winkel unten sind die Basiswinkel: je 25°.
  2. 2 · 25° = 50°
  3. First: 180° − 50° = 130°
  1. Die Winkel unten sind die Basiswinkel: je 25°.
  2. 2 · 25° = 50°
  3. First: 180° − 50° = 130°
Ergebnis:
130°

AchtungSpitze und Basiswinkel vertauscht

So nicht
Gleichschenklig, Spitze 40° → Basiswinkel 40°
So richtig
Gleichschenklig, Spitze 40° → Basiswinkel (180° − 40°) : 2 = 70°

Die zwei gleichen Winkel liegen an der Basis. Die Spitze ist 180° minus beide Basiswinkel.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC. Der Winkel an der Spitze C ist γ = 120°. Wie groß ist α?
    ?β120°ABC
    So fängst du an:
    Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel α und β gleich groß.
    Lösung zeigen
    1. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel α und β gleich groß.
    2. α + β = 180° − 120° = 60°
    3. α = 60° : 2 = 30°
    Ergebnis:
    30°
  2. ●17
    Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC. Der Winkel an der Spitze C ist γ = 80°. Wie groß ist α?
    ?β80°ABC
    Lösung zeigen
    1. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel α und β gleich groß.
    2. α + β = 180° − 80° = 100°
    3. α = 100° : 2 = 50°
    Ergebnis:
    50°
  3. ★18
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Winkel von 20°. Welche Winkel kann es haben? Gib beide Möglichkeiten an.
    Lösung zeigen
    1. Fall 1: 20° ist die Spitze. Basiswinkel: (180° − 20°) : 2 = 80°
    2. Fall 2: 20° ist ein Basiswinkel. Spitze: 180° − 2 · 20° = 140°
    3. Beide Dreiecke gibt es.
    Ergebnis:
    20°, 80°, 80° oder 20°, 20°, 140°

7Ich berechne Winkelsummen in Vierecken und Vielecken.

EntdeckenFrage

Wie groß ist jeder Winkel an den Ecken des Pentagons bei Washington, wenn der Bau ein regelmäßiges Fünfeck ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Fünfeck lässt sich von einer Ecke aus in 3 Dreiecke zerlegen. Seine Winkelsumme ist also 3 · 180° = 540°. Bei fünf gleichen Winkeln hat jede Ecke 540° : 5 = 108°.

MerkenWinkelsumme im Viereck und Vieleck

Eine Diagonale zerlegt jedes Viereck in zwei Dreiecke: 360°.

Ein Vieleck zerfällt von einer Ecke aus in so viele Dreiecke, wie es Ecken hat, weniger zwei. Das Sechseck hat 4 · 180° = 720°.

BeispielWinkel im Viereck

Im Viereck ABCD ist die Diagonale AC gezeichnet. Warum ergeben die vier Winkel zusammen 360°? Prüfe es mit α = 95°, β = 85°, γ = 70° und δ = 110°.
95°85°70°110°ABCD
Schritt für Schritt
  1. Die Diagonale AC zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
  2. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme 180°: 2 · 180° = 360°.
  3. 95° + 85° + 70° + 110° = 360°
  1. Die Diagonale AC zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
  2. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme 180°: 2 · 180° = 360°.
  3. 95° + 85° + 70° + 110° = 360°
Ergebnis:
360°

AchtungWinkelsumme im Vieleck falsch gezählt

So nicht
Sechseck mit 6 Ecken → 6 Dreiecke → 6 · 180° = 1080°
So richtig
Sechseck mit 6 Ecken → 4 Dreiecke → 4 · 180° = 720°

Von einer Ecke aus zählen: Ecken minus zwei Dreiecke, jedes mit 180°. Das Viereck hat 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Im Parallelogramm ABCD ist α = 70°. Wie groß sind β, γ und δ?
    70°???ABCD
    So fängst du an:
    AB und CD sind parallel: α und δ ergänzen sich zu 180°, α und β auch.
    Lösung zeigen
    1. AB und CD sind parallel: α und δ ergänzen sich zu 180°, α und β auch.
    2. β = δ = 180° − 70° = 110°
    3. γ liegt α gegenüber: γ = 70°
    Ergebnis:
    β = 110°, γ = 70°, δ = 110°
  2. ●20
    Im Parallelogramm ABCD ist α = 125°. Wie groß sind β, γ und δ?
    125°???ABCD
    Lösung zeigen
    1. AB und CD sind parallel: α und δ ergänzen sich zu 180°, α und β auch.
    2. β = δ = 180° − 125° = 55°
    3. γ liegt α gegenüber: γ = 125°
    Ergebnis:
    β = 55°, γ = 125°, δ = 55°
  3. ★21
    Im Trapez ABCD sind AB und CD parallel. Es gilt α = 67° und β = 71°. Wie groß sind γ und δ?
    67°71°??ABCD
    Lösung zeigen
    1. An den Parallelen AB und CD ergänzen sich α und δ zu 180°, ebenso β und γ.
    2. δ = 180° − 67° = 113°
    3. γ = 180° − 71° = 109°
    Ergebnis:
    γ = 109°, δ = 113°

8Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.

EntdeckenFrage

Warum haben alle sieben Tangram-Teile nur Winkel von 45°, 90° und 135°?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Tangram wird aus einem Quadrat geschnitten, entlang von Diagonalen und Linien zwischen Seitenmitten. Die Diagonale halbiert jede rechte Ecke in 45° und 45°. Das Parallelogramm hat neben 45° den Nebenwinkel 180° − 45° = 135°. Andere Winkel entstehen bei diesen Schnitten nicht.

MerkenSchritt für Schritt begründen

In zusammengesetzten Figuren führt eine Kette zum Ziel.

Jeder Schritt nennt seinen Grund: Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Winkelsumme oder Basiswinkel. Ohne Grund ist ein Schritt nur geraten.

BeispielWinkel in zusammengesetzten Figuren

Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC. Die Seite BA ist über A hinaus verlängert. Der Winkel außen an A misst 140°. Wie groß ist γ an der Spitze?
αβ?140°ABC
Schritt für Schritt
  1. α = 180° − 140° = 40° (Nebenwinkel)
  2. β = α = 40° (Basiswinkel)
  3. γ = 180° − 2 · 40° = 100°
  1. α = 180° − 140° = 40° (Nebenwinkel)
  2. β = α = 40° (Basiswinkel)
  3. γ = 180° − 2 · 40° = 100°
Ergebnis:
100°

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC. Die Seite BA ist über A hinaus verlängert. Der Winkel außen an A misst 145°. Wie groß ist γ an der Spitze?
    αβ?145°ABC
    So fängst du an:
    α = 180° − 145° = 35° (Nebenwinkel)
    Lösung zeigen
    1. α = 180° − 145° = 35° (Nebenwinkel)
    2. β = α = 35° (Basiswinkel)
    3. γ = 180° − 2 · 35° = 110°
    Ergebnis:
    110°
  2. ●23
    Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC. Die Seite BA ist über A hinaus verlängert. Der Winkel außen an A misst 100°. Wie groß ist γ an der Spitze?
    αβ?100°ABC
    Lösung zeigen
    1. α = 180° − 100° = 80° (Nebenwinkel)
    2. β = α = 80° (Basiswinkel)
    3. γ = 180° − 2 · 80° = 20°
    Ergebnis:
    20°
  3. ★24
    Die Geraden g und h sind parallel. C liegt auf g, A und B liegen auf h. Zwischen g und der Strecke CA liegt ein Winkel von 73°, und β = 63°. Wie groß ist γ?
    hgα63°?73°ABC
    Lösung zeigen
    1. α = 73°: Wechselwinkel an den Parallelen g und h.
    2. Im Dreieck ABC ergeben die Winkel 180°.
    3. γ = 180° − 73° − 63° = 44°
    Ergebnis:
    44°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Der Winkel α misst 40°. Berechne β und sage, warum.
    ghα = 40°?γδ
    Lösung zeigen
    1. β liegt neben α: Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.
    2. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
    3. 180° − 40° = 140°
    Ergebnis:
    140°
  2. ●26
    Es gilt δ = 65°. Tim sagt: „δ und α sind Nebenwinkel, also ist α = 115°.“ Stimmt das?
    gh?βγδ = 65°
    Lösung zeigen
    1. δ und α liegen nebeneinander: Es sind Nebenwinkel.
    2. Also ist α = 180° − 65° = 115°.
    3. Tim hat recht.
    Ergebnis:
    ja
  3. ●27
    An den Parallelen g und h, geschnitten von s: Welcher Winkel ist Stufenwinkel zu ε?
    ghsε
    Lösung zeigen
    1. ε liegt an seinem Schnittpunkt rechts oben.
    2. Sein Stufenwinkel liegt am anderen Schnittpunkt an derselben Stelle.
    3. Das ist α.
    Ergebnis:
    α
  4. ●28
    Die Geraden g und h werden von s geschnitten. Gemessen wurden γ = 105° und ε = 105°. Sind g und h parallel?
    ghsε = 105°γ = 105°
    Lösung zeigen
    1. γ und ε sind Wechselwinkel.
    2. Nur an Parallelen sind Wechselwinkel gleich groß.
    3. 105° und 105° sind gleich: g und h sind parallel.
    Ergebnis:
    ja
  5. ●29
    Die Parallelen g und h werden von s geschnitten, und α = 70°. Gib alle anderen sieben Winkel an.
    ghsα = 70°???????
    Lösung zeigen
    1. Scheitelwinkel und Stufenwinkel von α: γ, ε, η haben je 70°.
    2. Die Nebenwinkel: 180° − 70° = 110°.
    3. β, δ, ζ, φ haben je 110°.
    Ergebnis:
    γ, ε, η: 70°; β, δ, ζ, φ: 110°
  6. ●30
    Im Dreieck ABC ist α = 35° und β = 65°. Durch C geht die Parallele p zu AB. Bestimme γ mit Hilfe von α' und β'.
    35°65°?pα'β'ABC
    Lösung zeigen
    1. α' = α = 35° (Wechselwinkel an p und AB)
    2. β' = β = 65° (Wechselwinkel an p und AB)
    3. α', γ und β' bilden an p einen gestreckten Winkel: 180°.
    4. γ = 180° − 35° − 65° = 80°
    Ergebnis:
    80°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Neben- und Scheitelwinkel
Zwei Geraden schneiden sich und bilden vier Winkel.
Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen
Wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, entstehen Stufenwinkel und Wechselwinkel.
Acht Winkelgrößen an einer Kreuzung
An zwei geschnittenen Parallelen gibt es acht Winkel, aber nur zwei Größen.
Winkelsumme im Dreieck
In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.
Spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig
Der größte Winkel entscheidet über die Art des Dreiecks.
Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck
Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang, die Schenkel.
Winkelsumme im Viereck und Vieleck
Eine Diagonale zerlegt jedes Viereck in zwei Dreiecke: 360°.
Schritt für Schritt begründen
In zusammengesetzten Figuren führt eine Kette zum Ziel.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Nebenwinkel und Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden.

    31
    Zwei Geraden schneiden sich. Es gilt α = 75°. Wie groß ist γ?
    ghα = 75°β?δ
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75°

  2. Ich erkenne Stufenwinkel und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen.

    32
    An den Parallelen g und h, geschnitten von s: Welcher Winkel ist Wechselwinkel zu ζ?
    ghsζ
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    δ

  3. Ich berechne alle acht Winkel an einer Parallelenkreuzung aus einem Winkel.

    33
    Die Parallelen g und h werden von s geschnitten. Es gilt α = 130°. Wie groß ist φ?
    ghsα = 130°εβζγηδ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50°

  4. Ich begründe die Winkelsumme im Dreieck mit Wechselwinkeln.

    34
    Durch C ist die Parallele p zu AB gezeichnet. Im Bild ist β = 40°. Warum ist β' genauso groß wie β?
    α40°γpα'?ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Wechselwinkel

  5. Ich berechne fehlende Winkel im Dreieck und ordne Dreiecke nach ihren Winkeln.

    35
    Ein Dreieck hat einen rechten Winkel. Ein zweiter Winkel misst 60°. Wie groß ist der dritte Winkel?
    90°60°?ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30°

  6. Ich nutze gleiche Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

    36
    Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit AC = BC. Der Winkel an der Spitze C ist γ = 20°. Wie groß ist α?
    ?β20°ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80°

  7. Ich berechne Winkelsummen in Vierecken und Vielecken.

    37
    Im Parallelogramm ABCD ist α = 115°. Wie groß sind β, γ und δ?
    115°???ABCD
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    β = 65°, γ = 115°, δ = 65°

  8. Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.

    38
    Die Seite AB des Dreiecks ABC ist über B hinaus verlängert. Dort liegt außen der Winkel ε = 120°. Außerdem ist α = 60°. Wie groß ist γ?
    60°β?120°ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zwei Linien kreuzen sich. Ein Winkel ist mit 38° angegeben. Bestimme die drei anderen Winkel – ohne Geodreieck, nur mit dem, was du weißt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Nebenwinkel und Scheitelwinkel als Abkürzung beim Bestimmen von Winkeln.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Straßenkreuzungen, Dachgiebel, Fliesen und Bienenwaben. Beruf: Zimmerei und Dachdeckerei, Fliesenlegen, Vermessung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Winkel, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

Darauf baut auf: Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

Lösungen

  1. 40°
  2. 35°
  3. 57°
  4. 40°
  5. β
  6. 53°
  7. γ, ε, η: 60°; β, δ, ζ, φ: 120°
  8. γ, ε, η: 135°; β, δ, ζ, φ: 45°
  9. 31°
  10. 25°
  11. Wechselwinkel
  12. 65°
  13. 75°
  14. 40°
  15. α = 31°, β = 62°
  16. 30°
  17. 50°
  18. 20°, 80°, 80° oder 20°, 20°, 140°
  19. β = 110°, γ = 70°, δ = 110°
  20. β = 55°, γ = 125°, δ = 55°
  21. γ = 109°, δ = 113°
  22. 110°
  23. 20°
  24. 44°
  25. 140°
  26. ja
  27. α
  28. ja
  29. γ, ε, η: 70°; β, δ, ζ, φ: 110°
  30. 80°
  31. 75°
  32. δ
  33. 50°
  34. Wechselwinkel
  35. 30°
  36. 80°
  37. β = 65°, γ = 115°, δ = 65°
  38. 60°
  39. stumpf
  40. 75°