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Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten und Zufall

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Sechs Kinder haben 5, 6, 6, 7, 8 und 80 € Taschengeld. Was ist das typische Taschengeld dieser Gruppe? Begründe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Der Mittelwert sagt 18,67 €, aber niemand hat annähernd so viel. Die Klasse merkt, dass der Mittelwert hier lügt. Die Zahl in der Mitte der geordneten Reihe – 6,50 € – beschreibt die Gruppe besser. Das ist der Median, und er lässt sich vom Ausreißer nicht beeindrucken.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Anteil ist ein Bruch des Ganzen – 14 von 20 sind sieben Zehntel.

  1. ●35
    Berechne 23 von 30 kg.
    Lösung zeigen
    1. 30 : 3 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 kg
  2. ●36
    Welcher Bruch ist größer: 16 oder 29? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 954 und 1254
    2. 16 < 29
    Ergebnis:
    16 < 29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Mittelwert gleicht aus

Der Mittelwert ist der Wert, den alle hätten, wenn man gerecht umverteilte. Der Median ist etwas anderes: der Wert in der Mitte, wenn man alle der Größe nach aufstellt.

Werte 1, 2, 2, 3, 12: Der Median ist 2, der Mittelwert 4 – der Ausreißer zieht ihn024681012Median 2Mittelwert 4Der Ausreißer zieht nur den Mittelwert

WeiterdenkenDenk nach

Ein Millionär betritt eine Kneipe. Was passiert mit dem Mittelwert der Einkommen, was mit dem Median?

1Ich erhebe Daten und stelle sie in Tabellen dar.

EntdeckenFrage

Warum ist „der Durchschnittsdeutsche hat 1,4 Kinder“ eine Zahl, die auf niemanden zutrifft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mittelwert beschreibt die Gruppe, nicht die Person. Der Median – die Mitte – sagt oft mehr: Beim Einkommen liegt er in Deutschland deutlich unter dem Mittelwert, weil wenige sehr hohe Einkommen den Schnitt hochziehen.

MerkenDaten erheben

Strichliste, dann Tabelle: absolute Häufigkeit = Anzahl, relative Häufigkeit = Anteil.

Relativ heißt Anzahl geteilt durch Gesamt.

Eselsbrücke: Median = Mitte der geordneten Liste, Mittelwert = Summe durch Anzahl, Modus = das Häufigste (Mode)

BeispielTabelle auswerten

Bücher gelesen in den Ferien: Sara 7, Mia 12, Leon 3, Ben 7. Gib an, wer am meisten gelesen hat. Berechne den Durchschnitt.
7Sara12Mia3Leon7Ben
Schritt für Schritt
  1. Am meisten: Mia (12)
  2. Durchschnitt: 29 : 4 = 7,25
  1. Am meisten: Mia (12)
  2. Durchschnitt: 29 : 4 = 7,25
Ergebnis:
Mia · Ø 7,25

AchtungMedian nicht sortiert

So nicht
7, 3, 9, 4, 5 → Median 9
So richtig
sortiert 3, 4, 5, 7, 9 → Median 5

Erst der Größe nach ordnen, dann die Mitte nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bücher gelesen in den Ferien: Emir 4, Jonas 4, Elif 2, Lina 8. Gib an, wer am meisten gelesen hat. Berechne den Durchschnitt.
    So fängst du an:
    Am meisten: Lina (8)
    Lösung zeigen
    1. Am meisten: Lina (8)
    2. Durchschnitt: 18 : 4 = 4,5
    Ergebnis:
    Lina · Ø 4,5
  2. ●2
    Bücher gelesen in den Ferien: Paul 11, Aylin 10, Jonas 2, Sara 10. Gib an, wer am meisten gelesen hat. Berechne den Durchschnitt.
    Lösung zeigen
    1. Am meisten: Paul (11)
    2. Durchschnitt: 33 : 4 = 8,25
    Ergebnis:
    Paul · Ø 8,25
  3. ★3
    Bücher gelesen in den Ferien: Ben 4, Emir 11, Hanna 10, Lina 10. Gib an, wer am meisten gelesen hat. Berechne den Durchschnitt und den Anteil dieser Person an allen Büchern in Prozent.
    Lösung zeigen
    1. Am meisten: Emir (11)
    2. Durchschnitt: 35 : 4 = 8,75
    3. Anteil: 11 : 35 = 31,4 %
    Ergebnis:
    Emir · Ø 8,75 · 31,4 %

2Ich zeichne und lese Säulen- und Kreisdiagramme.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich ist es, dass in deiner Klasse zwei am selben Tag Geburtstag haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab 23 Personen über 50 %, bei 30 schon 70 % – das Geburtstagsparadoxon. Es geht nicht um deinen Geburtstag, sondern um alle Paare.

MerkenDiagramme

Säulendiagramm: Höhe = Häufigkeit.

Kreisdiagramm: Winkel = Anteil · 360°. Achsen beschriften, Einheit angeben.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anteil

43 von 60 Schüler:innen kommen mit dem Bus. Berechne, wie groß der Winkel dieses Anteils im Kreisdiagramm ist.
43 von 60Winkel = 43/60 · 360°= ?
Schritt für Schritt
  1. Anteil = 43 : 60 = 0,717
  2. Winkel = 0,717 · 360° = 258°
  1. Anteil = 43 : 60 = 0,717
  2. Winkel = 0,717 · 360° = 258°
Ergebnis:
258°

AchtungNoch einmal: Median nicht sortiert

So nicht
7, 3, 9, 4, 5 → Median 9
So richtig
sortiert 3, 4, 5, 7, 9 → Median 5

Erst der Größe nach ordnen, dann die Mitte nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    21 von 40 Schüler:innen kommen mit dem Bus. Berechne, wie groß der Winkel dieses Anteils im Kreisdiagramm ist.
    So fängst du an:
    Anteil = 21 : 40 = 0,525
    Lösung zeigen
    1. Anteil = 21 : 40 = 0,525
    2. Winkel = 0,525 · 360° = 189°
    Ergebnis:
    189°
  2. ●5
    4 von 20 Schüler:innen kommen mit dem Bus. Berechne, wie groß der Winkel dieses Anteils im Kreisdiagramm ist.
    Lösung zeigen
    1. Anteil = 4 : 20 = 0,2
    2. Winkel = 0,2 · 360° = 72°
    Ergebnis:
    72°
  3. ★6
    11 von 24 Schüler:innen kommen mit dem Bus. Berechne, wie groß der Winkel dieses Anteils im Kreisdiagramm ist.
    Lösung zeigen
    1. Anteil = 11 : 24 = 0,458
    2. Winkel = 0,458 · 360° = 165°
    Ergebnis:
    165°

3Ich berechne Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum liegt der mittlere Verdienst in Deutschland unter dem Durchschnittsverdienst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil wenige sehr hohe Werte den Durchschnitt nach oben ziehen, die Mitte der Reihe aber nicht. Der Median ist der Wert in der Mitte: Die Hälfte liegt darunter, die Hälfte darüber.

MerkenMittelwert, Median, Spannweite

Mittelwert = Summe : Anzahl.

Median = mittlerer Wert der sortierten Liste. Spannweite = größter minus kleinster Wert.

BeispielMittelwert und Median

Punkte im Test: 2, 6, 7, 6, 1. Berechne Mittelwert.
26761
Schritt für Schritt
  1. Summe 22 : 5 = 4,4
  1. Summe 22 : 5 = 4,4
Ergebnis:
x̄ = 4,4

AchtungMittelwert und Median verwechselt

So nicht
Punkte im Test: 2, 6, 7, 6, 1. Berechne Mittelwert → 6
So richtig
Punkte im Test: 2, 6, 7, 6, 1. Berechne Mittelwert → x̄ = 4,4

Zähl für den Mittelwert alle Werte zusammen. Teile dann durch die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Punkte im Test: 10, 11, 4, 1, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,8
  2. ●8
    Punkte im Test: 2, 2, 14, 14, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  3. ★9
    Punkte im Test: 7, 2, 15, 3, 7, 10. Berechne Mittelwert und Median.
    Lösung zeigen
    1. Summe 44 : 6 = 7,33
    2. Sortiert: 2, 3, 7, 7, 10, 15 → Median 7
    Ergebnis:
    x̄ = 7,33; Median = 7

4Ich beurteile Diagramme kritisch.

EntdeckenFrage

Warum wirkt eine Säule doppelt so hoch, obwohl der Wert nur um zehn Prozent steigt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Achse nicht bei null beginnt. Ein abgeschnittener Nullpunkt vergrößert jeden Unterschied optisch – es ist der häufigste Trick in Schaubildern.

MerkenDiagramme kritisch lesen

Achse, die nicht bei 0 beginnt, oder abgeschnittene Säulen übertreiben Unterschiede.

Immer Skala und Grundgesamtheit prüfen.

BeispielDiagramm kritisch lesen: abgeschnittene Achse

Ein Säulendiagramm zeigt: Punkte einer Mannschaft – Vorjahr 92, dieses Jahr 96. Die y-Achse beginnt bei 88 statt bei 0, die zweite Säule sieht 2-mal so hoch aus. Berechne, um wie viel Prozent der Wert wirklich gestiegen ist. Begründe, was am Diagramm unfair ist.
Schritt für Schritt
  1. Zunahme: 96 − 92 = 4
  2. 4 : 92 = 0,04 → etwa 4,3 %
  3. Die Achse beginnt bei 88: Der Unterschied wird optisch aufgeblasen
  1. Zunahme: 96 − 92 = 4
  2. 4 : 92 = 0,04 → etwa 4,3 %
  3. Die Achse beginnt bei 88: Der Unterschied wird optisch aufgeblasen
Ergebnis:
Etwa 4,3 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Säulendiagramm zeigt: Punkte einer Mannschaft – Vorjahr 90, dieses Jahr 92. Die y-Achse beginnt bei 86 statt bei 0, die zweite Säule sieht 1,5-mal so hoch aus. Berechne, um wie viel Prozent der Wert wirklich gestiegen ist. Begründe, was am Diagramm unfair ist.
    So fängst du an:
    Zunahme: 92 − 90 = 2
    Lösung zeigen
    1. Zunahme: 92 − 90 = 2
    2. 2 : 90 = 0,02 → etwa 2,2 %
    3. Die Achse beginnt bei 86: Der Unterschied wird optisch aufgeblasen
    Ergebnis:
    Etwa 2,2 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht
  2. ●11
    Ein Säulendiagramm zeigt: Punkte einer Mannschaft – Vorjahr 80, dieses Jahr 82. Die y-Achse beginnt bei 76 statt bei 0, die zweite Säule sieht 1,5-mal so hoch aus. Berechne, um wie viel Prozent der Wert wirklich gestiegen ist. Begründe, was am Diagramm unfair ist.
    Lösung zeigen
    1. Zunahme: 82 − 80 = 2
    2. 2 : 80 = 0,03 → etwa 2,5 %
    3. Die Achse beginnt bei 76: Der Unterschied wird optisch aufgeblasen
    Ergebnis:
    Etwa 2,5 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht
  3. ★12
    Ein Säulendiagramm zeigt: Follower eines Schulkanals – Vorjahr 95, dieses Jahr 100. Die y-Achse beginnt bei 91 statt bei 0, die zweite Säule sieht 2,3-mal so hoch aus. Berechne, um wie viel Prozent der Wert wirklich gestiegen ist. Begründe, was am Diagramm unfair ist.
    Lösung zeigen
    1. Zunahme: 100 − 95 = 5
    2. 5 : 95 = 0,05 → etwa 5,3 %
    3. Die Achse beginnt bei 91: Der Unterschied wird optisch aufgeblasen
    Ergebnis:
    Etwa 5,3 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht

5Ich beschreibe Zufallsexperimente und Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Kommt nach fünfmal Kopf endlich Zahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die Münze hat kein Gedächtnis, die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Wurf gleich. Der Irrtum ist so verbreitet, dass er einen eigenen Namen trägt: Spielerfehlschluss.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenZufallsexperiment

Ausgang nicht vorhersagbar, aber alle Ergebnisse bekannt: Würfel {1, …, 6}.

Ein Ereignis fasst Ergebnisse zusammen: „gerade“ = {2, 4, 6}.

BeispielLaplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln.
123456sechs Seiten, jede gleich wahrscheinlich
Schritt für Schritt
  1. günstige : mögliche Ergebnisse
  2. 1 : 6 = 0,167
  1. günstige : mögliche Ergebnisse
  2. 1 : 6 = 0,167
Ergebnis:
16 ≈ 16,7 %

AchtungEntlang des Pfades addiert

So nicht
rot, rot: 1/3 + 1/3 = 2/3
So richtig
rot, rot: 1/3 · 1/3 = 1/9

Nimm entlang eines Pfades mal. Addiere nur ganze Pfade.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In einer Urne sind 2 rote, 3 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
    So fängst du an:
    Insgesamt 5 Kugeln, davon 3 nicht rot
    Lösung zeigen
    1. Insgesamt 5 Kugeln, davon 3 nicht rot
    2. 35 = 0,6
    Ergebnis:
    35 ≈ 60 %
  2. ●14
    In einer Urne sind 5 rote, 4 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
    Lösung zeigen
    1. Insgesamt 9 Kugeln, davon 4 nicht rot
    2. 49 = 0,444
    Ergebnis:
    49 ≈ 44,4 %
  3. ★15
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mehr als 4 zu würfeln.
    Lösung zeigen
    1. günstige : mögliche Ergebnisse
    2. 2 : 6 = 0,333
    Ergebnis:
    26 ≈ 33,3 %

6Ich berechne Wahrscheinlichkeiten nach Laplace.

EntdeckenFrage

Wie groß ist die Chance, beim Skat als erste Karte einen Buben zu bekommen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Skatblatt hat 32 Karten, darunter 4 Buben. Jede Karte ist gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit ist 4/32 = 1/8, also 12,5 Prozent.

MerkenLaplace

Alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Dann P = günstige : mögliche. P(gerade) = 3/6 = ½.

BeispielLaplace-Wahrscheinlichkeit

Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne P(eine Herz-Karte).
Schritt für Schritt
  1. 8 günstige von 32
  2. 832 = 0,25
  1. 8 günstige von 32
  2. 832 = 0,25
Ergebnis:
832 = 25 %

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    In einer Urne sind 4 rote, 3 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
    So fängst du an:
    Insgesamt 7 Kugeln, davon 3 nicht rot
    Lösung zeigen
    1. Insgesamt 7 Kugeln, davon 3 nicht rot
    2. 37 = 0,429
    Ergebnis:
    37 ≈ 42,9 %
  2. ●17
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln.
    Lösung zeigen
    1. günstige : mögliche Ergebnisse
    2. 3 : 6 = 0,5
    Ergebnis:
    36 ≈ 50 %
  3. ★18
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln.
    Lösung zeigen
    1. günstige : mögliche Ergebnisse
    2. 3 : 6 = 0,5
    Ergebnis:
    36 ≈ 50 %

7Ich vergleiche relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

EntdeckenFrage

John Kerrich warf 10.000-mal eine Münze. Kam dabei wirklich fast genau 5.000-mal Kopf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er zählte 5.067-mal Kopf. Die relative Häufigkeit ist 0,5067, die Wahrscheinlichkeit 0,5. Absolut sind das 67 Würfe Abstand, relativ nur 0,67 Prozentpunkte. Bei vielen Würfen nähert sich die Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit.

MerkenHäufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Viele Versuche: Die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

Das ist das Gesetz der großen Zahlen.

BeispielRelative Häufigkeit

Ein Reißnagel wurde 50-mal geworfen, er landete 16-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
16Treffer34andere
Schritt für Schritt
  1. h = 16 : 50 = 0,32
  1. h = 16 : 50 = 0,32
Ergebnis:
0,32 = 32 %

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 132-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,528 = 52,8 %
  2. ●20
    Ein Reißnagel wurde 200-mal geworfen, er landete 111-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,555 = 55,5 %
  3. ★21
    Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 119-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit. Wie oft erwartest du „Spitze“ bei 1000 Würfen?
    Lösung zeigen
    1. h = 119 : 250 = 0,476
    2. 1000 · 0,476 = 476
    Ergebnis:
    0,476 · etwa 476-mal

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Punkte im Test: 11, 8, 2, 10, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7
  2. ●23
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 17, 6, 3, 5. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 5, 6, 8, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 6
    3. Spannweite = 17 − 3 = 14
    Ergebnis:
    Median 6; Spannweite 14
  3. ●24
    7 von 40 Schüler:innen kommen mit dem Bus. Berechne, wie groß der Winkel dieses Anteils im Kreisdiagramm ist.
    Lösung zeigen
    1. Anteil = 7 : 40 = 0,175
    2. Winkel = 0,175 · 360° = 63°
    Ergebnis:
    63°
  4. ●25
    Ein Reißnagel wurde 50-mal geworfen, er landete 15-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,3 = 30 %
  5. ●26
    In einer Urne sind 2 rote, 4 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
    Lösung zeigen
    1. Insgesamt 6 Kugeln, davon 4 nicht rot
    2. 46 = 0,667
    Ergebnis:
    46 ≈ 66,7 %
  6. ●27
    Urne mit 2 roten und 1 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot.
    Lösung zeigen
    1. P(Rot) = 23
    2. Pfadregel: 23 · 23 = 49
    Ergebnis:
    49

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Daten erheben
Strichliste, dann Tabelle: absolute Häufigkeit = Anzahl, relative Häufigkeit = Anteil.
Diagramme
Säulendiagramm: Höhe = Häufigkeit.
Mittelwert, Median, Spannweite
Mittelwert = Summe : Anzahl.
Diagramme kritisch lesen
Achse, die nicht bei 0 beginnt, oder abgeschnittene Säulen übertreiben Unterschiede.
Zufallsexperiment
Ausgang nicht vorhersagbar, aber alle Ergebnisse bekannt: Würfel {1, …, 6}.
Laplace
Alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Dann P = günstige : mögliche. P(gerade) = 3/6 = ½.
Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Viele Versuche: Die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

AchtungPfadregel vergessen

So nicht
zweimal rot: 0,3 + 0,3 = 0,6
So richtig
zweimal rot: 0,3 · 0,3 = 0,09

Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.

AchtungMedian ohne Sortieren

So nicht
7, 3, 9, 4, 5 → Median 9
So richtig
sortiert 3, 4, 5, 7, 9 → Median 5

Erst der Größe nach ordnen, dann den mittleren Wert nehmen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erhebe Daten und stelle sie in Tabellen dar.

    28
    Bücher gelesen in den Ferien: Ben 3, Noah 9, Emir 8, Aylin 3. Gib an, wer am meisten gelesen hat. Berechne den Durchschnitt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Noah · Ø 5,75

  2. Ich zeichne und lese Säulen- und Kreisdiagramme.

    29
    34 von 60 Schüler:innen kommen mit dem Bus. Berechne, wie groß der Winkel dieses Anteils im Kreisdiagramm ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    204°

  3. Ich berechne Mittelwert, Median und Spannweite.

    30
    Punkte im Test: 7, 4, 9, 13, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,2

  4. Ich beurteile Diagramme kritisch.

    31
    Ein Säulendiagramm zeigt: Punkte einer Mannschaft – Vorjahr 90, dieses Jahr 93. Die y-Achse beginnt bei 86 statt bei 0, die zweite Säule sieht 1,8-mal so hoch aus. Berechne, um wie viel Prozent der Wert wirklich gestiegen ist. Begründe, was am Diagramm unfair ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Etwa 3,3 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht

  5. Ich beschreibe Zufallsexperimente und Ergebnisse.

    32
    In einer Urne sind 2 rote, 4 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46 ≈ 66,7 %

  6. Ich berechne Wahrscheinlichkeiten nach Laplace.

    33
    In einer Urne sind 6 rote, 2 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 ≈ 25 %

  7. Ich vergleiche relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

    34
    Ein Reißnagel wurde 100-mal geworfen, er landete 21-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,21 = 21 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Sechs Kinder haben 5, 6, 6, 7, 8 und 80 € Taschengeld. Was ist das typische Taschengeld dieser Gruppe? Begründe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Median: die Mitte, die Ausreißer nicht verschieben.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Statistiken in der Zeitung, Fußballtabellen. Beruf: Marktforschung, Medizin (Studien), Journalismus.

ÜbenMit echten Zahlen

Diese Zahlen sind gemessen, nicht ausgedacht. Die Quelle und der Stand stehen bei jeder Aufgabe.

  1. ●37
    Das Diagramm zeigt die Inflationsrate in Deutschland im Jahresdurchschnitt.
    Bestimme den Median für die Jahre 2021 bis 2023.
    Daten: Statistisches Bundesamt (Nutzung mit Quellenangabe), Stand 10.09.2026
    Inflationsrate im Jahresdurchschnitt in %3,120216,920225,920232,220242,22025Jahr
    Lösung zeigen
    1. Sortiert: 3,1; 5,9; 6,9
    2. Mitte: 5,9
    Ergebnis:
    5,9 %
  2. ●38
    Das Diagramm zeigt die mittlere Lufttemperatur im Jahr für Deutschland von 2015 bis 2025.
    Welches Jahr war am wärmsten? Bestimme die Spannweite.
    Daten: Deutscher Wetterdienst (CC BY 4.0), Stand 02.09.2026
    Jahresmitteltemperatur, Deutschland91115161718192021222324259,949,559,5810,4510,2810,439,1610,5210,6310,8910,03°C
    Lösung zeigen
    1. Am wärmsten: 2024 mit 10,89 °C, am kältesten 2021 mit 9,16 °C
    2. 10,89 − 9,16 = 1,73
    Ergebnis:
    2024; Spannweite 1,73 °C
  3. ●39
    Im Mai 2026 lag die mittlere Temperatur in Deutschland bei 14,05 °C. Im Mittel der Jahre 1991 bis 2020 waren es im Mai 13,11 °C.
    Um wie viel Grad war der Mai 2026 wärmer oder kälter als üblich?
    Daten: Deutscher Wetterdienst (CC BY 4.0), Stand 02.09.2026
    Lösung zeigen
    1. 14,05 − 13,11 = 0,94
    2. Um 0,94 °C wärmer.
    Ergebnis:
    0,94 °C wärmer

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Ereignis
das, was passieren kann
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert
Zufallsexperiment
ein Versuch, dessen Ausgang man nicht vorher weiß

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Daten vergleichen und Zufall untersuchen

Darauf baut auf: Daten in Klassen, Rechnen mit der Tabellenkalkulation

Lösungen

  1. Lina · Ø 4,5
  2. Paul · Ø 8,25
  3. Emir · Ø 8,75 · 31,4 %
  4. 189°
  5. 72°
  6. 165°
  7. x̄ = 5,8
  8. x̄ = 7,4
  9. x̄ = 7,33; Median = 7
  10. Etwa 2,2 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht
  11. Etwa 2,5 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht
  12. Etwa 5,3 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht
  13. 35 ≈ 60 %
  14. 49 ≈ 44,4 %
  15. 26 ≈ 33,3 %
  16. 37 ≈ 42,9 %
  17. 36 ≈ 50 %
  18. 36 ≈ 50 %
  19. 0,528 = 52,8 %
  20. 0,555 = 55,5 %
  21. 0,476 · etwa 476-mal
  22. x̄ = 7
  23. Median 6; Spannweite 14
  24. 63°
  25. 0,3 = 30 %
  26. 46 ≈ 66,7 %
  27. 49
  28. Noah · Ø 5,75
  29. 204°
  30. x̄ = 9,2
  31. Etwa 3,3 % mehr – die abgeschnittene Achse täuscht
  32. 46 ≈ 66,7 %
  33. 28 ≈ 25 %
  34. 0,21 = 21 %
  35. 20 kg
  36. 16 < 29
  37. 5,9 %
  38. 2024; Spannweite 1,73 °C
  39. 0,94 °C wärmer