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Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Flächeninhalt und Volumen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Wie groß ist die Fläche dieses schiefen Grundstücks (ein Parallelogramm)? Du kennst nur die Rechteckformel.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Länge mal Seite ergibt zu viel, Kästchen zählen ist bei krummen Rändern ungenau. Die Klasse merkt: Man muss die Figur umbauen. Ein Dreieck abschneiden und auf der anderen Seite ansetzen – schon ist es ein Rechteck. Grundseite mal Höhe. Alle anderen Formeln entstehen genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Der Flächeninhalt ist die Zahl der Einheitsquadrate, die hineinpassen – nicht der Rand.

  1. ●43
    Zeichne im Heft eine Figur mit genau 8 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
    Lösung zeigen
    1. 8 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 4 · 2, aber auch anders
    2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
    3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
    Ergebnis:
    Mehrere richtige Lösungen. 4 · 2 hat den Umfang 12; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  2. ●44
    Wie lang ist der Rand (Umfang) der Figur? Ein Kästchen ist 1 cm.
    Lösung zeigen
    1. Oben 5, unten 5, links 5, rechts 5
    2. 5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm
    Ergebnis:
    20 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenFläche wird mit Quadraten ausgelegt

Ein Flächeninhalt sagt, wie viele Einheitsquadrate hineinpassen. Die Formel ist die Abkürzung dafür, das Auszählen zu sparen – nicht der Ursprung der Sache.

6 Quadrate lang4 hoch6 · 4 = 24 Quadrate

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Figuren mit demselben Umfang. Muss ihre Fläche gleich groß sein?

1Ich berechne Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten.

EntdeckenFrage

Wie viele Menschen passen auf ein Fußballfeld?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Rund 7 000 m² – bei vier Personen je Quadratmeter etwa 28 000, dicht wie im Konzert. Deutschland würde mit 3 000 Fußballfeldern auskommen, wenn alle stehen.

Ausprobieren: Flächen zerlegen und verschieben

Ein Dreieck abschneiden und verschieben: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck, aus zwei Dreiecken ein Parallelogramm.

MerkenRechteck

Umfang u = 2 · (a + b). Flächeninhalt A = a · b. Quadrat: u = 4a, A = a².

Eselsbrücke: Dreieck: halbes Rechteck – A = g · h : 2

BeispielRechteck: Umfang und Fläche

Ein Rechteck ist 11 cm lang und 5 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
11 cm5 cmU = ? A = ?
Schritt für Schritt
  1. u = 2 · (11 + 5) = 32 cm
  2. A = 11 · 5 = 55 cm²
  1. u = 2 · (11 + 5) = 32 cm
  2. A = 11 · 5 = 55 cm²
Ergebnis:
u = 32 cm; A = 55 cm²

AchtungUmfang und Fläche verwechselt

So nicht
Rechteck 5 cm · 3 cm, Umfang = 15 cm
So richtig
Umfang = 2 · (5 + 3) = 16 cm, Fläche = 15 cm²

Umfang ist der Weg außen herum (cm), Fläche das Innere (cm²).

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Rechteck ist 5 cm lang und 8 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    So fängst du an:
    u = 2 · (5 + 8) = 26 cm
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · (5 + 8) = 26 cm
    2. A = 5 · 8 = 40 cm²
    Ergebnis:
    u = 26 cm; A = 40 cm²
  2. ●2
    Ein Rechteck ist 8 cm lang und 3 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · (8 + 3) = 22 cm
    2. A = 8 · 3 = 24 cm²
    Ergebnis:
    u = 22 cm; A = 24 cm²
  3. ★3
    Ein Rechteck ist 12,5 cm lang und 1,5 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · (12,5 + 1,5) = 28 cm
    2. A = 12,5 · 1,5 = 18,75 cm²
    Ergebnis:
    u = 28 cm; A = 18,75 cm²

2Ich berechne den Flächeninhalt von Parallelogrammen.

EntdeckenFrage

Warum ist die Verpackung fast immer größer als das, was drin ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Volumen wächst mit der dritten Potenz, Oberfläche mit der zweiten: Ein doppelt so großer Karton hat viermal so viel Pappe, aber achtmal so viel Platz. Große Packungen sparen Material – und lassen sich halb leer verkaufen.

MerkenParallelogramm

A = g · h. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite – nicht die schräge Seite nehmen.

Eselsbrücke: Parallelogramm: Rechteck mit verschobener Ecke – A = g · h (nicht mal Schrägseite!)

BeispielParallelogramm und Trapez

Ein Parallelogramm hat die Grundseite g = 9 cm und die Höhe h = 8 cm. Berechne den Flächeninhalt.
g = 9 cmh = 8 cmA = ?
Schritt für Schritt
  1. A = g · h = 9 · 8 = 72 cm²
  1. A = g · h = 9 · 8 = 72 cm²
Ergebnis:
72 cm²

AchtungDie Hälfte vergessen (Dreieck, Trapez)

So nicht
g = 12 cm, h = 5 cm → 60 cm²
So richtig
g = 12 cm, h = 5 cm → 12 · 5 : 2 = 30 cm²

Rechne Grundseite mal Höhe. Teile dann durch 2.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Parallelogramm hat die Grundseite g = 4 cm und die Höhe h = 8 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 cm²
  2. ●5
    Ein Parallelogramm hat die Grundseite g = 10 cm und die Höhe h = 8 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80 cm²
  3. ★6
    Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 8 cm und c = 3 cm, die Höhe h = 7 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = (a + c) : 2 · h = (8 + 3) : 2 · 7
    2. = 5,5 · 7 = 38,5 cm²
    Ergebnis:
    38,5 cm²

3Ich berechne den Flächeninhalt von Dreiecken.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Dreieck genau halb so groß wie das Rechteck um es herum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil zwei gleiche Dreiecke zusammen ein Rechteck ergeben. Deshalb steht in der Formel die Hälfte: Grundseite mal Höhe, geteilt durch zwei.

MerkenDreieck

A = g · h : 2. Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Höhe senkrecht zur Grundseite.

BeispielDreieck: Flächeninhalt

Ein Dreieck hat die Grundseite g = 12 cm und die Höhe h = 7 cm. Berechne den Flächeninhalt.
12 cm7 cmA = ?
Schritt für Schritt
  1. A = g · h : 2 = 12 · 7 : 2
  2. A = 42 cm²
  1. A = g · h : 2 = 12 · 7 : 2
  2. A = 42 cm²
Ergebnis:
42 cm²

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Dreieck hat die Grundseite g = 6 cm und die Höhe h = 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    So fängst du an:
    A = g · h : 2 = 6 · 5 : 2
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2 = 6 · 5 : 2
    2. A = 15 cm²
    Ergebnis:
    15 cm²
  2. ●8
    Ein Dreieck hat die Grundseite g = 6 cm und die Höhe h = 3 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2 = 6 · 3 : 2
    2. A = 9 cm²
    Ergebnis:
    9 cm²
  3. ★9
    Ein Dreieck hat die Grundseite g = 13 cm und die Höhe h = 6,5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2 = 13 · 6,5 : 2
    2. A = 42,25 cm²
    Ergebnis:
    42,25 cm²

4Ich berechne den Flächeninhalt von Trapezen.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Grundstück an einem Straßenknick selten ein Rechteck – und wie misst man es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es ist meist ein Trapez: zwei Seiten parallel, zwei nicht. Man nimmt den Mittelwert der beiden parallelen Seiten mal die Höhe, rechnet also mit einer mittleren Breite.

MerkenTrapez

A = (a + c) · h : 2 – Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe.

Eselsbrücke: Trapez: Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe – A = (a + c)/2 · h

BeispielTrapez: Flächeninhalt

Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 10 cm und c = 8 cm, Höhe h = 8 cm. Berechne den Flächeninhalt.
a = 10 cmc = 8 cmh = 8 cmA = ?
Schritt für Schritt
  1. A = (a + c) : 2 · h
  2. Mittellinie: (10 + 8) : 2 = 9 cm
  3. A = 9 · 8 = 72 cm²
  1. A = (a + c) : 2 · h
  2. Mittellinie: (10 + 8) : 2 = 9 cm
  3. A = 9 · 8 = 72 cm²
Ergebnis:
72 cm²

AchtungNoch einmal: Umfang und Fläche verwechselt

So nicht
Rechteck 5 cm · 3 cm, Umfang = 15 cm
So richtig
Umfang = 2 · (5 + 3) = 16 cm, Fläche = 15 cm²

Umfang ist der Weg außen herum (cm), Fläche das Innere (cm²).

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 6 cm und c = 5 cm, Höhe h = 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    So fängst du an:
    A = (a + c) : 2 · h
    Lösung zeigen
    1. A = (a + c) : 2 · h
    2. Mittellinie: (6 + 5) : 2 = 5,5 cm
    3. A = 5,5 · 5 = 27,5 cm²
    Ergebnis:
    27,5 cm²
  2. ●11
    Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 10 cm und c = 9 cm, Höhe h = 6 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = (a + c) : 2 · h
    2. Mittellinie: (10 + 9) : 2 = 9,5 cm
    3. A = 9,5 · 6 = 57 cm²
    Ergebnis:
    57 cm²
  3. ★12
    Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 11 cm und c = 5 cm, Höhe h = 3,5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = (a + c) : 2 · h
    2. Mittellinie: (11 + 5) : 2 = 8 cm
    3. A = 8 · 3,5 = 28 cm²
    Ergebnis:
    28 cm²

5Ich zerlege zusammengesetzte Figuren.

EntdeckenFrage

Wie berechnet man die Fläche eines Zimmers mit Erker und Dachschräge?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man zerlegt es in Rechtecke und Dreiecke und zählt zusammen; was fehlt, wird abgezogen. Genau so rechnen auch die Programme, die Wohnflächen bestimmen.

MerkenZusammengesetzte Figuren

In Rechtecke, Dreiecke, Trapeze zerlegen oder ergänzen.

Teilflächen berechnen, addieren oder subtrahieren.

BeispielZusammengesetzte Fläche (L-Form)

Aus einem Rechteck 12 m × 5 m wird an einer Ecke ein Rechteck 7 m × 3 m herausgeschnitten (L-Form). Berechne die Restfläche.
12 m5 m7 m3 m
Schritt für Schritt
  1. Großes Rechteck: 12 · 5 = 60 m²
  2. Ausschnitt: 7 · 3 = 21 m²
  3. Rest: 60 − 21 = 39 m²
  1. Großes Rechteck: 12 · 5 = 60 m²
  2. Ausschnitt: 7 · 3 = 21 m²
  3. Rest: 60 − 21 = 39 m²
Ergebnis:
39 m²

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Aus einem Rechteck 7 m × 5 m wird an einer Ecke ein Rechteck 2 m × 2 m herausgeschnitten (L-Form). Berechne die Restfläche.
    So fängst du an:
    Großes Rechteck: 7 · 5 = 35 m²
    Lösung zeigen
    1. Großes Rechteck: 7 · 5 = 35 m²
    2. Ausschnitt: 2 · 2 = 4 m²
    3. Rest: 35 − 4 = 31 m²
    Ergebnis:
    31 m²
  2. ●14
    Aus einem Rechteck 7 m × 7 m wird an einer Ecke ein Rechteck 4 m × 4 m herausgeschnitten (L-Form). Berechne die Restfläche.
    Lösung zeigen
    1. Großes Rechteck: 7 · 7 = 49 m²
    2. Ausschnitt: 4 · 4 = 16 m²
    3. Rest: 49 − 16 = 33 m²
    Ergebnis:
    33 m²
  3. ★15
    Aus einem Rechteck 7 m × 10 m wird an einer Ecke ein Rechteck 4 m × 4 m herausgeschnitten (L-Form). Berechne die Restfläche und den Umfang.
    Lösung zeigen
    1. Großes Rechteck: 7 · 10 = 70 m²
    2. Ausschnitt: 4 · 4 = 16 m²
    3. Rest: 70 − 16 = 54 m²
    4. Umfang bleibt wie beim Rechteck: 2 · (7 + 10) = 34 m
    Ergebnis:
    54 m² · U = 34 m

6Ich rechne Flächeneinheiten um.

EntdeckenFrage

Ist ein Fußballfeld größer oder kleiner als ein Hektar?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Hektar ist ein Quadrat von 100 m mal 100 m, also 10.000 m². Ein Feld mit 105 m mal 68 m hat 7.140 m². Das sind 0,714 Hektar, also deutlich weniger als ein Hektar.

MerkenFlächeneinheiten

Umrechnungszahl 100: 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². 1 ha = 10 000 m², 1 km² = 100 ha.

BeispielFlächeneinheiten umrechnen

Rechne um: 2 ha in m².
Schritt für Schritt
  1. 1 ha = 10.000 m²
  2. 2 · 10.000 = 20.000 m²
  1. 1 ha = 10.000 m²
  2. 2 · 10.000 = 20.000 m²
Ergebnis:
20.000 m²

AchtungEinheit falsch umgerechnet

So nicht
3 m² = 300 cm²
So richtig
3 m² = 30 000 cm²  (1 m² = 10 000 cm²)

1 m² = 10 000 cm², nicht 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne um: 12 cm² in mm².
    So fängst du an:
    1 cm² = 100 mm²
    Lösung zeigen
    1. 1 cm² = 100 mm²
    2. 12 · 100 = 1.200 mm²
    Ergebnis:
    1.200 mm²
  2. ●17
    Rechne um: 7 km² in ha.
    Lösung zeigen
    1. 1 km² = 100 ha
    2. 7 · 100 = 700 ha
    Ergebnis:
    700 ha
  3. ★18
    Rechne um: 2,5 a in cm².
    Lösung zeigen
    1. 1 a = 1.000.000 cm²
    2. 2,5 · 1.000.000 = 2.500.000 cm²
    Ergebnis:
    2.500.000 cm²

7Ich berechne Volumen und Oberfläche von Quadern.

EntdeckenFrage

Wie viele Kubikmeter Wasser fasst ein olympisches Schwimmbecken mindestens?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Becken ist 50 m lang, 25 m breit und mindestens 2 m tief. Das Volumen ist 50 m · 25 m · 2 m = 2.500 m³. Es ist ein Quader, also Länge mal Breite mal Höhe.

MerkenQuader

V = a · b · c. Oberfläche O = 2 · (ab + ac + bc) – sechs Rechtecke, je zwei gleich.

BeispielQuader: Volumen und Oberfläche

Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 3 cm und 4 cm. Berechne Volumen.
6 cm4 cm3 cmV = ?
Schritt für Schritt
  1. V = 6 · 3 · 4 = 72 cm³
  1. V = 6 · 3 · 4 = 72 cm³
Ergebnis:
V = 72 cm³

AchtungVolumen und Oberfläche verwechselt

So nicht
Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 3 cm und 4 cm. Berechne Volumen → 108
So richtig
Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 3 cm und 4 cm. Berechne Volumen → V = 72 cm³

Frag dich: Was passt hinein oder was ist außen? Außen sind sechs Flächen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quader hat die Kanten 7 cm, 5 cm und 5 cm. Berechne Volumen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    V = 175 cm³
  2. ●20
    Ein Quader hat die Kanten 5 cm, 6 cm und 3 cm. Berechne Volumen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    V = 90 cm³
  3. ★21
    Ein Quader hat die Kanten 3 cm, 6 cm und 5 cm. Berechne Volumen und Oberfläche.
    Lösung zeigen
    1. V = 3 · 6 · 5 = 90 cm³
    2. O = 2 · (18 + 15 + 30) = 126 cm²
    Ergebnis:
    V = 90 cm³, O = 126 cm²

8Ich rechne Volumeneinheiten um.

EntdeckenFrage

Wie viele Ein-Liter-Flaschen füllt ein Kubikmeter Wasser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Liter ist ein Kubikdezimeter. Ein Kubikmeter ist 10 dm mal 10 dm mal 10 dm, das sind 1.000 dm³. Ein Kubikmeter Wasser füllt also 1.000 Ein-Liter-Flaschen.

MerkenVolumeneinheiten

Umrechnungszahl 1000: 1 m³ = 1000 dm³, 1 dm³ = 1000 cm³. 1 dm³ = 1 Liter, 1 cm³ = 1 ml.

BeispielVolumeneinheiten umrechnen

Rechne um: 2,5 dm³ in cm³.
1 cm³1 dm³1 dm³ = 1000 cm³10 · 10 · 10 = 1000 – die Länge wächst dreimal
Schritt für Schritt
  1. 1 dm³ = 1000 cm³
  2. 2,5 · 1000 = 2500
  1. 1 dm³ = 1000 cm³
  2. 2,5 · 1000 = 2500
Ergebnis:
2500 cm³

AchtungFlächeneinheit wie Längeneinheit umgerechnet

So nicht
Rechne um: 2,5 dm³ in cm³ → 25
So richtig
Rechne um: 2,5 dm³ in cm³ → 2500 cm³

Denk an das Quadrat: 1 m² = 100 cm · 100 cm.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Rechne um: 4 dm³ in cm³.
    So fängst du an:
    1 dm³ = 1000 cm³
    Lösung zeigen
    1. 1 dm³ = 1000 cm³
    2. 4 · 1000 = 4000
    Ergebnis:
    4000 cm³
  2. ●23
    Rechne um: 3 dm³ in cm³.
    Lösung zeigen
    1. 1 dm³ = 1000 cm³
    2. 3 · 1000 = 3000
    Ergebnis:
    3000 cm³
  3. ★24
    Rechne um: 12,5 m³ in dm³ und in Liter.
    Lösung zeigen
    1. 1 m³ = 1000 dm³
    2. 12,5 · 1000 = 12.500 dm³ = 12.500 l
    Ergebnis:
    12.500 dm³ = 12.500 l

9Ich löse Sachaufgaben (Zimmer, Garten, Verpackung).

EntdeckenFrage

Reichen zwei Rollen Tapete für eine Wand, die 4 Meter breit und 2,5 Meter hoch ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Wand hat 4 m mal 2,5 m, also 10 m². Eine Rolle ist 10,05 m lang und 0,53 m breit, gut 5,3 m². Aus einer Rolle schneidet man vier Bahnen von 2,5 m, das sind 2,12 m Breite. Zwei Rollen ergeben 4,24 m, das reicht knapp.

MerkenSachaufgaben

Skizze mit Maßen, Formel wählen, Einheiten angleichen, rechnen, Antwortsatz.

Einheit nicht vergessen: m², m³ oder Liter.

BeispielUmfang im Alltag (Zaun, Rahmen)

Ein rechteckiges Grundstück ist 27 m lang und 16 m breit. Es wird eingezäunt. Der Zaun kostet 10,00 € pro Meter. Kosten?
27 m16 mU = ?
Schritt für Schritt
  1. Umfang: 2 · (27 + 16) = 86 m
  2. 86 · 10,00 € = 860,00 €
  1. Umfang: 2 · (27 + 16) = 86 m
  2. 86 · 10,00 € = 860,00 €
Ergebnis:
860,00 €

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Ein rechteckiges Grundstück ist 11 m lang und 12 m breit. Es wird eingezäunt. Der Zaun kostet 5,00 € pro Meter. Kosten?
    So fängst du an:
    Umfang: 2 · (11 + 12) = 46 m
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · (11 + 12) = 46 m
    2. 46 · 5,00 € = 230,00 €
    Ergebnis:
    230,00 €
  2. ●26
    Ein rechteckiges Grundstück ist 18 m lang und 13 m breit. Es wird eingezäunt. Der Zaun kostet 10,00 € pro Meter. Kosten?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · (18 + 13) = 62 m
    2. 62 · 10,00 € = 620,00 €
    Ergebnis:
    620,00 €
  3. ★27
    Ein rechteckiges Grundstück ist 12 m lang und 11 m breit. Es wird eingezäunt, ein Tor von 2 m bleibt frei. Der Zaun kostet 18,40 € pro Meter. Kosten?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · (12 + 11) = 46 m
    2. Ohne Tor: 46 − 2 = 44 m
    3. 44 · 18,40 € = 809,60 €
    Ergebnis:
    809,60 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●28
    Ein Rechteck ist 8 cm lang und 8 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · (8 + 8) = 32 cm
    2. A = 8 · 8 = 64 cm²
    Ergebnis:
    u = 32 cm; A = 64 cm²
  2. ●29
    Ein Dreieck hat die Grundseite g = 12 cm und die Höhe h = 3 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2 = 12 · 3 : 2
    2. A = 18 cm²
    Ergebnis:
    18 cm²
  3. ●30
    Ein Parallelogramm hat die Grundseite g = 7 cm und die Höhe h = 6 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42 cm²
  4. ●31
    Rechne um: 3 m² in cm².
    Lösung zeigen
    1. 1 m² = 10.000 cm²
    2. 3 · 10.000 = 30.000 cm²
    Ergebnis:
    30.000 cm²
  5. ●32
    Ein Quader hat die Kanten 7 cm, 6 cm und 4 cm. Berechne Volumen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    V = 168 cm³
  6. ●33
    Rechne um: 3 m³ in dm³ und in Liter.
    Lösung zeigen
    1. 1 m³ = 1000 dm³
    2. 3 · 1000 = 3000 dm³ = 3000 l
    Ergebnis:
    3000 dm³ = 3000 l

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rechteck
Umfang u = 2 · (a + b). Flächeninhalt A = a · b. Quadrat: u = 4a, A = a².
Parallelogramm
A = g · h. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite – nicht die schräge Seite nehmen.
Dreieck
A = g · h : 2. Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Höhe senkrecht zur Grundseite.
Trapez
A = (a + c) · h : 2 – Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe.
Zusammengesetzte Figuren
In Rechtecke, Dreiecke, Trapeze zerlegen oder ergänzen.
Flächeneinheiten
Umrechnungszahl 100: 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². 1 ha = 10 000 m², 1 km² = 100 ha.
Quader
V = a · b · c. Oberfläche O = 2 · (ab + ac + bc) – sechs Rechtecke, je zwei gleich.
Volumeneinheiten
Umrechnungszahl 1000: 1 m³ = 1000 dm³, 1 dm³ = 1000 cm³. 1 dm³ = 1 Liter, 1 cm³ = 1 ml.
Sachaufgaben
Skizze mit Maßen, Formel wählen, Einheiten angleichen, rechnen, Antwortsatz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten.

    34
    Ein Rechteck ist 4 cm lang und 9 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    u = 26 cm; A = 36 cm²

  2. Ich berechne den Flächeninhalt von Parallelogrammen.

    35
    Ein Parallelogramm hat die Grundseite g = 4 cm und die Höhe h = 4 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 cm²

  3. Ich berechne den Flächeninhalt von Dreiecken.

    36
    Ein Dreieck hat die Grundseite g = 4 cm und die Höhe h = 3 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 cm²

  4. Ich berechne den Flächeninhalt von Trapezen.

    37
    Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 6 cm und c = 2 cm, Höhe h = 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 cm²

  5. Ich zerlege zusammengesetzte Figuren.

    38
    Aus einem Rechteck 11 m × 10 m wird an einer Ecke ein Rechteck 2 m × 4 m herausgeschnitten (L-Form). Berechne die Restfläche.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102 m²

  6. Ich rechne Flächeneinheiten um.

    39
    Rechne um: 7 m² in cm².
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70.000 cm²

  7. Ich berechne Volumen und Oberfläche von Quadern.

    40
    Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 5 cm und 9 cm. Berechne Volumen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    V = 270 cm³

  8. Ich rechne Volumeneinheiten um.

    41
    Rechne um: 7,5 dm³ in cm³.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7500 cm³

  9. Ich löse Sachaufgaben (Zimmer, Garten, Verpackung).

    42
    Ein rechteckiges Grundstück ist 14 m lang und 20 m breit. Es wird eingezäunt. Der Zaun kostet 5,00 € pro Meter. Kosten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    340,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Wie groß ist die Fläche dieses schiefen Grundstücks (ein Parallelogramm)? Du kennst nur die Rechteckformel.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Flächenformeln für Parallelogramm, Dreieck und Trapez.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wie viel Farbe für die Wand? Wie groß ist die Wohnung? Beruf: Maler, Fliesenleger, Immobilien, Landwirtschaft.

Wörter

Flächeninhalt
wie viel Platz innen drin ist
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Umfang
der Weg einmal außen herum
Volumen
wie viel hineinpasst

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Flächen und Umfang, Körper und Volumen

Darauf baut auf: Dreiecke und Vielecke, Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper, Körper zeichnen und berechnen, Kreis und Zylinder, Satz des Pythagoras, Integralrechnung

Lösungen

  1. u = 26 cm; A = 40 cm²
  2. u = 22 cm; A = 24 cm²
  3. u = 28 cm; A = 18,75 cm²
  4. 32 cm²
  5. 80 cm²
  6. 38,5 cm²
  7. 15 cm²
  8. 9 cm²
  9. 42,25 cm²
  10. 27,5 cm²
  11. 57 cm²
  12. 28 cm²
  13. 31 m²
  14. 33 m²
  15. 54 m² · U = 34 m
  16. 1.200 mm²
  17. 700 ha
  18. 2.500.000 cm²
  19. V = 175 cm³
  20. V = 90 cm³
  21. V = 90 cm³, O = 126 cm²
  22. 4000 cm³
  23. 3000 cm³
  24. 12.500 dm³ = 12.500 l
  25. 230,00 €
  26. 620,00 €
  27. 809,60 €
  28. u = 32 cm; A = 64 cm²
  29. 18 cm²
  30. 42 cm²
  31. 30.000 cm²
  32. V = 168 cm³
  33. 3000 dm³ = 3000 l
  34. u = 26 cm; A = 36 cm²
  35. 16 cm²
  36. 6 cm²
  37. 20 cm²
  38. 102 m²
  39. 70.000 cm²
  40. V = 270 cm³
  41. 7500 cm³
  42. 340,00 €
  43. Mehrere richtige Lösungen. 4 · 2 hat den Umfang 12; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  44. 20 cm