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Mathematik · Klasse 7 · Kapitel

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Zeichnen und Konstruieren

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zeichne ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm – nur mit Lineal. Miss am Ende nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die dritte Seite stimmt nie genau: 6,8 cm, 7,3 cm. Man verschiebt, radiert, probiert. Die Klasse merkt: Probieren ist kein Verfahren. Der Zirkel findet den dritten Punkt: Zwei Kreise um die Enden der ersten Seite, und wo sie sich schneiden, liegt die Ecke – exakt, beim ersten Mal.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Winkelarten und Nebenwinkel: Was an einer Kreuzung gleich ist, sieht man ohne zu messen.

  1. ●39
    Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 180° hat.
    Lösung zeigen
    1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
    2. 180° → gestreckt
    Ergebnis:
    gestreckt
  2. ●40
    Berechne den kleineren Winkel zwischen den Zeigern um 11 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Jede Stunde sind 360° : 12 = 30°
    2. 11 · 30° = 330°, der kleinere Winkel ist 360° − 330° = 30°
    Ergebnis:
    30°

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Zeichnung folgt aus den Angaben

Konstruieren heißt: nur mit dem zeichnen, was gegeben ist – nicht nach Augenmaß. Zirkel und Lineal übertragen Längen und Winkel genau, ein Freihandstrich nicht.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man beim Konstruieren nicht messen und abtragen, sondern muss den Zirkel nehmen?

1Ich messe und zeichne Winkel.

EntdeckenFrage

Wie haben die Ägypter ohne Geodreieck einen rechten Winkel gebaut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Seil mit zwölf Knoten: Seiten 3, 4 und 5 ergeben ein rechtwinkliges Dreieck. Die Idee steckt heute in jeder Konstruktion mit dem Zirkel.

Ausprobieren: Winkel ziehen und Winkelsumme

Einen Schenkel drehen und die Winkelart ablesen – oder die Spitze eines Dreiecks ziehen und die Summe beobachten.

MerkenWinkel messen und zeichnen

Nullpunkt auf den Scheitel, Nulllinie auf den Schenkel, Skala lesen, die bei 0 beginnt.

Zeichnen: Schenkel, Gradzahl markieren, zweiter Schenkel.

Eselsbrücke: Achsensymmetrie = Spiegel, Punktsymmetrie = halbe Drehung – „Kopfstand-Test“

BeispielWinkel schätzen, dann messen

Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 55°, 120°, 285°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
α
Schritt für Schritt
  1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
  2. Der Winkel ist stumpf (zwischen 90° und 180°).
  3. Von den drei Werten passt nur 120°.
  4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
  1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
  2. Der Winkel ist stumpf (zwischen 90° und 180°).
  3. Von den drei Werten passt nur 120°.
  4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 120°

AchtungWinkelart verwechselt

So nicht
110° → rechter Winkel
So richtig
110° > 90° → stumpfer Winkel

Unter 90° spitz, genau 90° rechter Winkel, über 90° stumpf.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 45°, 100°, 250°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
    α
    So fängst du an:
    Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
    2. Der Winkel ist stumpf (zwischen 90° und 180°).
    3. Von den drei Werten passt nur 100°.
    4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
    Ergebnis:
    α ≈ 100°
  2. ●2
    Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 25°, 140°, 315°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
    α
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
    2. Der Winkel ist spitz (kleiner als 90°).
    3. Von den drei Werten passt nur 25°.
    4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
    Ergebnis:
    α ≈ 25°
  3. ★3
    Schätze: Welcher Wert passt zum Winkel α – 10°, 55°, 100°? Begründe mit den Bezugswinkeln 45°, 90° und 135°. Miss danach nach.
    α
    Lösung zeigen
    1. 45° ist ein halber rechter Winkel, 135° ist ein rechter und ein halber.
    2. Der Winkel ist größer als 45° und kleiner als 90°.
    3. Nur 55° liegt dazwischen.
    4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
    Ergebnis:
    α ≈ 55°

2Ich kenne Winkelarten und Winkel an Geradenkreuzungen.

EntdeckenFrage

Warum sieht man an einer Straßenkreuzung nur zwei verschiedene Winkelgrößen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und benachbarte sich zu 180 Grad ergänzen. Aus vier Winkeln werden so nur zwei verschiedene Werte.

MerkenWinkelarten

Spitz: unter 90°, recht: genau 90°, stumpf: zwischen 90° und 180°, gestreckt: genau 180°.

An einer Kreuzung sind Scheitelwinkel gleich, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

BeispielWinkelarten

Welche Winkelart hat ein Winkel von 80°?
80°?
Schritt für Schritt
  1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
  2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
  1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
  2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
Ergebnis:
spitz

AchtungWinkelsumme falsch

So nicht
α = 70°, β = 60°, γ = 90°
So richtig
γ = 180° − 70° − 60° = 50°

α + β + γ = 180°.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Welche Winkelart hat ein Winkel von 40°?
    So fängst du an:
    Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    Lösung zeigen
    1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
    Ergebnis:
    spitz
  2. ●5
    Jemand sagt: „Ein Winkel von 89° ist stumpf.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
    3. 89° ist spitz – der Grenzfall entscheidet.
    Ergebnis:
    Nein. 89° ist spitz.
  3. ★6
    Nenne ein Winkelmaß, das gestreckt ist.
    Lösung zeigen
    1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
    3. gestreckt ist genau 180° – hier gibt es nur eine Möglichkeit.
    Ergebnis:
    180°

3Ich nutze die Winkelsumme im Dreieck.

EntdeckenFrage

Warum ergeben die drei Ecken jedes Dreiecks zusammen eine halbe Drehung?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Reißt man die drei Ecken ab und legt sie aneinander, entsteht immer eine gerade Linie, also 180 Grad. Das gilt für jedes Dreieck, ob spitz oder stumpf.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenWinkelsumme

Im Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°. Im Viereck 360°.

BeispielWinkelsumme im Dreieck

In einem Dreieck sind α = 36° und β = 57°. Berechne γ.
α = 36°β = 57°γ = ?
Schritt für Schritt
  1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
  2. γ = 180° − 36° − 57° = 87°
  1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
  2. γ = 180° − 36° − 57° = 87°
Ergebnis:
87°

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    In einem Dreieck sind α = 50° und β = 59°. Berechne γ.
    So fängst du an:
    Winkelsumme im Dreieck: 180°
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
    2. γ = 180° − 50° − 59° = 71°
    Ergebnis:
    71°
  2. ●8
    In einem Dreieck sind α = 61° und β = 55°. Berechne γ.
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
    2. γ = 180° − 61° − 55° = 64°
    Ergebnis:
    64°
  3. ★9
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 72°. Berechne die Basiswinkel.
    Lösung zeigen
    1. Basiswinkel sind gleich groß
    2. (180° − 72°) : 2 = 54°
    Ergebnis:
    je 54°

4Ich konstruiere Dreiecke (SSS).

EntdeckenFrage

Warum wackelt ein Viereck aus vier Latten, ein Dreieck aus drei aber nie?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil drei Seitenlängen die Form bereits festlegen und vier nicht. Deshalb steckt in jedem Kran, jeder Brücke und jedem Dachstuhl ein Dreieck.

MerkenKonstruktion SSS

Grundseite zeichnen, dann um beide Enden Kreise schlagen.

Der Schnittpunkt ist die dritte Ecke. Radius ist jeweils die andere Seitenlänge.

BeispielDreieck konstruieren (Planfigur)

Konstruiere ein Dreieck mit a = 4 cm, b = 8 cm, c = 4 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
Kreise treffen sich nicht
Schritt für Schritt
  1. c zeichnen, Endpunkte A und B
  2. Kreis um A mit Radius b = 8 cm
  3. Kreis um B mit Radius a = 4 cm
  4. Schnittpunkt = C, verbinden
  5. Achtung: Dreiecksungleichung verletzt – nicht konstruierbar!
  1. c zeichnen, Endpunkte A und B
  2. Kreis um A mit Radius b = 8 cm
  3. Kreis um B mit Radius a = 4 cm
  4. Schnittpunkt = C, verbinden
  5. Achtung: Dreiecksungleichung verletzt – nicht konstruierbar!
Ergebnis:
nicht konstruierbar

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 7 cm, b = 5 cm, c = 7 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
    So fängst du an:
    c zeichnen, Endpunkte A und B
    Lösung zeigen
    1. c zeichnen, Endpunkte A und B
    2. Kreis um A mit Radius b = 5 cm
    3. Kreis um B mit Radius a = 7 cm
    4. Schnittpunkt = C, verbinden
    5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
    Ergebnis:
    konstruierbar (SSS)
  2. ●11
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 7 cm, b = 6 cm, c = 4 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
    Lösung zeigen
    1. c zeichnen, Endpunkte A und B
    2. Kreis um A mit Radius b = 6 cm
    3. Kreis um B mit Radius a = 7 cm
    4. Schnittpunkt = C, verbinden
    5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
    Ergebnis:
    konstruierbar (SSS)
  3. ★12
    Konstruiere ein Dreieck mit c = 6 cm, α = 70°, β = 40° (WSW). Wie groß ist γ? Begründe mit der Winkelsumme im Dreieck.
    Lösung zeigen
    1. c zeichnen, in A den Winkel α = 70° antragen, in B den Winkel β = 40°
    2. Schnittpunkt der Schenkel = C
    3. γ = 180° − 70° − 40° = 70°
    Ergebnis:
    γ = 70°

5Ich konstruiere Dreiecke (SWS, WSW).

EntdeckenFrage

Wie bestimmt man die Entfernung zu einem Schiff, ohne hinauszufahren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man misst von zwei bekannten Punkten am Ufer je einen Winkel zum Schiff. Eine Seite und zwei Winkel legen das Dreieck fest – so arbeitet die Landvermessung seit Jahrhunderten.

MerkenKonstruktion SWS und WSW

SWS: Seite, Winkel antragen, zweite Seite abtragen, verbinden.

WSW: Seite, an beiden Enden Winkel antragen, Schnittpunkt.

BeispielDreieck konstruieren (SWS, WSW)

Konstruiere ein Dreieck mit a = 4 cm, b = 4 cm und γ = 60° (SWS). Beschreibe die Schritte.
Schritt für Schritt
  1. Seite a = 4 cm zeichnen, Endpunkte B und C
  2. In C den Winkel γ = 60° antragen
  3. Auf dem Schenkel b = 4 cm abtragen → A
  4. A mit B verbinden
  1. Seite a = 4 cm zeichnen, Endpunkte B und C
  2. In C den Winkel γ = 60° antragen
  3. Auf dem Schenkel b = 4 cm abtragen → A
  4. A mit B verbinden
Ergebnis:
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 6 cm und γ = 90° (SWS). Beschreibe die Schritte.
    So fängst du an:
    Seite a = 5 cm zeichnen, Endpunkte B und C
    Lösung zeigen
    1. Seite a = 5 cm zeichnen, Endpunkte B und C
    2. In C den Winkel γ = 90° antragen
    3. Auf dem Schenkel b = 6 cm abtragen → A
    4. A mit B verbinden
    Ergebnis:
    Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
  2. ●14
    Konstruiere ein Dreieck mit c = 7 cm, α = 50° und β = 40° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
    Lösung zeigen
    1. Seite c = 7 cm zeichnen, Endpunkte A und B
    2. In A den Winkel α = 50°, in B den Winkel β = 40° antragen
    3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
    4. γ = 180° − 50° − 40° = 90°
    Ergebnis:
    γ = 90°
  3. ★15
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 3 cm und γ = 110° (SWS). Beschreibe die Schritte.
    Lösung zeigen
    1. Seite a = 6 cm zeichnen, Endpunkte B und C
    2. In C den Winkel γ = 110° antragen
    3. Auf dem Schenkel b = 3 cm abtragen → A
    4. A mit B verbinden
    Ergebnis:
    Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet

6Ich zeichne Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende.

EntdeckenFrage

Warum ist der Elfmeterpunkt von beiden Torpfosten genau gleich weit entfernt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er liegt 11 m vor der Mitte zwischen den Pfosten, senkrecht zur Torlinie. Das ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen den Pfosten. Jeder Punkt darauf ist von beiden Pfosten gleich weit entfernt.

MerkenMittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte: alle Punkte gleich weit von zwei Punkten.

Winkelhalbierende: alle Punkte gleich weit von zwei Schenkeln. Beide mit Zirkel.

BeispielMittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren

Zeichne einen Winkel von 80° und konstruiere die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal.
Schritt für Schritt
  1. Um den Scheitel einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet
  2. Um beide Schnittpunkte je einen Bogen mit gleichem Radius schlagen
  3. Scheitel mit dem Schnittpunkt der Bögen verbinden
  4. Kontrolle: zwei Winkel von je 40°
  1. Um den Scheitel einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet
  2. Um beide Schnittpunkte je einen Bogen mit gleichem Radius schlagen
  3. Scheitel mit dem Schnittpunkt der Bögen verbinden
  4. Kontrolle: zwei Winkel von je 40°
Ergebnis:
Zwei Winkel von je 40°

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeichne die Strecke AB = 5 cm und konstruiere die Mittelsenkrechte nur mit Zirkel und Lineal.
    So fängst du an:
    Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 2,5 cm)
    Lösung zeigen
    1. Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 2,5 cm)
    2. Um A und um B je einen Bogen oben und unten schlagen
    3. Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden
    4. Kontrolle: Die Gerade trifft AB bei 2,5 cm im rechten Winkel
    Ergebnis:
    Mittelpunkt bei 2,5 cm, Winkel 90°
  2. ●17
    Zeichne die Strecke AB = 6 cm und konstruiere die Mittelsenkrechte nur mit Zirkel und Lineal.
    Lösung zeigen
    1. Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 3 cm)
    2. Um A und um B je einen Bogen oben und unten schlagen
    3. Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden
    4. Kontrolle: Die Gerade trifft AB bei 3 cm im rechten Winkel
    Ergebnis:
    Mittelpunkt bei 3 cm, Winkel 90°
  3. ★18
    Zeichne einen Winkel von 110° und konstruiere die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal.
    Lösung zeigen
    1. Um den Scheitel einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet
    2. Um beide Schnittpunkte je einen Bogen mit gleichem Radius schlagen
    3. Scheitel mit dem Schnittpunkt der Bögen verbinden
    4. Kontrolle: zwei Winkel von je 55°
    Ergebnis:
    Zwei Winkel von je 55°

7Ich konstruiere Umkreis und Inkreis.

EntdeckenFrage

Wie findet man an einer Scherbe vom Rand eines runden Tellers den Mittelpunkt des ganzen Tellers?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man markiert drei Punkte auf dem Rand und sieht sie als Dreieck. Die Mittelsenkrechten zweier Seiten schneiden sich im Umkreismittelpunkt. Er ist von allen Randpunkten gleich weit entfernt, also die Tellermitte.

MerkenUmkreis und Inkreis

Umkreismittelpunkt = Schnitt der Mittelsenkrechten.

Inkreismittelpunkt = Schnitt der Winkelhalbierenden.

BeispielUmkreis und Inkreis konstruieren

Konstruiere zum Dreieck mit a = 5 cm, b = 5 cm, c = 7 cm den Inkreis. Beschreibe die Schritte.
Schritt für Schritt
  1. Dreieck nach SSS zeichnen
  2. Winkelhalbierende von zwei Winkeln konstruieren
  3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Inkreises
  4. Radius: Lot von M auf eine Seite – der Kreis berührt alle drei Seiten
  1. Dreieck nach SSS zeichnen
  2. Winkelhalbierende von zwei Winkeln konstruieren
  3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Inkreises
  4. Radius: Lot von M auf eine Seite – der Kreis berührt alle drei Seiten
Ergebnis:
M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Konstruiere zum Dreieck mit a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm den Umkreis. Beschreibe die Schritte.
    So fängst du an:
    Dreieck nach SSS zeichnen
    Lösung zeigen
    1. Dreieck nach SSS zeichnen
    2. Mittelsenkrechten von zwei Seiten konstruieren
    3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises
    4. Radius: Abstand von M zu einer Ecke – der Kreis geht durch alle drei Ecken
    Ergebnis:
    M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
  2. ●20
    Konstruiere zum Dreieck mit a = 7 cm, b = 6 cm, c = 6 cm den Umkreis. Beschreibe die Schritte.
    Lösung zeigen
    1. Dreieck nach SSS zeichnen
    2. Mittelsenkrechten von zwei Seiten konstruieren
    3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises
    4. Radius: Abstand von M zu einer Ecke – der Kreis geht durch alle drei Ecken
    Ergebnis:
    M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
  3. ★21
    Konstruiere zum Dreieck mit a = 5 cm, b = 7 cm, c = 7 cm den Inkreis. Beschreibe die Schritte.
    Lösung zeigen
    1. Dreieck nach SSS zeichnen
    2. Winkelhalbierende von zwei Winkeln konstruieren
    3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Inkreises
    4. Radius: Lot von M auf eine Seite – der Kreis berührt alle drei Seiten
    Ergebnis:
    M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten

8Ich löse Konstruktionsaufgaben aus Sachsituationen.

EntdeckenFrage

Wie hoch reicht eine 6 Meter lange Leiter im sicheren Winkel von 75 Grad?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man zeichnet im Maßstab 1 : 100 den Boden und trägt 75 Grad an. Die Leiter wird eine 6 cm lange Strecke. Das Lot vom oberen Ende auf den Boden misst knapp 5,8 cm. Die Leiter reicht also knapp 5,8 Meter hoch.

MerkenKonstruieren im Sachzusammenhang

Planskizze mit Maßstab, dann exakt konstruieren, dann im Maßstab zurückrechnen.

Antwort mit Einheit.

BeispielDreieck konstruieren (SWS, WSW)

Konstruiere ein Dreieck mit c = 4 cm, α = 60° und β = 40° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
Schritt für Schritt
  1. Seite c = 4 cm zeichnen, Endpunkte A und B
  2. In A den Winkel α = 60°, in B den Winkel β = 40° antragen
  3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
  4. γ = 180° − 60° − 40° = 80°
  1. Seite c = 4 cm zeichnen, Endpunkte A und B
  2. In A den Winkel α = 60°, in B den Winkel β = 40° antragen
  3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
  4. γ = 180° − 60° − 40° = 80°
Ergebnis:
γ = 80°

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 8 cm, b = 7 cm und γ = 60° (SWS). Beschreibe die Schritte.
    So fängst du an:
    Seite a = 8 cm zeichnen, Endpunkte B und C
    Lösung zeigen
    1. Seite a = 8 cm zeichnen, Endpunkte B und C
    2. In C den Winkel γ = 60° antragen
    3. Auf dem Schenkel b = 7 cm abtragen → A
    4. A mit B verbinden
    Ergebnis:
    Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
  2. ●23
    Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, α = 50° und β = 60° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
    Lösung zeigen
    1. Seite c = 8 cm zeichnen, Endpunkte A und B
    2. In A den Winkel α = 50°, in B den Winkel β = 60° antragen
    3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
    4. γ = 180° − 50° − 60° = 70°
    Ergebnis:
    γ = 70°
  3. ★24
    Konstruiere ein Dreieck mit c = 4 cm, α = 60° und β = 85° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
    Lösung zeigen
    1. Seite c = 4 cm zeichnen, Endpunkte A und B
    2. In A den Winkel α = 60°, in B den Winkel β = 85° antragen
    3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
    4. γ = 180° − 60° − 85° = 35°
    Ergebnis:
    γ = 35°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jemand sagt: „Ein Winkel von 181° ist Vollwinkel.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
    3. 181° ist überstumpf – der Grenzfall entscheidet.
    Ergebnis:
    Nein. 181° ist überstumpf.
  2. ●26
    Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 122°. Wie groß ist der Scheitelwinkel?
    Lösung zeigen
    1. Scheitelwinkel sind gleich groß
    2. also Scheitelwinkel = 122°
    Ergebnis:
    122°
  3. ●27
    In einem Dreieck sind α = 69° und β = 59°. Berechne γ.
    Lösung zeigen
    1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
    2. γ = 180° − 69° − 59° = 52°
    Ergebnis:
    52°
  4. ●28
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 7 cm, c = 5 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
    Lösung zeigen
    1. c zeichnen, Endpunkte A und B
    2. Kreis um A mit Radius b = 7 cm
    3. Kreis um B mit Radius a = 5 cm
    4. Schnittpunkt = C, verbinden
    5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
    Ergebnis:
    konstruierbar (SSS)
  5. ●29
    Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 46°. Berechne seinen Nebenwinkel.
    Lösung zeigen
    1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
    2. 180° − 46° = 134°
    Ergebnis:
    134°
  6. ●30
    Kann man ein Dreieck mit den Seiten a = 6 cm, b = 9 cm, c = 14 cm zeichnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Dreiecksungleichung: jede Seite kürzer als die Summe der anderen beiden
    2. 6 + 9 = 15 > 14
    3. → ja, möglich
    Ergebnis:
    ja

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Winkel messen und zeichnen
Nullpunkt auf den Scheitel, Nulllinie auf den Schenkel, Skala lesen, die bei 0 beginnt.
Winkelarten
Spitz: unter 90°, recht: genau 90°, stumpf: zwischen 90° und 180°, gestreckt: genau 180°.
Winkelsumme
Im Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°. Im Viereck 360°.
Konstruktion SSS
Grundseite zeichnen, dann um beide Enden Kreise schlagen.
Konstruktion SWS und WSW
SWS: Seite, Winkel antragen, zweite Seite abtragen, verbinden.
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Mittelsenkrechte: alle Punkte gleich weit von zwei Punkten.
Umkreis und Inkreis
Umkreismittelpunkt = Schnitt der Mittelsenkrechten.
Konstruieren im Sachzusammenhang
Planskizze mit Maßstab, dann exakt konstruieren, dann im Maßstab zurückrechnen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich messe und zeichne Winkel.

    31
    Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 40°, 150°, 300°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
    α
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    α ≈ 40°

  2. Ich kenne Winkelarten und Winkel an Geradenkreuzungen.

    32
    Nenne ein Winkelmaß, das rechter Winkel ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°

  3. Ich nutze die Winkelsumme im Dreieck.

    33
    In einem Dreieck sind α = 39° und β = 61°. Berechne γ.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80°

  4. Ich konstruiere Dreiecke (SSS).

    34
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 8 cm, b = 5 cm, c = 8 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    konstruierbar (SSS)

  5. Ich konstruiere Dreiecke (SWS, WSW).

    35
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 7 cm, b = 3 cm und γ = 90° (SWS). Beschreibe die Schritte.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet

  6. Ich zeichne Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende.

    36
    Zeichne einen Winkel von 80° und konstruiere die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zwei Winkel von je 40°

  7. Ich konstruiere Umkreis und Inkreis.

    37
    Konstruiere zum Dreieck mit a = 8 cm, b = 6 cm, c = 8 cm den Inkreis. Beschreibe die Schritte.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten

  8. Ich löse Konstruktionsaufgaben aus Sachsituationen.

    38
    Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, α = 70° und β = 50° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    γ = 60°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zeichne ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm – nur mit Lineal. Miss am Ende nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Konstruieren mit Zirkel und Lineal statt Probieren mit dem Geodreieck.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Regal exakt aufhängen, Gartenbeet abstecken. Beruf: Bauzeichnen, Schneiderei, Architektur.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Winkel

Darauf baut auf: Dreiecke und Vielecke, Satz des Pythagoras

Lösungen

  1. α ≈ 100°
  2. α ≈ 25°
  3. α ≈ 55°
  4. spitz
  5. Nein. 89° ist spitz.
  6. 180°
  7. 71°
  8. 64°
  9. je 54°
  10. konstruierbar (SSS)
  11. konstruierbar (SSS)
  12. γ = 70°
  13. Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
  14. γ = 90°
  15. Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
  16. Mittelpunkt bei 2,5 cm, Winkel 90°
  17. Mittelpunkt bei 3 cm, Winkel 90°
  18. Zwei Winkel von je 55°
  19. M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
  20. M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
  21. M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten
  22. Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
  23. γ = 70°
  24. γ = 35°
  25. Nein. 181° ist überstumpf.
  26. 122°
  27. 52°
  28. konstruierbar (SSS)
  29. 134°
  30. ja
  31. α ≈ 40°
  32. 90°
  33. 80°
  34. konstruierbar (SSS)
  35. Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
  36. Zwei Winkel von je 40°
  37. M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten
  38. γ = 60°
  39. gestreckt
  40. 30°