Mathematik · Klasse 7 · Kapitel

Zeichnen und Konstruieren

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zeichne ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm – nur mit Lineal. Miss am Ende nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die dritte Seite stimmt nie genau: 6,8 cm, 7,3 cm. Man verschiebt, radiert, probiert. Die Klasse merkt: Probieren ist kein Verfahren. Der Zirkel findet den dritten Punkt: Zwei Kreise um die Enden der ersten Seite, und wo sie sich schneiden, liegt die Ecke – exakt, beim ersten Mal.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Winkelarten und Nebenwinkel: Was an einer Kreuzung gleich ist, sieht man ohne zu messen.

●39
Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 10° hat.
Lösung zeigen
1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
2. 10° → spitz
Ergebnis:
spitz
●40
Berechne den kleineren Winkel zwischen den Zeigern um 4 Uhr.
Lösung zeigen
1. Jede Stunde sind 360° : 12 = 30°
2. 4 · 30° = 120°
Ergebnis:
120°

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Zeichnung folgt aus den Angaben

Konstruieren heißt: nur mit dem zeichnen, was gegeben ist – nicht nach Augenmaß. Zirkel und Lineal übertragen Längen und Winkel genau, ein Freihandstrich nicht.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man beim Konstruieren nicht messen und abtragen, sondern muss den Zirkel nehmen?

1Ich messe und zeichne Winkel.

EntdeckenFrage

Wie haben die Ägypter ohne Geodreieck einen rechten Winkel gebaut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einem Seil mit zwölf Knoten: Seiten 3, 4 und 5 ergeben ein rechtwinkliges Dreieck. Die Idee steckt heute in jeder Konstruktion mit dem Zirkel.

Ausprobieren: Winkel ziehen und Winkelsumme

Einen Schenkel drehen und die Winkelart ablesen – oder die Spitze eines Dreiecks ziehen und die Summe beobachten.

MerkenWinkel messen und zeichnen

Nullpunkt auf den Scheitel, Nulllinie auf den Schenkel, Skala lesen, die bei 0 beginnt.

Zeichnen: Schenkel, Gradzahl markieren, zweiter Schenkel.

Eselsbrücke: Achsensymmetrie = Spiegel, Punktsymmetrie = halbe Drehung – „Kopfstand-Test“

BeispielWinkel schätzen, dann messen

Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 25°, 130°, 200°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.

Schritt für Schritt

Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
Der Winkel ist stumpf (zwischen 90° und 180°).
Von den drei Werten passt nur 130°.
Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.

Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
Der Winkel ist stumpf (zwischen 90° und 180°).
Von den drei Werten passt nur 130°.
Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.

Ergebnis:

α ≈ 130°

AchtungWinkelart verwechselt

So nicht

110° → rechter Winkel

So richtig

110° > 90° → stumpfer Winkel

Unter 90° spitz, genau 90° rechter Winkel, über 90° stumpf.

ÜbenJetzt du

○1
Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 25°, 105°, 220°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
So fängst du an:
Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
Lösung zeigen
1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
2. Der Winkel ist spitz (kleiner als 90°).
3. Von den drei Werten passt nur 25°.
4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 25°
●2
Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 35°, 155°, 300°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
Lösung zeigen
1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
2. Der Winkel ist überstumpf (größer als 180°).
3. Von den drei Werten passt nur 300°.
4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 300°
★3
Schätze: Welcher Wert passt zum Winkel α – 50°, 95°, 140°? Begründe mit den Bezugswinkeln 45°, 90° und 135°. Miss danach nach.
Lösung zeigen
1. 45° ist ein halber rechter Winkel, 135° ist ein rechter und ein halber.
2. Der Winkel ist größer als 90° und kleiner als 135°.
3. Nur 95° liegt dazwischen.
4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 95°

2Ich kenne Winkelarten und Winkel an Geradenkreuzungen.

EntdeckenFrage

Warum sieht man an einer Straßenkreuzung nur zwei verschiedene Winkelgrößen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und benachbarte sich zu 180 Grad ergänzen. Aus vier Winkeln werden so nur zwei verschiedene Werte.

MerkenWinkelarten

Spitz: unter 90°, recht: genau 90°, stumpf: zwischen 90° und 180°, gestreckt: genau 180°.

An einer Kreuzung sind Scheitelwinkel gleich, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

BeispielWinkelarten

Jemand sagt: „Ein Winkel von 181° ist Vollwinkel.“ Stimmt das? Begründe.

Schritt für Schritt

Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
181° ist überstumpf – der Grenzfall entscheidet.

Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
181° ist überstumpf – der Grenzfall entscheidet.

Ergebnis:

Nein. 181° ist überstumpf.

AchtungWinkelsumme falsch

So nicht

α = 70°, β = 60°, γ = 90°

So richtig

γ = 180° − 70° − 60° = 50°

α + β + γ = 180°.

ÜbenJetzt du

○4
Jemand sagt: „Ein Winkel von 359° ist spitz.“ Stimmt das? Begründe.
So fängst du an:
Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
Lösung zeigen
1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
3. 359° ist überstumpf – der Grenzfall entscheidet.
Ergebnis:
Nein. 359° ist überstumpf.
●5
Nenne ein Winkelmaß, das stumpf ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zeigen
1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
3. Alles zwischen 91° und 179° passt.
Ergebnis:
zum Beispiel 135° – jedes Maß von 91° bis 179° ist richtig
★6
Jemand sagt: „Ein Winkel von 89° ist Vollwinkel.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
3. 89° ist spitz – der Grenzfall entscheidet.
Ergebnis:
Nein. 89° ist spitz.

3Ich nutze die Winkelsumme im Dreieck.

EntdeckenFrage

Warum ergeben die drei Ecken jedes Dreiecks zusammen eine halbe Drehung?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Reißt man die drei Ecken ab und legt sie aneinander, entsteht immer eine gerade Linie, also 180 Grad. Das gilt für jedes Dreieck, ob spitz oder stumpf.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenWinkelsumme

Im Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°. Im Viereck 360°.

BeispielWinkelsumme im Dreieck

In einem Dreieck sind α = 70° und β = 65°. Berechne γ.

Schritt für Schritt

Winkelsumme im Dreieck: 180°
γ = 180° − 70° − 65° = 45°

Winkelsumme im Dreieck: 180°
γ = 180° − 70° − 65° = 45°

Ergebnis:

45°

AchtungWinkel addiert statt von 180° abgezogen

So nicht

In einem Dreieck sind α = 70° und β = 65°. Berechne γ → 135

So richtig

In einem Dreieck sind α = 70° und β = 65°. Berechne γ → 45°

Rechne 180° minus die beiden Winkel.

ÜbenJetzt du

○7
In einem Dreieck sind α = 51° und β = 49°. Berechne γ.
So fängst du an:
Winkelsumme im Dreieck: 180°
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
2. γ = 180° − 51° − 49° = 80°
Ergebnis:
80°
●8
In einem Dreieck sind α = 42° und β = 65°. Berechne γ.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
2. γ = 180° − 42° − 65° = 73°
Ergebnis:
73°
★9
Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 144°. Berechne die Basiswinkel.
Lösung zeigen
1. Basiswinkel sind gleich groß
2. (180° − 144°) : 2 = 18°
Ergebnis:
je 18°

4Ich konstruiere Dreiecke (SSS).

EntdeckenFrage

Warum wackelt ein Viereck aus vier Latten, ein Dreieck aus drei aber nie?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil drei Seitenlängen die Form bereits festlegen und vier nicht. Deshalb steckt in jedem Kran, jeder Brücke und jedem Dachstuhl ein Dreieck.

MerkenKonstruktion SSS

Grundseite zeichnen, dann um beide Enden Kreise schlagen.

Der Schnittpunkt ist die dritte Ecke. Radius ist jeweils die andere Seitenlänge.

BeispielDreieck konstruieren (Planfigur)

Konstruiere ein Dreieck mit a = 4 cm, b = 8 cm, c = 5 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.

Schritt für Schritt

c zeichnen, Endpunkte A und B
Kreis um A mit Radius b = 8 cm
Kreis um B mit Radius a = 4 cm
Schnittpunkt = C, verbinden
Dreiecksungleichung erfüllt ✓

c zeichnen, Endpunkte A und B
Kreis um A mit Radius b = 8 cm
Kreis um B mit Radius a = 4 cm
Schnittpunkt = C, verbinden
Dreiecksungleichung erfüllt ✓

Ergebnis:

konstruierbar (SSS)

AchtungNoch einmal: Winkelsumme falsch

So nicht

α = 70°, β = 60°, γ = 90°

So richtig

γ = 180° − 70° − 60° = 50°

α + β + γ = 180°.

ÜbenJetzt du

○10
Konstruiere ein Dreieck mit a = 7 cm, b = 7 cm, c = 6 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
So fängst du an:
c zeichnen, Endpunkte A und B
Lösung zeigen
1. c zeichnen, Endpunkte A und B
2. Kreis um A mit Radius b = 7 cm
3. Kreis um B mit Radius a = 7 cm
4. Schnittpunkt = C, verbinden
5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
Ergebnis:
konstruierbar (SSS)
●11
Konstruiere ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 5 cm, c = 6 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
Lösung zeigen
1. c zeichnen, Endpunkte A und B
2. Kreis um A mit Radius b = 5 cm
3. Kreis um B mit Radius a = 6 cm
4. Schnittpunkt = C, verbinden
5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
Ergebnis:
konstruierbar (SSS)
★12
Konstruiere ein Dreieck mit c = 7 cm, α = 60°, β = 50° (WSW). Wie groß ist γ? Begründe mit der Winkelsumme im Dreieck.
Lösung zeigen
1. c zeichnen, in A den Winkel α = 60° antragen, in B den Winkel β = 50°
2. Schnittpunkt der Schenkel = C
3. γ = 180° − 60° − 50° = 70°
Ergebnis:
γ = 70°

5Ich konstruiere Dreiecke (SWS, WSW).

EntdeckenFrage

Wie bestimmt man die Entfernung zu einem Schiff, ohne hinauszufahren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man misst von zwei bekannten Punkten am Ufer je einen Winkel zum Schiff. Eine Seite und zwei Winkel legen das Dreieck fest – so arbeitet die Landvermessung seit Jahrhunderten.

MerkenKonstruktion SWS und WSW

SWS: Seite, Winkel antragen, zweite Seite abtragen, verbinden.

WSW: Seite, an beiden Enden Winkel antragen, Schnittpunkt.

BeispielDreieck konstruieren (SWS, WSW)

Konstruiere ein Dreieck mit a = 8 cm, b = 5 cm und γ = 50° (SWS). Beschreibe die Schritte.

Schritt für Schritt

Seite a = 8 cm zeichnen, Endpunkte B und C
In C den Winkel γ = 50° antragen
Auf dem Schenkel b = 5 cm abtragen → A
A mit B verbinden

Seite a = 8 cm zeichnen, Endpunkte B und C
In C den Winkel γ = 50° antragen
Auf dem Schenkel b = 5 cm abtragen → A
A mit B verbinden

Ergebnis:

Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet

ÜbenJetzt du

○13
Konstruiere ein Dreieck mit c = 5 cm, α = 40° und β = 50° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
So fängst du an:
Seite c = 5 cm zeichnen, Endpunkte A und B
Lösung zeigen
1. Seite c = 5 cm zeichnen, Endpunkte A und B
2. In A den Winkel α = 40°, in B den Winkel β = 50° antragen
3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
4. γ = 180° − 40° − 50° = 90°
Ergebnis:
γ = 90°
●14
Konstruiere ein Dreieck mit a = 7 cm, b = 6 cm und γ = 50° (SWS). Beschreibe die Schritte.
Lösung zeigen
1. Seite a = 7 cm zeichnen, Endpunkte B und C
2. In C den Winkel γ = 50° antragen
3. Auf dem Schenkel b = 6 cm abtragen → A
4. A mit B verbinden
Ergebnis:
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
★15
Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 7 cm und γ = 75° (SWS). Beschreibe die Schritte.
Lösung zeigen
1. Seite a = 5 cm zeichnen, Endpunkte B und C
2. In C den Winkel γ = 75° antragen
3. Auf dem Schenkel b = 7 cm abtragen → A
4. A mit B verbinden
Ergebnis:
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet

6Ich zeichne Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende.

EntdeckenFrage

Warum ist der Elfmeterpunkt von beiden Torpfosten genau gleich weit entfernt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er liegt 11 m vor der Mitte zwischen den Pfosten, senkrecht zur Torlinie. Das ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen den Pfosten. Jeder Punkt darauf ist von beiden Pfosten gleich weit entfernt.

MerkenMittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte: alle Punkte gleich weit von zwei Punkten.

Winkelhalbierende: alle Punkte gleich weit von zwei Schenkeln. Beide mit Zirkel.

BeispielMittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren

Zeichne die Strecke AB = 5 cm und konstruiere die Mittelsenkrechte nur mit Zirkel und Lineal.

Schritt für Schritt

Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 2,5 cm)
Um A und um B je einen Bogen oben und unten schlagen
Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden
Kontrolle: Die Gerade trifft AB bei 2,5 cm im rechten Winkel

Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 2,5 cm)
Um A und um B je einen Bogen oben und unten schlagen
Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden
Kontrolle: Die Gerade trifft AB bei 2,5 cm im rechten Winkel

Ergebnis:

Mittelpunkt bei 2,5 cm, Winkel 90°

ÜbenJetzt du

○16
Zeichne die Strecke AB = 7 cm und konstruiere die Mittelsenkrechte nur mit Zirkel und Lineal.
So fängst du an:
Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 3,5 cm)
Lösung zeigen
1. Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen (mehr als 3,5 cm)
2. Um A und um B je einen Bogen oben und unten schlagen
3. Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden
4. Kontrolle: Die Gerade trifft AB bei 3,5 cm im rechten Winkel
Ergebnis:
Mittelpunkt bei 3,5 cm, Winkel 90°
●17
Zeichne einen Winkel von 60° und konstruiere die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal.
Lösung zeigen
1. Um den Scheitel einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet
2. Um beide Schnittpunkte je einen Bogen mit gleichem Radius schlagen
3. Scheitel mit dem Schnittpunkt der Bögen verbinden
4. Kontrolle: zwei Winkel von je 30°
Ergebnis:
Zwei Winkel von je 30°
★18
Zeichne einen Winkel von 70° und konstruiere die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal.
Lösung zeigen
1. Um den Scheitel einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet
2. Um beide Schnittpunkte je einen Bogen mit gleichem Radius schlagen
3. Scheitel mit dem Schnittpunkt der Bögen verbinden
4. Kontrolle: zwei Winkel von je 35°
Ergebnis:
Zwei Winkel von je 35°

7Ich konstruiere Umkreis und Inkreis.

EntdeckenFrage

Wie findet man an einer Scherbe vom Rand eines runden Tellers den Mittelpunkt des ganzen Tellers?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man markiert drei Punkte auf dem Rand und sieht sie als Dreieck. Die Mittelsenkrechten zweier Seiten schneiden sich im Umkreismittelpunkt. Er ist von allen Randpunkten gleich weit entfernt, also die Tellermitte.

MerkenUmkreis und Inkreis

Umkreismittelpunkt = Schnitt der Mittelsenkrechten.

Inkreismittelpunkt = Schnitt der Winkelhalbierenden.

BeispielUmkreis und Inkreis konstruieren

Konstruiere zum Dreieck mit a = 6 cm, b = 7 cm, c = 5 cm den Umkreis. Beschreibe die Schritte.

Schritt für Schritt

Dreieck nach SSS zeichnen
Mittelsenkrechten von zwei Seiten konstruieren
Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises
Radius: Abstand von M zu einer Ecke – der Kreis geht durch alle drei Ecken

Dreieck nach SSS zeichnen
Mittelsenkrechten von zwei Seiten konstruieren
Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises
Radius: Abstand von M zu einer Ecke – der Kreis geht durch alle drei Ecken

Ergebnis:

M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C

ÜbenJetzt du

○19
Konstruiere zum Dreieck mit a = 6 cm, b = 7 cm, c = 7 cm den Umkreis. Beschreibe die Schritte.
So fängst du an:
Dreieck nach SSS zeichnen
Lösung zeigen
1. Dreieck nach SSS zeichnen
2. Mittelsenkrechten von zwei Seiten konstruieren
3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises
4. Radius: Abstand von M zu einer Ecke – der Kreis geht durch alle drei Ecken
Ergebnis:
M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
●20
Konstruiere zum Dreieck mit a = 5 cm, b = 6 cm, c = 8 cm den Inkreis. Beschreibe die Schritte.
Lösung zeigen
1. Dreieck nach SSS zeichnen
2. Winkelhalbierende von zwei Winkeln konstruieren
3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Inkreises
4. Radius: Lot von M auf eine Seite – der Kreis berührt alle drei Seiten
Ergebnis:
M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten
★21
Konstruiere zum Dreieck mit a = 6 cm, b = 6 cm, c = 9 cm den Umkreis. Beschreibe die Schritte.
Lösung zeigen
1. Dreieck nach SSS zeichnen
2. Mittelsenkrechten von zwei Seiten konstruieren
3. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises
4. Radius: Abstand von M zu einer Ecke – der Kreis geht durch alle drei Ecken
Ergebnis:
M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C

8Ich löse Konstruktionsaufgaben aus Sachsituationen.

EntdeckenFrage

Wie hoch reicht eine 6 Meter lange Leiter im sicheren Winkel von 75 Grad?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man zeichnet im Maßstab 1 : 100 den Boden und trägt 75 Grad an. Die Leiter wird eine 6 cm lange Strecke. Das Lot vom oberen Ende auf den Boden misst knapp 5,8 cm. Die Leiter reicht also knapp 5,8 Meter hoch.

MerkenKonstruieren im Sachzusammenhang

Planskizze mit Maßstab, dann exakt konstruieren, dann im Maßstab zurückrechnen.

Antwort mit Einheit.

BeispielDreieck konstruieren (SWS, WSW)

Konstruiere ein Dreieck mit c = 7 cm, α = 60° und β = 50° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.

Schritt für Schritt

Seite c = 7 cm zeichnen, Endpunkte A und B
In A den Winkel α = 60°, in B den Winkel β = 50° antragen
Schnittpunkt der Schenkel ist C
γ = 180° − 60° − 50° = 70°

Seite c = 7 cm zeichnen, Endpunkte A und B
In A den Winkel α = 60°, in B den Winkel β = 50° antragen
Schnittpunkt der Schenkel ist C
γ = 180° − 60° − 50° = 70°

Ergebnis:

γ = 70°

ÜbenJetzt du

○22
Konstruiere ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 4 cm und γ = 90° (SWS). Beschreibe die Schritte.
So fängst du an:
Seite a = 6 cm zeichnen, Endpunkte B und C
Lösung zeigen
1. Seite a = 6 cm zeichnen, Endpunkte B und C
2. In C den Winkel γ = 90° antragen
3. Auf dem Schenkel b = 4 cm abtragen → A
4. A mit B verbinden
Ergebnis:
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
●23
Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, α = 70° und β = 60° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
Lösung zeigen
1. Seite c = 8 cm zeichnen, Endpunkte A und B
2. In A den Winkel α = 70°, in B den Winkel β = 60° antragen
3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
4. γ = 180° − 70° − 60° = 50°
Ergebnis:
γ = 50°
★24
Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, α = 60° und β = 85° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
Lösung zeigen
1. Seite c = 8 cm zeichnen, Endpunkte A und B
2. In A den Winkel α = 60°, in B den Winkel β = 85° antragen
3. Schnittpunkt der Schenkel ist C
4. γ = 180° − 60° − 85° = 35°
Ergebnis:
γ = 35°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Nenne ein Winkelmaß, das gestreckt ist.
Lösung zeigen
1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
3. gestreckt ist genau 180° – hier gibt es nur eine Möglichkeit.
Ergebnis:
180°
●26
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 149°. Wie groß ist der Scheitelwinkel?
Lösung zeigen
1. Scheitelwinkel sind gleich groß
2. also Scheitelwinkel = 149°
Ergebnis:
149°
●27
In einem Dreieck sind α = 69° und β = 51°. Berechne γ.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
2. γ = 180° − 69° − 51° = 60°
Ergebnis:
60°
●28
Konstruiere ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
Lösung zeigen
1. c zeichnen, Endpunkte A und B
2. Kreis um A mit Radius b = 7 cm
3. Kreis um B mit Radius a = 6 cm
4. Schnittpunkt = C, verbinden
5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
Ergebnis:
konstruierbar (SSS)
●29
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 112°. Berechne seinen Nebenwinkel.
Lösung zeigen
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
2. 180° − 112° = 68°
Ergebnis:
68°
●30
Kann man ein Dreieck mit den Seiten a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm zeichnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Dreiecksungleichung: jede Seite kürzer als die Summe der anderen beiden
2. 6 + 7 = 13 > 8
3. → ja, möglich
Ergebnis:
ja

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Winkel messen und zeichnen: Nullpunkt auf den Scheitel, Nulllinie auf den Schenkel, Skala lesen, die bei 0 beginnt.
Winkelarten: Spitz: unter 90°, recht: genau 90°, stumpf: zwischen 90° und 180°, gestreckt: genau 180°.
Winkelsumme: Im Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°. Im Viereck 360°.
Konstruktion SSS: Grundseite zeichnen, dann um beide Enden Kreise schlagen.
Konstruktion SWS und WSW: SWS: Seite, Winkel antragen, zweite Seite abtragen, verbinden.
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende: Mittelsenkrechte: alle Punkte gleich weit von zwei Punkten.
Umkreis und Inkreis: Umkreismittelpunkt = Schnitt der Mittelsenkrechten.
Konstruieren im Sachzusammenhang: Planskizze mit Maßstab, dann exakt konstruieren, dann im Maßstab zurückrechnen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich messe und zeichne Winkel.
31
Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 40°, 130°, 220°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
α ≈ 40°
Ich kenne Winkelarten und Winkel an Geradenkreuzungen.
32
Welche Winkelart hat ein Winkel von 85°?
Lösung zeigen
Ergebnis:
spitz
Ich nutze die Winkelsumme im Dreieck.
33
In einem Dreieck sind α = 68° und β = 69°. Berechne γ.
Lösung zeigen
Ergebnis:
43°
Ich konstruiere Dreiecke (SSS).
34
Konstruiere ein Dreieck mit a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
konstruierbar (SSS)
Ich konstruiere Dreiecke (SWS, WSW).
35
Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, α = 50° und β = 40° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
γ = 90°
Ich zeichne Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende.
36
Zeichne die Strecke AB = 8 cm und konstruiere die Mittelsenkrechte nur mit Zirkel und Lineal.
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Ergebnis:
Mittelpunkt bei 4 cm, Winkel 90°
Ich konstruiere Umkreis und Inkreis.
37
Konstruiere zum Dreieck mit a = 7 cm, b = 6 cm, c = 8 cm den Inkreis. Beschreibe die Schritte.
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Ergebnis:
M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten
Ich löse Konstruktionsaufgaben aus Sachsituationen.
38
Konstruiere ein Dreieck mit c = 4 cm, α = 50° und β = 40° (WSW). Beschreibe die Schritte und gib γ an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
γ = 90°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zeichne ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm – nur mit Lineal. Miss am Ende nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Konstruieren mit Zirkel und Lineal statt Probieren mit dem Geodreieck.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Regal exakt aufhängen, Gartenbeet abstecken. Beruf: Bauzeichnen, Schneiderei, Architektur.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Winkel

Darauf baut auf: Dreiecke und Vielecke, Satz des Pythagoras

Lösungen

α ≈ 25°
α ≈ 300°
α ≈ 95°
Nein. 359° ist überstumpf.
zum Beispiel 135° – jedes Maß von 91° bis 179° ist richtig
Nein. 89° ist spitz.
80°
73°
je 18°
konstruierbar (SSS)
konstruierbar (SSS)
γ = 70°
γ = 90°
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
Mittelpunkt bei 3,5 cm, Winkel 90°
Zwei Winkel von je 30°
Zwei Winkel von je 35°
M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten
M = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; der Kreis geht durch A, B und C
Planfigur; die dritte Seite c wird gemessen, nicht berechnet
γ = 50°
γ = 35°
180°
149°
60°
konstruierbar (SSS)
68°
ja
α ≈ 40°
spitz
43°
konstruierbar (SSS)
γ = 90°
Mittelpunkt bei 4 cm, Winkel 90°
M = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; der Kreis berührt alle drei Seiten
γ = 90°
spitz
120°