Mathematik · Klasse 8 und 9 · Kapitel

Lineare Funktionen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Taxi kostet 3,90 € Grundpreis und 2,20 € je Kilometer. Was kosten 7 km? 12,5 km? 48,3 km? Und wie weit kommt man mit 30 €? Rechne jede Frage einzeln.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jede Frage ist eine neue Rechnung, und die Rückfrage mit den 30 € ist mühsam. Die Klasse sucht die eine Regel für alle Fälle. Kosten = 2,20 · x + 3,90. Eine Gleichung, die alle Fragen beantwortet – vorwärts und rückwärts.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Koordinatensystem ist ein Paar: erst nach rechts, dann nach oben.

●56
Zeichne den Punkt P(6 | 2) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 6 nach rechts, 2 nach oben
Ergebnis:
x = 6 nach rechts, y = 2 nach oben
●57
Zeichne den Punkt P(7 | 3) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 7 nach rechts, 3 nach oben
Ergebnis:
x = 7 nach rechts, y = 3 nach oben

ÜbenWeißt du das noch?

Die Steigung sagt, wie viel nach oben kommt, wenn man eins nach rechts geht.

●58
4 Liter Benzin kosten 7,20 €. Was kosten 6 Liter Benzin?
Lösung zeigen
1. Liter Benzin €
2. 4 Liter Benzin → 7,20 €
3. ↓ : 4 ↓ : 4
4. 1 Liter Benzin → 7,20 € : 4 = 1,80 €
5. ↓ · 6 ↓ · 6
6. 6 Liter Benzin → 1,80 € · 6 = 10,80 €
Ergebnis:
10,80 €
●59
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
Liter Saft 1 2 5 10
Preis 2,00 € ? 10,00 € 20,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
3. Liter Saft 1 2 5 10
  Preis 2,00 € ? 4,00 € 10,00 € 20,00 €
  y : x 2 2 2 2
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.
Ergebnis:
4,00 €

Liter Saft	1	2	5	10
Preis	2,00 €	?	10,00 €	20,00 €

Liter Saft	1	2	5	10
Preis	2,00 €	? 4,00 €	10,00 €	20,00 €
y : x	2	2	2	2

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Steigung ist eine Änderungsrate

m sagt, um wie viel y wächst, wenn x um 1 wächst. In einer Sachaufgabe hat das immer eine Bedeutung: Preis pro Stück, Meter pro Sekunde, Euro pro Monat.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Tarif kostet 12 € Grundgebühr und 3 ct pro Minute. Was ist hier m, was ist b?

1Ich erkenne Funktionen als eindeutige Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Kilometern lohnt sich das Taxi mit Grundgebühr gegenüber dem ohne?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei Geraden, ein Schnittpunkt: Dort, wo Grundpreis plus Kilometerpreis gleich sind, kippt es. Genau diese Rechnung machen Handytarife, Stromanbieter und Fitnessstudios mit dir.

MerkenFunktion

Jedem x genau ein y – das ist eine Funktion.

Schreibweise f(x) = 2x + 1. Graph, Tabelle, Gleichung: drei Darstellungen.

Eselsbrücke: y = m·x + n: m wie „Maß der Steigung“, n wie „Nullstart“ (Schnitt mit der y-Achse)

BeispielIst die Zuordnung eine Funktion?

Zuordnung „Tag → Temperatur um 12 Uhr“ mit den Paaren (1 | 2), (2 | 7), (3 | 5), (4 | 2). Ist das eine Funktion? Begründe.

Schritt für Schritt

Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
Jedes x kommt nur einmal vor → eindeutig

Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
Jedes x kommt nur einmal vor → eindeutig

Ergebnis:

Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.

ÜbenJetzt du

○1
Zuordnung „Tag → Temperatur um 12 Uhr“ mit den Paaren (1 | 2), (2 | 8), (3 | 3), (4 | 8). Ist das eine Funktion? Begründe.
So fängst du an:
Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
Lösung zeigen
1. Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
2. Jedes x kommt nur einmal vor → eindeutig
Ergebnis:
Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.
●2
Zuordnung „Kind → Lieblingszahl“ mit den Paaren (1 | 7), (2 | 3), (3 | 3), (4 | 5). Ist das eine Funktion? Begründe.
Lösung zeigen
1. Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
2. Jedes x kommt nur einmal vor → eindeutig
Ergebnis:
Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.
★3
Zuordnung „Kind → Lieblingszahl“ mit den Paaren (1 | 9), (2 | 7), (3 | 5), (4 | 6). Ist das eine Funktion? Begründe.
Lösung zeigen
1. Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
2. Jedes x kommt nur einmal vor → eindeutig
Ergebnis:
Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.

2Ich lese Funktionswerte aus Graphen und Tabellen.

EntdeckenFrage

Warum sagt eine Wetterkarte „pro 100 Meter ein Grad kälter“ – und stimmt das?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ungefähr: 0,65 °C je 100 Meter im Mittel. Das ist eine Steigung – die Temperatur ist eine lineare Funktion der Höhe, solange keine Inversion dazwischenliegt.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenFunktionswerte ablesen

Von x senkrecht zum Graphen, dann waagerecht zur y-Achse. f(3) heißt: Wert bei x = 3.

BeispielLineare Funktion: Wert und Nullstelle

Gegeben ist f(x) = −2x − 1. Berechne f(−1).

Schritt für Schritt

−2 · −1 = 2
2 − 1 = 1

−2 · −1 = 2
2 − 1 = 1

Ergebnis:

f(−1) = 1

Achtungm und b vertauscht

So nicht

y = 2x + 3: Steigung 3, Achsenabschnitt 2

So richtig

y = 2x + 3: Steigung m = 2, Achsenabschnitt b = 3

b ist der Wert bei x = 0, m die Änderung pro Schritt.

ÜbenJetzt du

○4
Gegeben ist f(x) = x + 5. Berechne f(1).
So fängst du an:
1 · 1 = 1
Lösung zeigen
1. 1 · 1 = 1
2. 1 + 5 = 6
Ergebnis:
f(1) = 6
●5
Gegeben ist f(x) = 2x + 5. Berechne f(1).
Lösung zeigen
1. 2 · 1 = 2
2. 2 + 5 = 7
Ergebnis:
f(1) = 7
★6
Gegeben ist f(x) = 2,5x + 8. Bestimme die Nullstelle und den y-Achsenabschnitt.
Lösung zeigen
1. y-Achsenabschnitt: b = 8
2. Nullstelle: 0 = 2,5x + 8 → x = −3,2
Ergebnis:
x₀ = −3,2; b = 8

3Ich zeichne Graphen linearer Funktionen.

EntdeckenFrage

Was heißt das Schild „12 %“ an einer Straße für den Weg nach oben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Auf 100 Meter waagerecht geht es 12 Meter hoch. Ein Zug schafft ohne Zahnrad nur rund 4 Prozent – deshalb fahren Bahnstrecken Umwege, statt geradeaus über den Berg zu gehen.

MerkenLineare Funktion

f(x) = m · x + n ist eine Gerade: n ist der Schnitt mit der y-Achse, m die Steigung.

Ein Schritt nach rechts, m Schritte nach oben.

BeispielGraph einer linearen Funktion zeichnen

Zeichne den Graphen von f(x) = 0,5x − 1 im Koordinatensystem von −4 bis 4.

Schritt für Schritt

Wertetabelle: (−2 | −2), (0 | −1), (2 | 0)
Start bei (0 | −1) auf der y-Achse
Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 0,5 nach oben
Punkte mit dem Lineal verbinden

Wertetabelle: (−2 | −2), (0 | −1), (2 | 0)
Start bei (0 | −1) auf der y-Achse
Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 0,5 nach oben
Punkte mit dem Lineal verbinden

Ergebnis:

Gerade durch (0 | −1) und (2 | 0)

ÜbenJetzt du

○7
Zeichne den Graphen von f(x) = 2x + 1 im Koordinatensystem von −4 bis 4.
So fängst du an:
Wertetabelle: (−2 | −3), (0 | 1), (2 | 5)
Lösung zeigen
1. Wertetabelle: (−2 | −3), (0 | 1), (2 | 5)
2. Start bei (0 | 1) auf der y-Achse
3. Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 2 nach oben
4. Punkte mit dem Lineal verbinden
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 1) und (2 | 5)
●8
Zeichne den Graphen von f(x) = 2x + 3 im Koordinatensystem von −4 bis 4.
Lösung zeigen
1. Wertetabelle: (−2 | −1), (0 | 3), (2 | 7)
2. Start bei (0 | 3) auf der y-Achse
3. Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 2 nach oben
4. Punkte mit dem Lineal verbinden
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 3) und (2 | 7)
★9
Zeichne den Graphen von f(x) = 3x + 1 im Koordinatensystem von −4 bis 4.
Lösung zeigen
1. Wertetabelle: (−2 | −5), (0 | 1), (2 | 7)
2. Start bei (0 | 1) auf der y-Achse
3. Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 3 nach oben
4. Punkte mit dem Lineal verbinden
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 1) und (2 | 7)

4Ich bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt.

EntdeckenFrage

Warum springt der Preis eines Pakets ab einem bestimmten Gewicht, statt gleichmäßig zu wachsen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil er in Stufen berechnet wird. Eine lineare Größe wächst in jedem gleichen Schritt um denselben Betrag – Paketpreise tun das nicht, und genau daran erkennt man den Unterschied.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenSteigung und y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck: m = Höhe : Breite. Negatives m: Gerade fällt. n ablesen bei x = 0.

Eselsbrücke: Steigung: „Erst nach rechts, dann nach oben“ – Δy durch Δx

BeispielSteigung aus zwei Punkten

Eine Gerade geht durch P(2|5) und Q(4|3). Bestimme die Steigung.

Schritt für Schritt

m = (3 − 5) : (4 − 2) = −2 : 2 = −1

m = (3 − 5) : (4 − 2) = −2 : 2 = −1

Ergebnis:

m = −1

AchtungSteigungsdreieck falsch gelesen

So nicht

Steigungsdreieck 2 nach rechts, 3 hoch → m = 2/3

So richtig

m = hoch/rechts = 3/2 = 1,5

Erst nach rechts, dann nach oben/unten.

ÜbenJetzt du

○10
Eine Gerade geht durch P(1|3) und Q(5|15). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 3
●11
Eine Gerade geht durch P(−3|0) und Q(−2|−1). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = −1
★12
Eine Gerade geht durch P(−3|−1) und Q(2|1,5). Bestimme die Steigung und die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
1. m = (1,5 − −1) : (2 − −3) = 2,5 : 5 = 0,5
2. b = y − m·x = −1 − 0,5·−3 = 0,5
3. f(x) = 0,5x + 0,5
Ergebnis:
f(x) = 0,5x + 0,5

5Ich stelle Funktionsgleichungen aus Graphen auf.

EntdeckenFrage

Warum zeigt die Laufapp deine Strecke als Gerade, wenn du gleichmäßig läufst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil in jeder Minute dieselbe Strecke dazukommt. Das Tempo ist die Steigung der Geraden, der Startwert der Schnittpunkt mit der senkrechten Achse – beides liest man direkt am Bild ab.

MerkenGleichung aus dem Graphen

n an der y-Achse ablesen, m mit dem Steigungsdreieck zwischen zwei gut lesbaren Punkten.

BeispielFunktionsgleichung aus dem Graphen

Der Graph einer linearen Funktion schneidet die y-Achse bei −4. Gehst du eine Einheit nach rechts, geht der Graph 1 nach unten. Gib die Funktionsgleichung an.

Schritt für Schritt

y-Achsenabschnitt: b = −4
Steigung: −1 : 1 = −1 (Steigungsdreieck)
f(x) = −x − 4

y-Achsenabschnitt: b = −4
Steigung: −1 : 1 = −1 (Steigungsdreieck)
f(x) = −x − 4

Ergebnis:

f(x) = −x − 4

ÜbenJetzt du

○13
Der Graph einer linearen Funktion schneidet die y-Achse bei 0. Gehst du eine Einheit nach rechts, geht der Graph 1 nach unten. Gib die Funktionsgleichung an.
So fängst du an:
y-Achsenabschnitt: b = 0
Lösung zeigen
1. y-Achsenabschnitt: b = 0
2. Steigung: −1 : 1 = −1 (Steigungsdreieck)
3. f(x) = −x
Ergebnis:
f(x) = −x
●14
Der Graph einer linearen Funktion schneidet die y-Achse bei 1. Gehst du eine Einheit nach rechts, geht der Graph 2 nach unten. Gib die Funktionsgleichung an.
Lösung zeigen
1. y-Achsenabschnitt: b = 1
2. Steigung: −2 : 1 = −2 (Steigungsdreieck)
3. f(x) = −2x + 1
Ergebnis:
f(x) = −2x + 1
★15
Der Graph einer linearen Funktion schneidet die y-Achse bei 1. Gehst du zwei Einheiten nach rechts, geht der Graph 3 nach oben. Gib die Funktionsgleichung an.
Lösung zeigen
1. y-Achsenabschnitt: b = 1
2. Steigung: 3 : 2 = 1,5 (Steigungsdreieck)
3. f(x) = 1,5x + 1
Ergebnis:
f(x) = 1,5x + 1

6Ich bestimme die Gleichung aus zwei Punkten.

EntdeckenFrage

Wasser gefriert bei 32 Grad Fahrenheit und kocht bei 212. Wie rechnet man daraus Celsius in Fahrenheit um?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Punkte sind (0 | 32) und (100 | 212). Die Steigung ist (212 − 32) : 100 = 1,8. Der y-Achsenabschnitt ist 32. Also gilt F = 1,8 · C + 32.

MerkenSteigung aus zwei Punkten

m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Dann einen Punkt einsetzen, um n zu bestimmen.

BeispielGeradengleichung aus zwei Punkten

Eine Gerade geht durch P(−3 | 5) und Q(1 | 1). Bestimme die Funktionsgleichung.

Schritt für Schritt

m = (1 − 5) : (1 − (−3)) = −1
b: 5 = −1 · (−3) + b → b = 2
f(x) = −x + 2

m = (1 − 5) : (1 − (−3)) = −1
b: 5 = −1 · (−3) + b → b = 2
f(x) = −x + 2

Ergebnis:

f(x) = −x + 2

ÜbenJetzt du

○16
Eine Gerade geht durch P(−1 | −6) und Q(2 | 0). Bestimme die Funktionsgleichung.
So fängst du an:
m = (0 − (−6)) : (2 − (−1)) = 2
Lösung zeigen
1. m = (0 − (−6)) : (2 − (−1)) = 2
2. b: −6 = 2 · (−1) + b → b = −4
3. f(x) = 2x − 4
Ergebnis:
f(x) = 2x − 4
●17
Eine Gerade geht durch P(−1 | 2) und Q(3 | 14). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
1. m = (14 − 2) : (3 − (−1)) = 3
2. b: 2 = 3 · (−1) + b → b = 5
3. f(x) = 3x + 5
Ergebnis:
f(x) = 3x + 5
★18
Eine Gerade geht durch P(−3 | 9) und Q(−1 | 5). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
1. m = (5 − 9) : ((−1) − (−3)) = −2
2. b: 9 = −2 · (−3) + b → b = 3
3. f(x) = −2x + 3
Ergebnis:
f(x) = −2x + 3

7Ich berechne Nullstellen.

EntdeckenFrage

Dein Handy hat noch 10 GB Datenvolumen. Nach wie vielen Stunden Streaming in HD ist es aufgebraucht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

HD-Streaming braucht bis zu 3 GB pro Stunde. Das Restvolumen ist V(t) = 10 − 3t. Die Nullstelle ist t = 10 : 3, also 3 Stunden und 20 Minuten.

MerkenNullstelle

f(x) = 0 setzen und nach x auflösen. Dort schneidet die Gerade die x-Achse.

BeispielNullstelle einer linearen Funktion

Gegeben ist f(x) = x + 2. Berechne die Nullstelle.

Schritt für Schritt

Nullstelle heißt: f(x) = 0
0 = x + 2
−2 = x
x = −2 : 1 = −2

Nullstelle heißt: f(x) = 0
0 = x + 2
−2 = x
x = −2 : 1 = −2

Ergebnis:

x = −2

ÜbenJetzt du

○19
Gegeben ist f(x) = 3x + 9. Berechne die Nullstelle.
So fängst du an:
Nullstelle heißt: f(x) = 0
Lösung zeigen
1. Nullstelle heißt: f(x) = 0
2. 0 = 3x + 9
3. −9 = 3x
4. x = −9 : 3 = −3
Ergebnis:
x = −3
●20
Gegeben ist f(x) = 2x − 8. Berechne die Nullstelle.
Lösung zeigen
1. Nullstelle heißt: f(x) = 0
2. 0 = 2x − 8
3. 8 = 2x
4. x = 8 : 2 = 4
Ergebnis:
x = 4
★21
Gegeben ist f(x) = −0,5x − 2. Berechne die Nullstelle.
Lösung zeigen
1. Nullstelle heißt: f(x) = 0
2. 0 = −0,5x − 2
3. Auf beiden Seiten + 0,5x: 0,5x = −2
4. x = −2 : 0,5 = −4
Ergebnis:
x = −4

8Ich prüfe, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.

EntdeckenFrage

Eine Rampe steigt auf 5 Meter Länge um 35 Zentimeter. Ist sie für Rollstühle erlaubt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Norm erlaubt höchstens 6 Prozent Steigung, also y = 0,06x. Für x = 5 liefert die Gerade 0,3 Meter. Der Punkt (5 | 0,35) liegt darüber und nicht auf der Geraden. Die Rampe ist zu steil.

MerkenPunktprobe

x einsetzen, y ausrechnen. Kommt der y-Wert des Punktes heraus, liegt er auf der Geraden.

BeispielPunktprobe: Liegt P auf der Geraden?

Liegt der Punkt P(0 | −1) auf der Geraden y = 3x − 1? Prüfe rechnerisch.

Schritt für Schritt

x = 0 einsetzen: 3· 0 − 1 = −1
−1 = −1 ✓ – P liegt auf der Geraden.

x = 0 einsetzen: 3· 0 − 1 = −1
−1 = −1 ✓ – P liegt auf der Geraden.

Ergebnis:

Ja, P liegt auf der Geraden.

ÜbenJetzt du

○22
Liegt der Punkt P(−3 | −11) auf der Geraden y = 3x? Prüfe rechnerisch.
So fängst du an:
x = −3 einsetzen: 3· (−3) = −9
Lösung zeigen
1. x = −3 einsetzen: 3· (−3) = −9
2. −9 ≠ −11 – P liegt nicht auf der Geraden.
Ergebnis:
Nein, P liegt nicht auf der Geraden.
●23
Liegt der Punkt P(−3 | 2) auf der Geraden y = x + 5? Prüfe rechnerisch.
Lösung zeigen
1. x = −3 einsetzen: · (−3) + 5 = 2
2. 2 = 2 ✓ – P liegt auf der Geraden.
Ergebnis:
Ja, P liegt auf der Geraden.
★24
Liegt der Punkt P(1 | 3,5) auf der Geraden y = −0,5x + 4? Prüfe rechnerisch.
Lösung zeigen
1. x = 1 einsetzen: −0,5· 1 + 4 = 3,5
2. 3,5 = 3,5 ✓ – P liegt auf der Geraden.
Ergebnis:
Ja, P liegt auf der Geraden.

9Ich bestimme Schnittpunkte zweier Geraden.

EntdeckenFrage

Zenon sagte, Achilles hole eine Schildkröte mit Vorsprung nie ein. Wo holt er sie wirklich ein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Angenommen, Achilles läuft 10 m pro Sekunde, die Schildkröte 1 m pro Sekunde mit 100 m Vorsprung. Die Geraden y = 10x und y = x + 100 schneiden sich bei x = 100 : 9. Nach gut 11 Sekunden sind beide bei gut 111 Metern.

MerkenSchnittpunkt zweier Geraden

Funktionsterme gleichsetzen, x ausrechnen, in eine Gleichung einsetzen für y.

BeispielTarifvergleich (Schnittpunkt)

Tarif A: 20,00 € Grundgebühr + 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.

Schritt für Schritt

A: 20 + 0,1x, B: 0,3x
Gleichsetzen: 20 + 0,1x = 0,3x → 20 = 0,2x
x = 100 Minuten

A: 20 + 0,1x, B: 0,3x
Gleichsetzen: 20 + 0,1x = 0,3x → 20 = 0,2x
x = 100 Minuten

Ergebnis:

ab 100 Minuten

ÜbenJetzt du

○25
Tarif A: 20,00 € Grundgebühr + 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
So fängst du an:
A: 20 + 0,05x, B: 0,15x
Lösung zeigen
1. A: 20 + 0,05x, B: 0,15x
2. Gleichsetzen: 20 + 0,05x = 0,15x → 20 = 0,1x
3. x = 200 Minuten
Ergebnis:
ab 200 Minuten
●26
Tarif A: 20,00 € Grundgebühr + 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,2 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
Lösung zeigen
1. A: 20 + 0,05x, B: 0,2x
2. Gleichsetzen: 20 + 0,05x = 0,2x → 20 = 0,15x
3. x = 133,33 Minuten
Ergebnis:
ab 133,33 Minuten
★27
Tarif A: 20,00 € Grundgebühr + 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,2 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
Lösung zeigen
1. A: 20 + 0,1x, B: 0,2x
2. Gleichsetzen: 20 + 0,1x = 0,2x → 20 = 0,1x
3. x = 200 Minuten
Ergebnis:
ab 200 Minuten

10Ich modelliere Sachsituationen (Tarife, Wege) linear.

EntdeckenFrage

Es donnert 6 Sekunden nach dem Blitz. Wie weit ist das Gewitter entfernt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Schall legt rund 343 Meter pro Sekunde zurück, das Licht kommt fast sofort an. Die Entfernung ist d = 0,343 · t in Kilometern. Nach 6 Sekunden sind das rund 2,1 Kilometer.

MerkenModellieren

Grundgebühr = n, Preis pro Einheit = m. Aus dem Text die Gleichung, dann Fragen rechnen.

BeispielTarifvergleich (Schnittpunkt)

Tarif A: 15,00 € Grundgebühr + 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.

Schritt für Schritt

A: 15 + 0,1x, B: 0,25x
Gleichsetzen: 15 + 0,1x = 0,25x → 15 = 0,15x
x = 100 Minuten

A: 15 + 0,1x, B: 0,25x
Gleichsetzen: 15 + 0,1x = 0,25x → 15 = 0,15x
x = 100 Minuten

Ergebnis:

ab 100 Minuten

ÜbenJetzt du

○28
Tarif A: 15,00 € Grundgebühr + 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,2 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
So fängst du an:
A: 15 + 0,05x, B: 0,2x
Lösung zeigen
1. A: 15 + 0,05x, B: 0,2x
2. Gleichsetzen: 15 + 0,05x = 0,2x → 15 = 0,15x
3. x = 100 Minuten
Ergebnis:
ab 100 Minuten
●29
Tarif A: 10,00 € Grundgebühr + 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,2 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
Lösung zeigen
1. A: 10 + 0,05x, B: 0,2x
2. Gleichsetzen: 10 + 0,05x = 0,2x → 10 = 0,15x
3. x = 66,67 Minuten
Ergebnis:
ab 66,67 Minuten
★30
Tarif A: 15,00 € Grundgebühr + 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
Lösung zeigen
1. A: 15 + 0,1x, B: 0,3x
2. Gleichsetzen: 15 + 0,1x = 0,3x → 15 = 0,2x
3. x = 75 Minuten
Ergebnis:
ab 75 Minuten

11Ich vergleiche Tarife und begründe.

EntdeckenFrage

Wer drei Filme im Monat sieht: Ist eine Kino-Flatrate für 22 € oder die Einzelkarte für 9 € besser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Einzelkarten kosten y = 9x, die Flatrate immer y = 22. Die Kosten sind gleich bei x = 22 : 9, rund 2,4 Filme. Bei drei Filmen kosten Einzelkarten 27 €, die Flatrate ist also günstiger.

MerkenTarife vergleichen

Schnittpunkt = ab hier ist der andere Tarif günstiger.

Antwort immer mit Bedingung: „ab 40 Minuten“.

BeispielAb wann lohnt sich welcher Tarif?

Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 2,00 € je zusätzlichem GB.
Tarif B: 17,99 € Grundgebühr, dazu 0,50 € je zusätzlichem GB.
Ab wie vielen GB ist B günstiger? Begründe.

Schritt für Schritt

A: y = 9,99 € + 2,00 € · x
B: y = 17,99 € + 0,50 € · x
Gleichsetzen: 9,99 € + 2,00 €·x = 17,99 € + 0,50 €·x
1,50 €·x = 8,00 € → x = 5,3
Bei 5,3 GB kosten beide 20,66 € – darüber ist B günstiger.

A: y = 9,99 € + 2,00 € · x
B: y = 17,99 € + 0,50 € · x
Gleichsetzen: 9,99 € + 2,00 €·x = 17,99 € + 0,50 €·x
1,50 €·x = 8,00 € → x = 5,3
Bei 5,3 GB kosten beide 20,66 € – darüber ist B günstiger.

Ergebnis:

Ab etwa 5,3 GB ist B günstiger.

ÜbenJetzt du

○31
Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 2,50 € je zusätzlichem GB.
Tarif B: 24,99 € Grundgebühr, dazu 0,75 € je zusätzlichem GB.
Ab wie vielen GB ist B günstiger? Begründe.
So fängst du an:
A: y = 9,99 € + 2,50 € · x
Lösung zeigen
1. A: y = 9,99 € + 2,50 € · x
2. B: y = 24,99 € + 0,75 € · x
3. Gleichsetzen: 9,99 € + 2,50 €·x = 24,99 € + 0,75 €·x
4. 1,75 €·x = 15,00 € → x = 8,6
5. Bei 8,6 GB kosten beide 31,42 € – darüber ist B günstiger.
Ergebnis:
Ab etwa 8,6 GB ist B günstiger.
●32
Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 2,50 € je zusätzlichem GB.
Tarif B: 17,99 € Grundgebühr, dazu 1,00 € je zusätzlichem GB.
Ab wie vielen GB ist B günstiger? Begründe.
Lösung zeigen
1. A: y = 9,99 € + 2,50 € · x
2. B: y = 17,99 € + 1,00 € · x
3. Gleichsetzen: 9,99 € + 2,50 €·x = 17,99 € + 1,00 €·x
4. 1,50 €·x = 8,00 € → x = 5,3
5. Bei 5,3 GB kosten beide 23,32 € – darüber ist B günstiger.
Ergebnis:
Ab etwa 5,3 GB ist B günstiger.
★33
Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 2,00 € je zusätzlichem GB.
Tarif B: 17,99 € Grundgebühr, dazu 0,75 € je zusätzlichem GB.
Ab wie vielen GB ist B günstiger? Begründe.
Lösung zeigen
1. A: y = 9,99 € + 2,00 € · x
2. B: y = 17,99 € + 0,75 € · x
3. Gleichsetzen: 9,99 € + 2,00 €·x = 17,99 € + 0,75 €·x
4. 1,25 €·x = 8,00 € → x = 6,4
5. Bei 6,4 GB kosten beide 22,79 € – darüber ist B günstiger.
Ergebnis:
Ab etwa 6,4 GB ist B günstiger.

12Ich erkenne Fehler in Graphen und Gleichungen.

EntdeckenFrage

Eine Gerade soll durch (0 | 1) und (2 | 7) gehen. Warum ist y = 1/3 x + 1 falsch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Steigung ist Höhenunterschied durch Breitenunterschied: (7 − 1) : (2 − 0) = 3. Wer Breite durch Höhe rechnet, erhält 1/3. Die Probe zeigt es: 1/3 · 2 + 1 ergibt rund 1,67 und nicht 7. Richtig ist y = 3x + 1.

MerkenFehler finden

Drei Fallen beim Ablesen einer Geraden.

Steigung falsch herum, n falsch abgelesen, Minus bei fallender Gerade vergessen. Steigung ist Höhe : Breite.

BeispielSteigung aus zwei Punkten

Eine Gerade geht durch P(2|−2) und Q(4|0). Bestimme die Steigung.

Schritt für Schritt

m = (0 − −2) : (4 − 2) = 2 : 2 = 1

m = (0 − −2) : (4 − 2) = 2 : 2 = 1

Ergebnis:

m = 1

ÜbenJetzt du

○34
Eine Gerade geht durch P(−2|5) und Q(0|7). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 1
●35
Eine Gerade geht durch P(−2|−4) und Q(2|4). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 2
★36
Eine Gerade geht durch P(0|−5) und Q(3|−11). Bestimme die Steigung und die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
1. m = (−11 − −5) : (3 − 0) = −6 : 3 = −2
2. b = y − m·x = −5 − −2·0 = −5
3. f(x) = −2x − 5
Ergebnis:
f(x) = −2x − 5

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●37
Gegeben ist f(x) = 2x + 8. Berechne f(0).
Lösung zeigen
1. 2 · 0 = 0
2. 0 + 8 = 8
Ergebnis:
f(0) = 8
●38
Eine Gerade geht durch P(1|3) und Q(5|11). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 2
●39
Die Zuordnung ist proportional.
x 3 6 12
y 9 18 36
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Lösung zeigen
1. x 3 6 12 9
  y 9 18 36 ? 27
  y : x 3 3 3 3
  y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 3.
2. y(9) = 3 · 9 = 27
Ergebnis:
k = 3; y = 27
●40
Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 1,50 € je zusätzlichem GB.
Tarif B: 21,99 € Grundgebühr, dazu 1,00 € je zusätzlichem GB.
Ab wie vielen GB ist B günstiger? Begründe.
Lösung zeigen
1. A: y = 9,99 € + 1,50 € · x
2. B: y = 21,99 € + 1,00 € · x
3. Gleichsetzen: 9,99 € + 1,50 €·x = 21,99 € + 1,00 €·x
4. 0,50 €·x = 12,00 € → x = 24
5. Bei 24 GB kosten beide 45,99 € – darüber ist B günstiger.
Ergebnis:
Ab etwa 24 GB ist B günstiger.
●41
Ein Haushalt verbraucht 3200 kWh im Jahr.
Der Anbieter verlangt 8,00 € Grundpreis im Monat und 32,3 ct je kWh.
Wie hoch sind die Kosten im Jahr?
Lösung zeigen
1. Arbeitspreis: 3200 kWh · 32,3 ct = 1.033,60 €
2. Grundpreis: 8,00 € · 12 = 96,00 €
3. Zusammen: 1.033,60 € + 96,00 € = 1.129,60 €
Ergebnis:
1.129,60 €
●42
Zuordnung „Kind → Lieblingszahl“ mit den Paaren (1 | 3), (2 | 7), (2 | 10), (3 | 3). Ist das eine Funktion? Begründe.
Lösung zeigen
1. Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
2. Zu x = 2 gehören zwei verschiedene y (7 und 10) → nicht eindeutig
Ergebnis:
Nein – zu x = 2 gehören zwei y-Werte.

x	3	6	12
y	9	18	36

x	3	6	12	9
y	9	18	36	? 27
y : x	3	3	3	3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Funktion: Jedem x genau ein y – das ist eine Funktion.
Funktionswerte ablesen: Von x senkrecht zum Graphen, dann waagerecht zur y-Achse. f(3) heißt: Wert bei x = 3.
Lineare Funktion: f(x) = m · x + n ist eine Gerade: n ist der Schnitt mit der y-Achse, m die Steigung.
Steigung und y-Achsenabschnitt: Steigungsdreieck: m = Höhe : Breite. Negatives m: Gerade fällt. n ablesen bei x = 0.
Gleichung aus dem Graphen: n an der y-Achse ablesen, m mit dem Steigungsdreieck zwischen zwei gut lesbaren Punkten.
Steigung aus zwei Punkten: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Dann einen Punkt einsetzen, um n zu bestimmen.
Nullstelle: f(x) = 0 setzen und nach x auflösen. Dort schneidet die Gerade die x-Achse.
Punktprobe: x einsetzen, y ausrechnen. Kommt der y-Wert des Punktes heraus, liegt er auf der Geraden.
Schnittpunkt zweier Geraden: Funktionsterme gleichsetzen, x ausrechnen, in eine Gleichung einsetzen für y.
Modellieren: Grundgebühr = n, Preis pro Einheit = m. Aus dem Text die Gleichung, dann Fragen rechnen.
Tarife vergleichen: Schnittpunkt = ab hier ist der andere Tarif günstiger.
Fehler finden: Drei Fallen beim Ablesen einer Geraden.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne Funktionen als eindeutige Zuordnungen.
43
Zuordnung „Kind → Lieblingszahl“ mit den Paaren (1 | 8), (2 | 5), (2 | 8), (3 | 2). Ist das eine Funktion? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein – zu x = 2 gehören zwei y-Werte.
Ich lese Funktionswerte aus Graphen und Tabellen.
44
Gegeben ist f(x) = x + 2. Berechne f(6).
Lösung zeigen
Ergebnis:
f(6) = 8
Ich zeichne Graphen linearer Funktionen.
45
Zeichne den Graphen von f(x) = 0,5x + 3 im Koordinatensystem von −4 bis 4.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 3) und (2 | 4)
Ich bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt.
46
Eine Gerade geht durch P(−3|−4) und Q(1|8). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 3
Ich stelle Funktionsgleichungen aus Graphen auf.
47
Der Graph einer linearen Funktion schneidet die y-Achse bei 1. Gehst du eine Einheit nach rechts, geht der Graph 3 nach oben. Gib die Funktionsgleichung an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
f(x) = 3x + 1
Ich bestimme die Gleichung aus zwei Punkten.
48
Eine Gerade geht durch P(1 | −3) und Q(2 | −2). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
f(x) = x − 4
Ich berechne Nullstellen.
49
Gegeben ist f(x) = 3x − 12. Berechne die Nullstelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 4
Ich prüfe, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.
50
Liegt der Punkt P(5 | −1) auf der Geraden y = −x + 3? Prüfe rechnerisch.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, P liegt nicht auf der Geraden.
Ich bestimme Schnittpunkte zweier Geraden.
51
Tarif A: 20,00 € Grundgebühr + 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,2 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ab 133,33 Minuten
Ich modelliere Sachsituationen (Tarife, Wege) linear.
52
Tarif A: 20,00 € Grundgebühr + 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,2 € pro Minute. Bestimme, ab wie vielen Minuten A günstiger ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ab 200 Minuten
Ich vergleiche Tarife und begründe.
53
Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 2,00 € je zusätzlichem GB.
Tarif B: 21,99 € Grundgebühr, dazu 0,50 € je zusätzlichem GB.
Ab wie vielen GB ist B günstiger? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ab etwa 8 GB ist B günstiger.
Ich erkenne Fehler in Graphen und Gleichungen.
54
Eine Gerade geht durch P(2|2) und Q(6|14). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 3
Ich wiederhole vertiefend.
55
Gegeben ist f(x) = −2x + 5. Berechne f(4).
Lösung zeigen
Ergebnis:
f(4) = −3

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Taxi kostet 3,90 € Grundpreis und 2,20 € je Kilometer. Was kosten 7 km? 12,5 km? 48,3 km? Und wie weit kommt man mit 30 €? Rechne jede Frage einzeln.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Funktionsgleichung y = m · x + b.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Taxi-Preis, Handy-Tarif vergleichen, Ladekurve. Beruf: Controlling (Kosten), Physik, Datenanalyse.

ÜbenMit echten Zahlen

Diese Zahlen sind gemessen, nicht ausgedacht. Die Quelle und der Stand stehen bei jeder Aufgabe.

●60
In Deutschland kamen 2018 16,7 % der verbrauchten Energie aus erneuerbaren Quellen, 2023 waren es 21,5 %.
Um wie viele Prozentpunkte und um wie viel Prozent hat sich der Anteil verändert?
Daten: Eurostat (CC BY 4.0), Stand 15.09.2026
Lösung zeigen
1. 21,5 − 16,7 = 4,8
2. 4,8 : 16,7 ≈ 0,2874
3. ≈ 28,7 %
Ergebnis:
4,8 Prozentpunkte; ≈ 28,7 %

Wörter

Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Steigung: wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Zuordnung: zu jedem Wert gehört genau ein anderer

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Terme und Gleichungen, Koordinatensystem und Symmetrie, Zusammenhänge und Graphen

Darauf baut auf: Lineare Gleichungssysteme, Quadratische Funktionen und Gleichungen, Einführung in die Differenzialrechnung

Lösungen

Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.
Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.
Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.
f(1) = 6
f(1) = 7
x₀ = −3,2; b = 8
Gerade durch (0 | 1) und (2 | 5)
Gerade durch (0 | 3) und (2 | 7)
Gerade durch (0 | 1) und (2 | 7)
m = 3
m = −1
f(x) = 0,5x + 0,5
f(x) = −x
f(x) = −2x + 1
f(x) = 1,5x + 1
f(x) = 2x − 4
f(x) = 3x + 5
f(x) = −2x + 3
x = −3
x = 4
x = −4
Nein, P liegt nicht auf der Geraden.
Ja, P liegt auf der Geraden.
Ja, P liegt auf der Geraden.
ab 200 Minuten
ab 133,33 Minuten
ab 200 Minuten
ab 100 Minuten
ab 66,67 Minuten
ab 75 Minuten
Ab etwa 8,6 GB ist B günstiger.
Ab etwa 5,3 GB ist B günstiger.
Ab etwa 6,4 GB ist B günstiger.
m = 1
m = 2
f(x) = −2x − 5
f(0) = 8
m = 2
k = 3; y = 27
Ab etwa 24 GB ist B günstiger.
1.129,60 €
Nein – zu x = 2 gehören zwei y-Werte.
Nein – zu x = 2 gehören zwei y-Werte.
f(6) = 8
Gerade durch (0 | 3) und (2 | 4)
m = 3
f(x) = 3x + 1
f(x) = x − 4
x = 4
Nein, P liegt nicht auf der Geraden.
ab 133,33 Minuten
ab 200 Minuten
Ab etwa 8 GB ist B günstiger.
m = 3
f(4) = −3
x = 6 nach rechts, y = 2 nach oben
x = 7 nach rechts, y = 3 nach oben
10,80 €
4,00 €
4,8 Prozentpunkte; ≈ 28,7 %