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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Physik Einführungsphase: Messen, Messunsicherheit und Auswertung

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

MerkenZwei Arten von Abweichung

Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.

BeispielSystematisch oder zufällig?

Messreihe 12: Die Zählrate einer Probe schwankt von Messung zu Messung. Welche Art von Abweichung entsteht?
Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
Schritt für Schritt
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
Ergebnis:
eine zufällige Messabweichung

AchtungSystematische und zufällige Abweichung verwechselt

So nicht
Waage zeigt ohne Last 2 g: zufällige Abweichung
So richtig
jedes Mal 2 g zu viel → systematisch; mal mehr, mal weniger → zufällig

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben. Zufällig heißt: mal darüber, mal darunter.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Messreihe 12: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    So fängst du an:
    Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●2
    Messreihe 8: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
    3. Also: eine zufällige Messabweichung
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung
  3. ★3
    Messreihe 7: Man liest den Messzylinder jedes Mal schräg von oben ab. Was verringert diese Abweichung am besten?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Art der Abweichung: eine systematische Messabweichung.
    2. Sie verschiebt jeden Wert gleich, Mitteln hebt sie nicht auf.
    3. Also: die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
    Ergebnis:
    die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren

2Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

MerkenAbsolut und relativ

Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.

Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.

BeispielAbsolute Abweichung

Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 1,97 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Vergleichswert1,972,01Messwert in s
Schritt für Schritt
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 2,01 − 1,97 = 0,04
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,04 s.
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 2,01 − 1,97 = 0,04
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,04 s.
Ergebnis:
0,04 s

AchtungAbsolute und relative Abweichung verwechselt

So nicht
Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.
So richtig
Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer

Die relative Abweichung ist die absolute Abweichung geteilt durch den Vergleichswert. Erst sie sagt, wie genau gemessen wurde.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 1,89 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert1,892,01Messwert in s
    So fängst du an:
    absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,01 − 1,89 = 0,12
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,12 s.
    Ergebnis:
    0,12 s
  2. ●5
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,52 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,490,52Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 0,52 − 0,49 = 0,03
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,03 s.
    Ergebnis:
    0,03 s
  3. ★6
    Vier Messungen für die Dichte von Aluminium in g/cm³: 2,64; 2,57; 2,53; 2,61. Vergleichswert 2,7 g/cm³. Bestimme die absolute Abweichung des Mittelwerts.
    Vergleichswert2,532,7Messwerte in g/cm³
    Lösung zeigen
    1. Erst den Mittelwert der vier Messungen bilden, dann seinen Abstand zum Vergleichswert.
    2. Mittelwert: (2,64 + 2,57 + 2,53 + 2,61) : 4 = 2,587
    3. |2,587 − 2,7| g/cm³ ≈ 0,11 g/cm³
    Ergebnis:
    0,11 g/cm³

3Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

MerkenMittelwert und Standardabweichung

Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.

Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.

BeispielMittelwert einer Messreihe

Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,2; 99,6; 100,6; 99,5; 100,0. Bestimme den Mittelwert.
99,5100,6Messwerte in °C
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 499,9 °C
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 99,98 °C
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 499,9 °C
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 99,98 °C
Ergebnis:
99,98 °C

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht
4 Werte: s = √(Summe : 4)
So richtig
4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1

Beim Mittelwert teilst du durch die Zahl der Werte. Bei der Standardabweichung einer Messreihe teilst du durch n − 1.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,54; 0,49; 0,47; 0,51; 0,46. Bestimme den Mittelwert.
    0,460,54Messwerte in s
    So fängst du an:
    Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 2,47 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,494 s
    Ergebnis:
    0,494 s
  2. ●8
    Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,51; 0,46; 0,53; 0,46; 0,49. Bestimme den Mittelwert.
    0,460,53Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 2,45 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,49 s
    Ergebnis:
    0,49 s
  3. ★9
    Sechs Messungen für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C in m/s: 349; 202; 352; 335; 343; 340. Der 2. Wert wurde laut Protokoll falsch abgelesen. Bilde den Mittelwert der übrigen.
    202352Messwerte in m/s
    Lösung zeigen
    1. Ohne den 2. Wert bleiben fünf Messungen.
    2. Summe der fünf übrigen Werte: 1719 m/s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 343,8 m/s
    Ergebnis:
    343,8 m/s

4Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

MerkenWert und Unsicherheit

Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.

BeispielErgebnis mit Unsicherheit angeben

Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ergibt die Auswertung den Mittelwert 4,216 kJ/(kg·K) und die Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K). Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
4,124,32Bereich in kJ/(kg·K)
Schritt für Schritt
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K) legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 4,216 → 4,2
  3. Also: (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K) legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 4,216 → 4,2
  3. Also: (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
Ergebnis:
(4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)

AchtungUnpassend viele Ziffern im Ergebnis

So nicht
g = (9,8137 ± 0,3) m/s²
So richtig
g = (9,8 ± 0,3) m/s²

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Ziffern dahinter täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für die Dichte von Aluminium ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,7111 g/cm³ und die Unsicherheit 0,05 g/cm³. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    2,662,76Bereich in g/cm³
    So fängst du an:
    Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,05 g/cm³ legt die letzte Stelle fest.
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,05 g/cm³ legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,7111 → 2,71
    3. Also: (2,71 ± 0,05) g/cm³
    Ergebnis:
    (2,71 ± 0,05) g/cm³
  2. ●11
    Für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,0274 s und die Unsicherheit 0,07 s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    1,962,1Bereich in s
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,07 s legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,0274 → 2,03
    3. Also: (2,03 ± 0,07) s
    Ergebnis:
    (2,03 ± 0,07) s
  3. ★12
    Für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C ergibt die Auswertung den Mittelwert 344,74 m/s und die Unsicherheit 4,65 m/s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    340350Bereich in m/s
    Lösung zeigen
    1. Die Unsicherheit auf eine gültige Ziffer runden: 4,65 → 5 m/s
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 344,74 → 345
    3. Also: (345 ± 5) m/s
    Ergebnis:
    (345 ± 5) m/s

5Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

MerkenAusgleichsgerade

Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.

Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.

BeispielSteigung der Ausgleichsgeraden

Im m-V-Diagramm eines Stoffs geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (40 cm³ | 48 g). Ein Messpunkt: (24 cm³ | 30,24 g). Bestimme die Dichte aus der Geraden.
V in cm³m in gGerade: (40 | 48)Dichte = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
  2. 48 : 40 = 1,2
  3. Dichte: 1,2 g/cm³
  1. Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
  2. 48 : 40 = 1,2
  3. Dichte: 1,2 g/cm³
Ergebnis:
1,2 g/cm³

AchtungEin Messpunkt statt der ganzen Messreihe

So nicht
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω
So richtig
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω

Ein einzelner Messwert streut. Die Ausgleichsgerade oder der Mittelwert fassen alle Werte zusammen – nimm sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im m-V-Diagramm eines Stoffs geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (40 cm³ | 108 g). Ein Messpunkt: (24 cm³ | 60,26 g). Bestimme die Dichte aus der Geraden.
    V in cm³m in gGerade: (40 | 108)Dichte = ?
    So fängst du an:
    Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
    2. 108 : 40 = 2,7
    3. Dichte: 2,7 g/cm³
    Ergebnis:
    2,7 g/cm³
  2. ●14
    Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (5 s | 7,5 m). Ein Messpunkt: (3 s | 4,19 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
    t in ss in mGerade: (5 | 7,5)Geschwindigkeit = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
    2. 7,5 : 5 = 1,5
    3. Geschwindigkeit: 1,5 m/s
    Ergebnis:
    1,5 m/s
  3. ★15
    Die Ausgleichsgerade für einen Metallwiderstand geht durch (25 °C | 150 Ω) und (90 °C | 191,9 Ω). Bestimme ihre Steigung in Ω/K.
    ϑ in °CR in Ω(25 °C | 150 Ω)(90 °C | 191,9 Ω)Steigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Steigung = ΔR : Δϑ, aus zwei Punkten der Geraden
    2. ΔR = 191,9 Ω − 150 Ω = 41,9 Ω, Δϑ = 65 K
    3. Steigung = 41,9 Ω : 65 K ≈ 0,645 Ω/K
    Ergebnis:
    0,645 Ω/K

6Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

MerkenLinearisieren

Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.

Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.

BeispielLinearisieren

Für eine Feder gilt E = ½ · D · s². Eine Gruppe misst 6 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
xy6 WertepaareAuftragung = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
  3. Also: E über s²
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
  3. Also: E über s²
Ergebnis:
E über s²

AchtungFalsch linearisiert

So nicht
freier Fall: s über t auftragen, Gerade erwartet
So richtig
s = ½ · g · t² → s über t² ergibt eine Ursprungsgerade

Trag die Größe auf, zu der die andere proportional ist – mit Quadrat, Wurzel oder Kehrwert, wie es im Gesetz steht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Für die Bewegungsenergie gilt E = ½ · m · v². Eine Gruppe misst 12 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy12 WertepaareAuftragung = ?
    So fängst du an:
    Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ v².
    3. Also: E über v²
    Ergebnis:
    E über v²
  2. ●17
    Für die Radialkraft bei festem m und r gilt F = m · v² : r. Eine Gruppe misst 12 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy12 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: F ~ v².
    3. Also: F über v²
    Ergebnis:
    F über v²
  3. ★18
    Für die Bewegungsenergie gilt E = ½ · m · v². Die Auftragung E über v² von 13 Wertepaaren ergibt eine Ursprungsgerade. Was gibt ihre Steigung an?
    v²E13 WertepaareSteigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Schreib das Gesetz als y = Steigung · x mit der Auftragung E über v².
    2. Alles, was vor der aufgetragenen x-Größe steht, ist die Steigung.
    3. Steigung = ½ · m
    Ergebnis:
    ½ · m

7Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

MerkenMessen mit Sensoren

Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.

BeispielAbtastrate eines Sensors

Ein Kraftsensor misst mit 100 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
Sensortf = 100 HzΔt = ?
Schritt für Schritt
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 100 = 10
  3. Δt = 10 ms
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 100 = 10
  3. Δt = 10 ms
Ergebnis:
10 ms

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
So richtig
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frequenz und Periodendauer sind Kehrwerte: f = 1 : T. Eine kurze Schwingung heißt viele Schwingungen in jeder Sekunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Lichtsensor misst mit 250 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 250 HzΔt = ?
    So fängst du an:
    Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 250 = 4
    3. Δt = 4 ms
    Ergebnis:
    4 ms
  2. ●20
    Ein Lichtsensor misst mit 200 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 200 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 200 = 5
    3. Δt = 5 ms
    Ergebnis:
    5 ms
  3. ★21
    Ein Kraftsensor misst mit 200 Hz. Ein Stoß dauert 0,02 s. Wie viele Messwerte fallen etwa in den Stoß? Berechne.
    Sensortf = 200 HzStoß: 0,02 sAnzahl = ?
    Lösung zeigen
    1. In einer Sekunde liefert der Sensor 200 Werte.
    2. 200 · 0,02 = 4
    3. Etwa 4 Messwerte fallen in den Stoß.
    Ergebnis:
    4 Messwerte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Messreihe 4: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●23
    Gemessen wurde die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,8; 101,3; 101,2; 101,7; 101,0. Vergleichswert: 100 °C. Was zeigt die Messreihe vor allem?
    Vergleichswert100101,7Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche jeden Wert mit 100 °C: größer oder kleiner?
    2. Alle Werte liegen auf derselben Seite.
    3. Also: eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
    Ergebnis:
    eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
  3. ●24
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,13 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert2,012,13Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,13 − 2,01 = 0,12
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,12 s.
    Ergebnis:
    0,12 s
  4. ●25
    Gemessen: die Fallbeschleunigung mit 10,4 m/s². Vergleichswert 9,81 m/s². Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
    Vergleichswert9,8110,4Messwert in m/s²
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung: |10,4 − 9,81| m/s² = 0,59 m/s²
    2. relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
    3. 0,59 : 9,81 ≈ 0,06 = 6 %
    Ergebnis:
    6 %
  5. ●26
    Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,51; 0,47; 0,55; 0,43; 0,49. Bestimme den Mittelwert.
    0,430,55Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 2,45 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,49 s
    Ergebnis:
    0,49 s
  6. ●27
    Vier Messungen für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C in m/s: 346; 354; 333; 343. Bestimme die Standardabweichung.
    333354Messwerte in m/s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 344 m/s
    2. Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ≈ 226
    3. s = √Summe : (n − 1) = √226 : 3 ≈ 8,7 m/s
    Ergebnis:
    8,7 m/s

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zwei Arten von Abweichung
Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Absolut und relativ
Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Mittelwert und Standardabweichung
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Wert und Unsicherheit
Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Ausgleichsgerade
Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Linearisieren
Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Messen mit Sensoren
Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

AchtungMessabweichung als vermeidbarer Fehler

So nicht
Bei sorgfältiger Messung gibt es keine Abweichung.
So richtig
sorgfältige Messung → kleinere Abweichung, nie keine; Ergebnis mit Unsicherheit angeben

Jede Messung weicht ab, auch eine sehr sorgfältige. Man gibt die Abweichung an, statt sie zu verstecken.

AchtungWiederholen gegen jede Abweichung

So nicht
Die Waage zeigt immer 2 g zu viel – zwanzigmal messen und mitteln.
So richtig
jeder Wert 2 g zu viel → Mittelwert auch 2 g zu viel → Nullpunkt korrigieren

Mitteln gleicht nur zufällige Abweichungen aus. Eine systematische Abweichung steckt in jedem Wert und bleibt im Mittelwert.

AchtungSpannweite statt Mittelwert oder Standardabweichung

So nicht
Werte 2,0; 2,2; 2,4: Standardabweichung = 2,4 − 2,0 = 0,4
So richtig
Werte 2,0; 2,2; 2,4: Spannweite 0,4, Standardabweichung = √(0,08 : 2) = 0,2

Größter und kleinster Wert allein reichen nicht. Mittelwert und Standardabweichung nehmen alle Messwerte mit.

AchtungBegründeten Fehlwert mitgemittelt

So nicht
Protokoll: 3. Wert falsch abgelesen – trotzdem mitgemittelt
So richtig
begründeter Ablesefehler → Wert streichen und vermerken, dann mitteln

Ein Wert mit belegtem Ablesefehler gehört nicht in den Mittelwert. Nimm ihn aus der Rechnung und schreib den Grund dazu – ohne Grund bleibt er.

AchtungVerträglichkeit ohne Unsicherheitsbereich beurteilt

So nicht
(9,62 ± 0,05) m/s² und (9,79 ± 0,20) m/s², Vergleichswert 9,81: Das erste ist besser, die Unsicherheit ist kleiner.
So richtig
9,62 ± 0,05 → 9,57 bis 9,67, ohne 9,81; 9,79 ± 0,20 → 9,59 bis 9,99, mit 9,81 → nur das zweite ist verträglich

Verträglich ist ein Ergebnis, wenn der Vergleichswert im Bereich Mittelwert plus minus Unsicherheit liegt. Klein heißt genau, nicht richtig.

AchtungSensor misst ohne Abweichung

So nicht
Sensor in Eiswasser zeigt 1,4 °C – also hat das Wasser 1,4 °C.
So richtig
Sensor in Eiswasser zeigt 1,4 °C, Eiswasser hat 0 °C → Abweichung 1,4 K, Nullpunkt abgleichen

Ein Sensor ist ein Messgerät wie jedes andere. Prüfe ihn am Nullpunkt und vergleiche mit einer einfachen Messung, bevor du seinen Werten glaubst.

AchtungDifferenz vergessen

So nicht
v = 60 m : 8 s (ab null gerechnet)
So richtig
v = (60 m − 20 m) : (8 s − 4 s) = 10 m/s

Für die Steigung zählen die Änderungen: um wie viel der Weg in der Zeitspanne zunimmt. Rechne Endwert minus Anfangswert.

AchtungDie Wurzel vergessen

So nicht
v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s
So richtig
v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s

Du hast v² ausgerechnet, nicht v. Zieh am Ende noch die Wurzel.

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

In der Formel für die Bewegungsenergie steht ein halb: E = ½ · m · v². Du musst am Ende die Hälfte nehmen.

AchtungAnteil und Prozent verwechselt

So nicht
η = 30 J : 120 J = 0,25 %
So richtig
η = 30 J : 120 J = 0,25 = 25 %

0,25 ist ein Viertel, also 25 Prozent. Zum Umrechnen in Prozent mal 100 nehmen.

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
So richtig
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe

Das ist ein richtiger Zwischenschritt. Lies noch einmal, was gesucht ist, und rechne weiter.

AchtungGrößen verwechselt

So nicht
Masse = 50 N
So richtig
Masse m = 5 kg, Gewichtskraft F = 50 N

Hier sind zwei Größen vertauscht. Schreib zuerst auf: Gegeben ist …, gesucht ist … – mit Formelzeichen.

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht
V = ρ · m
So richtig
ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.

AchtungEinheiten nicht angeglichen

So nicht
p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa
So richtig
50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa

Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht
2,5 km = 250 m
So richtig
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Die Umrechnungszahl stimmt nicht. k heißt 1000, m (milli) heißt ein Tausendstel. Bei cm² sind es 10 000 für einen m².

AchtungEinheit vergessen

So nicht
ρ = 54 : 20 = 2,7
So richtig
ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

    28
    Messreihe 11: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung

  2. Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

    29
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 1,97 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert1,972,01Messwert in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,04 s

  3. Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

    30
    Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,54; 0,49; 0,46; 0,51; 0,46. Bestimme den Mittelwert.
    0,460,54Messwerte in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,492 s

  4. Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

    31
    Für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,0065 s und die Unsicherheit 0,05 s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    1,962,06Bereich in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (2,01 ± 0,05) s

  5. Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

    32
    Im F-s-Diagramm einer Feder geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,05 m | 2 N). Ein Messpunkt: (0,03 m | 1,14 N). Bestimme die Federkonstante aus der Geraden.
    s in mF in NGerade: (0,05 | 2)Federkonstante = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 N/m

  6. Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

    33
    Für eine Feder gilt E = ½ · D · s². Eine Gruppe misst 7 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy7 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    E über s²

  7. Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

    34
    Ein Lichtsensor misst mit 80 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 80 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12,5 ms

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten in Klassen, Lineare Funktionen

Lösungen

  1. eine systematische Messabweichung
  2. eine zufällige Messabweichung
  3. die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
  4. 0,12 s
  5. 0,03 s
  6. 0,11 g/cm³
  7. 0,494 s
  8. 0,49 s
  9. 343,8 m/s
  10. (2,71 ± 0,05) g/cm³
  11. (2,03 ± 0,07) s
  12. (345 ± 5) m/s
  13. 2,7 g/cm³
  14. 1,5 m/s
  15. 0,645 Ω/K
  16. E über v²
  17. F über v²
  18. ½ · m
  19. 4 ms
  20. 5 ms
  21. 4 Messwerte
  22. eine systematische Messabweichung
  23. eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
  24. 0,12 s
  25. 6 %
  26. 0,49 s
  27. 8,7 m/s
  28. eine zufällige Messabweichung
  29. 0,04 s
  30. 0,492 s
  31. (2,01 ± 0,05) s
  32. 40 N/m
  33. E über s²
  34. 12,5 ms