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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 9) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 9 = 12
    2. 12 · 6 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 8 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 7 = 56
    2. 11 + 56 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 62. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 9 + 79 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
97911
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 79
  2. 9 + 11 = 20
  3. 20 + 79 = 99
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 79
  2. 9 + 11 = 20
  3. 20 + 79 = 99
Ergebnis:
99

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Milan rechnet 19 + 24 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    192431
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 31 + 24
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 31 + 24
    2. 19 + 31 = 50
    3. 50 + 24 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 72 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    77233
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 72
    2. 7 + 33 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Can rechnet 21 + 815 + 79 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2181579
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 79 + 815
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 815 = 915
    Ergebnis:
    915

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 29 = 300 + ___
29829
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 29 um 2 kleiner werden: 29 − 2 = 27
  3. 300 + 27 = 327
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 29 um 2 kleiner werden: 29 − 2 = 27
  3. 300 + 27 = 327
Ergebnis:
27

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 85
    9985
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 85 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 85 gibt 1 ab.
    2. 99 + 85 = 100 + 84
    3. 100 + 84 = 184
    Ergebnis:
    184
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 94
    3894
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 94 gibt 2 ab.
    2. 38 + 94 = 40 + 92
    3. 40 + 92 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 697 + 627
    697627
    Lösung zeigen
    1. 697 bekommt 3 dazu, 627 gibt 3 ab.
    2. 697 + 627 = 700 + 624
    3. 700 + 624 = 1324
    Ergebnis:
    1324

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 52
Schritt für Schritt
  1. 52 = 50 + 2
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 2 = 10
  3. 250 + 10 = 260
  1. 52 = 50 + 2
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 2 = 10
  3. 250 + 10 = 260
Ergebnis:
260

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Tüten mit je 54 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 54
    Lösung zeigen
    1. 7 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    4. 350 + 28 = 378
    Ergebnis:
    378 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    3. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513
  3. ★9
    Es gibt 3 Hefte mit je 44 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 4 = 12
    4. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 87 : 3
Schritt für Schritt
  1. 87 = 60 + 27
  2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
  3. 20 + 9 = 29
  1. 87 = 60 + 27
  2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
  3. 20 + 9 = 29
Ergebnis:
29

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 153 : 9
    So fängst du an:
    153 = 90 + 63
    Lösung zeigen
    1. 153 = 90 + 63
    2. 90 : 9 = 10 und 63 : 9 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●11
    Zerlege 54 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 54 : 3?
    54: 3
    Lösung zeigen
    1. 54 = 30 + 24
    2. 30 : 3 = 10 und 24 : 3 = 8
    3. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★12
    Zerlege 885 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 885 : 5?
    885: 5
    Lösung zeigen
    1. 885 = 850 + 35
    2. 850 : 5 = 170 und 35 : 5 = 7
    3. 170 + 7 = 177
    Ergebnis:
    177

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 40 − 28 = ___ − 38
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 10 größer.
  3. 40 + 10 = 50
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 10 größer.
  3. 40 + 10 = 50
Ergebnis:
50

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 69 − 64 = ___ − 65
    So fängst du an:
    64 wird zu 65: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 65: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
    3. 69 + 1 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 43 − 29 = ___ − 34
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 34: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 5 größer.
    3. 43 + 5 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 7 · 64 + 7 · 7 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 64 und 7 mal 7 sind zusammen 7 mal (64 + 7).
    3. 64 + 7 = 71
    Ergebnis:
    71

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Milan verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 35 + 84? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 35 = 135
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 35 = 135
Ergebnis:
vertauschen, 135

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 274 + 497? Nenne ihn und rechne.
    274 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 274 + 497 = 271 + 500
    3. 271 + 500 = 771
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 771
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 3415 − 1395? Nenne ihn und rechne.
    3415 − 1395zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3415 − 1395 = 2020
    Ergebnis:
    schriftlich, 2020

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 30 · 13 das Ergebnis 1390. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 10 = 300
  2. 1390 liegt zu weit weg. Genau: 30 · 13 = 390
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 10 = 300
  2. 1390 liegt zu weit weg. Genau: 30 · 13 = 390
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 390

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 384 : 4 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    384 : 4Ergebnis 98?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 98 · 4 = 392
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 98 · 4 = 392
    2. 392 ist nicht 384: Es ist falsch.
    3. 384 : 4 = 96
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 96
  2. ●23
    Aylin rechnet 902 − 549 und erhält 363. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 363 + 549 = 912
    2. 912 ist nicht 902: Es ist falsch.
    3. 902 − 549 = 353
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 353
  3. ★24
    Paul erhält für 207 · 45 das Ergebnis 10.315. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
    2. 10.315 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 207 · 45 = 9315
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 9315

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lina rechnet 3 + 41 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34117
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 17 + 41
    2. 3 + 17 = 20
    3. 20 + 41 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 3 · 4
    2534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Noah rechnet 198 + 46 als 200 + 46. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    19846
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 46 = 246.
    3. 2 wieder abziehen: 246 − 2 = 244
    Ergebnis:
    244
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 137 − 47
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 137 − 47 = 140 − 50
    3. 140 − 50 = 90
    Ergebnis:
    90
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 14
    Lösung zeigen
    1. 14 = 10 + 4
    2. 5 · 10 = 50 und 5 · 4 = 20
    3. 50 + 20 = 70
    Ergebnis:
    70
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1086
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 8 = 48
    3. Zusammen: 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 17 + 41 + 3
    17413
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 67 = 100 + ___
    9767
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    280 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 94 − 79 = ___ − 81
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 36? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 144

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 59 · 25 das Ergebnis 1575. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1475

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 74
  2. 112
  3. 915
  4. 184
  5. 132
  6. 1324
  7. 378 Bonbons
  8. 513
  9. 132 Hefte
  10. 17
  11. 18
  12. 177
  13. 70
  14. 48
  15. 71
  16. 80
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. gegensinnig verändern, 771
  21. schriftlich, 2020
  22. falsch, richtig ist 96
  23. falsch, richtig ist 353
  24. falsch, richtig ist 9315
  25. 61
  26. 300
  27. 244
  28. 90
  29. 70
  30. 108 Kästchen
  31. 61
  32. 64
  33. 261
  34. 35 Bücher
  35. 96
  36. 90
  37. zerlegen, 144
  38. falsch, richtig ist 1475
  39. 19
  40. 72
  41. 67
  42. 36