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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 7 + 18 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 8 + 28 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 81. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 32 + 67 + 68 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
326768
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 32 + 68 + 67
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 67 = 167
  1. Vertauschen: 32 + 68 + 67
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
167

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 55 + 18
    125518
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 18 + 55
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 55
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 55 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●2
    Tom rechnet 9 + 83 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    98311
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 83
    2. 9 + 11 = 20
    3. 20 + 83 = 103
    Ergebnis:
    103
  3. ★3
    Rechne geschickt: 81 + 575 + 18 + 119 + 82
    815751811982
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 119 + 18 + 82 + 575
    2. 81 + 119 = 200 und 18 + 82 = 100
    3. 200 + 100 + 575 = 875
    Ergebnis:
    875

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 73 = 200 + ___
19973
Schritt für Schritt
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
  3. 200 + 72 = 272
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
  3. 200 + 72 = 272
Ergebnis:
72

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 47 + 38 als 50 + 38. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    4738
    So fängst du an:
    Elias hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 38 = 88.
    3. 3 wieder abziehen: 88 − 3 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 49 = 50 + ___
    4749
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
    3. 50 + 46 = 96
    Ergebnis:
    46
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 399 + 297
    399297
    Lösung zeigen
    1. 399 bekommt 1 dazu, 297 gibt 1 ab.
    2. 399 + 297 = 400 + 296
    3. 400 + 296 = 696
    Ergebnis:
    696

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 35
Schritt für Schritt
  1. 35 = 30 + 5
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
  3. 90 + 15 = 105
  1. 35 = 30 + 5
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
  3. 90 + 15 = 105
Ergebnis:
105

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Es gibt 7 Reihen mit je 59 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
    4. 350 + 63 = 413
    Ergebnis:
    413 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 5 · 100 = 500 und 5 · 1 = 5
    3. 500 − 5 = 495
    Ergebnis:
    495

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 441 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 441 : 7?
441: 7
Schritt für Schritt
  1. 441 = 420 + 21
  2. 420 : 7 = 60 und 21 : 7 = 3
  3. 60 + 3 = 63
  1. 441 = 420 + 21
  2. 420 : 7 = 60 und 21 : 7 = 3
  3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    230 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    230 : 5
    Lösung zeigen
    1. 230 : 5
    2. 230 = 200 + 30
    3. 200 : 5 = 40 und 30 : 5 = 6
    4. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46 Murmeln
  2. ●11
    488 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 488 : 8
    2. 488 = 480 + 8
    3. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
    4. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 558 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 558 : 9?
    558: 9
    Lösung zeigen
    1. 558 = 540 + 18
    2. 540 : 9 = 60 und 18 : 9 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 55 − 40 = ___ − 42
Schritt für Schritt
  1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 2 größer.
  3. 55 + 2 = 57
  1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 2 größer.
  3. 55 + 2 = 57
Ergebnis:
57

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 − 29 = ___ − 30
    So fängst du an:
    29 wird zu 30: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 1 größer.
    3. 43 + 1 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 58 + 78 = 61 + ___
    58 + 78=61 + ?
    Lösung zeigen
    1. 58 wird zu 61: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 78 um 3 kleiner.
    3. 78 − 3 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 4 · 14 = 2 · ___
    4 · 14=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Can verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 75 + 87? Nenne ihn und rechne.
13 + 75 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 13 + 87 = 100
  3. 100 + 75 = 175
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 13 + 87 = 100
  3. 100 + 75 = 175
Ergebnis:
vertauschen, 175

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 343 + 399? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 343 + 399 = 342 + 400
    3. 342 + 400 = 742
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 742
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 34 + 76 + 66? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    vertauschen, 176
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5 · 32? Nenne ihn und rechne.
    5 · 32zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 32 = 30 + 2.
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 2 = 10
    3. Zusammen: 160
    Ergebnis:
    zerlegen, 160

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 86 · 27 das Ergebnis 2322. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
  2. 2322 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 86 · 27 = 2322
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
  2. 2322 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 86 · 27 = 2322
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2322

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 47 · 30 das Ergebnis 1310. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 30 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1310 liegt zu weit weg. Genau: 47 · 30 = 1410
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1410
  2. ●23
    Lina rechnet 560 : 7 und erhält 90. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    560 : 7Ergebnis 90?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 90 · 7 = 630
    2. 630 ist nicht 560: Es ist falsch.
    3. 560 : 7 = 80
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80
  3. ★24
    Lea erhält für 121 · 15 das Ergebnis 1715. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 100 · 20 = 2000
    2. 1715 liegt zu weit weg. Genau: 121 · 15 = 1815
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1815

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Aylin rechnet 11 + 54 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    115419
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 54
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 54 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 20 · 14 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    20145
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 14
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Lea rechnet 197 + 66 als 200 + 66. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    19766
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 66 = 266.
    3. 3 wieder abziehen: 266 − 3 = 263
    Ergebnis:
    263
  4. ●28
    Elias rechnet 89 − 49 als 89 − 50 und erhält 39. Ist das schon das Ergebnis?
    89 − 4989 − 50
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 39 + 1 = 40
    Ergebnis:
    Nein, 40
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 13
    Lösung zeigen
    1. 13 = 10 + 3
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 3 = 24
    3. 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 13 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1034
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 10 = 40
    2. Rechter Teil: 4 · 3 = 12
    3. Zusammen: 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 72 + 69 + 28 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    726928
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    169

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 197 + 86 als 200 + 86. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    19786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    283

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    354

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 259 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 7 = 6 · ___
    12 · 7=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 224 + 299? Nenne ihn und rechne.
    224 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 523

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 352 − 278 und erhält 174. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 74

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 85
  2. 103
  3. 875
  4. 85
  5. 46
  6. 696
  7. 195
  8. 413 Stühle
  9. 495
  10. 46 Murmeln
  11. 61 Bücher
  12. 62
  13. 44
  14. 75
  15. 28
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 3000
  19. gegensinnig verändern, 742
  20. vertauschen, 176
  21. zerlegen, 160
  22. falsch, richtig ist 1410
  23. falsch, richtig ist 80
  24. falsch, richtig ist 1815
  25. 84
  26. 1400
  27. 263
  28. Nein, 40
  29. 104
  30. 52 Kästchen
  31. 169
  32. 283
  33. 354
  34. 37
  35. 14
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 523
  38. falsch, richtig ist 74
  39. 25
  40. 60
  41. 36
  42. 51