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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 5 + 24 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (8 + 6) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
    2. 14 · 5 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 5 = 35
    2. 6 + 35 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 29 und erhalte 66. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 28 + 19 + 72
281972
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 28 + 72 + 19
  2. 28 + 72 = 100
  3. 100 + 19 = 119
  1. Vertauschen: 28 + 72 + 19
  2. 28 + 72 = 100
  3. 100 + 19 = 119
Ergebnis:
119

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 19 + 59 + 81
    195981
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 81 + 59
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 81 + 59
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    159
  2. ●2
    Emma rechnet 18 + 23 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    182332
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 32 + 23
    2. 18 + 32 = 50
    3. 50 + 23 = 73
    Ergebnis:
    73
  3. ★3
    Elias rechnet 185 + 637 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    18563715
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 185 + 15 + 637
    2. 185 + 15 = 200
    3. 200 + 637 = 837
    Ergebnis:
    837

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 39 + 95 als 40 + 95. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
3995
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 39 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 95 = 135.
  3. 1 wieder abziehen: 135 − 1 = 134
  1. Lina hat 39 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 95 = 135.
  3. 1 wieder abziehen: 135 − 1 = 134
Ergebnis:
134

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 46
    6746
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 46 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 46 gibt 3 ab.
    2. 67 + 46 = 70 + 43
    3. 70 + 43 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 69
    29769
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 69 gibt 3 ab.
    2. 297 + 69 = 300 + 66
    3. 300 + 66 = 366
    Ergebnis:
    366
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 499 + 538
    499538
    Lösung zeigen
    1. 499 bekommt 1 dazu, 538 gibt 1 ab.
    2. 499 + 538 = 500 + 537
    3. 500 + 537 = 1037
    Ergebnis:
    1037

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 − 3 = 147
  1. 49 = 50 − 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 − 3 = 147
Ergebnis:
147

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 16
    So fängst du an:
    16 = 10 + 6
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    3. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144
  2. ●8
    Es gibt 8 Reihen mit je 21 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    4. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 8 · 100 = 800 und 8 · 1 = 8
    3. 800 − 8 = 792
    Ergebnis:
    792

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 90 : 5
Schritt für Schritt
  1. 90 = 50 + 40
  2. 50 : 5 = 10 und 40 : 5 = 8
  3. 10 + 8 = 18
  1. 90 = 50 + 40
  2. 50 : 5 = 10 und 40 : 5 = 8
  3. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 192 : 3
    So fängst du an:
    192 = 180 + 12
    Lösung zeigen
    1. 192 = 180 + 12
    2. 180 : 3 = 60 und 12 : 3 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●11
    Zerlege 84 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 84 : 6?
    84: 6
    Lösung zeigen
    1. 84 = 60 + 24
    2. 60 : 6 = 10 und 24 : 6 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Zerlege 1053 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1053 : 9?
    1053: 9
    Lösung zeigen
    1. 1053 = 990 + 63
    2. 990 : 9 = 110 und 63 : 9 = 7
    3. 110 + 7 = 117
    Ergebnis:
    117

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 40 + 40 = 38 + ___
40 + 40=38 + ?
Schritt für Schritt
  1. 40 wird zu 38: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 2 größer.
  3. 40 + 2 = 42
  1. 40 wird zu 38: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 2 größer.
  3. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 14 · 5 = 7 · ___
    14 · 5=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 − 29 = ___ − 31
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 2 größer.
    3. 54 + 2 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 9 = 3 · ___
    6 · 9=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 307 + 598? Nenne ihn und rechne.
    307 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 307 + 598 = 305 + 600
    3. 305 + 600 = 905
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 905
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4670 − 3254? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 4670 − 3254 = 1416
    Ergebnis:
    schriftlich, 1416

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 80 · 30 das Ergebnis 2400. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2400 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 30 = 2400
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2400 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 30 = 2400
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2400

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 672 : 8 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    672 : 8Ergebnis 86?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 86 · 8 = 688
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 86 · 8 = 688
    2. 688 ist nicht 672: Es ist falsch.
    3. 672 : 8 = 84
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 84
  2. ●23
    Lina rechnet 605 − 229 und erhält 396. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 396 + 229 = 625
    2. 625 ist nicht 605: Es ist falsch.
    3. 605 − 229 = 376
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 376
  3. ★24
    Noah rechnet 6588 − 5358 und erhält 1230. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1230 + 5358 = 6588
    2. 6588 ist genau 6588: Es stimmt.
    3. 6588 − 5358 = 1230
    Ergebnis:
    stimmt, 1230

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 6 + 89 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    68914
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 89
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 89 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 14 · 2
    50142
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 14
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 95
    29895
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 95 gibt 2 ab.
    2. 298 + 95 = 300 + 93
    3. 300 + 93 = 393
    Ergebnis:
    393
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 221 − 198 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 221 um 2 größer: 223.
    3. 223 − 200 = 23
    Ergebnis:
    223
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  6. ●30
    Milan rechnet 4 · 28 so: erst 4 · 20, dann 8 dazu. Milan erhält 88. Zeige am Bild, was fehlt.
    2084
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 4 · 8 = 32
    3. 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    112

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 12 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    41236
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 68 + 77 als 70 + 77. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6877
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 61 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    305 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 315 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 315 : 7?
    315: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 83 − 63 = ___ − 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 287 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 784

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 170 : 5 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    170 : 5Ergebnis 44?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 34

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 159
  2. 73
  3. 837
  4. 113
  5. 366
  6. 1037
  7. 144
  8. 168 Stühle
  9. 792
  10. 64
  11. 14
  12. 117
  13. 10
  14. 56
  15. 18
  16. 180
  17. 400
  18. 400
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. gegensinnig verändern, 905
  21. schriftlich, 1416
  22. falsch, richtig ist 84
  23. falsch, richtig ist 376
  24. stimmt, 1230
  25. 109
  26. 1400
  27. 393
  28. 223
  29. 236
  30. 112
  31. 52
  32. 145
  33. 305 Bonbons
  34. 45
  35. 88
  36. 200
  37. gegensinnig verändern, 784
  38. falsch, richtig ist 34
  39. 29
  40. 70
  41. 41
  42. 37