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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 9 + 36 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●40
    Rechne: (5 + 3) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 3 = 8
    2. 8 · 4 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 8 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 9 = 72
    2. 4 + 72 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 28 + 78 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
287812
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 28 + 12 + 78
  2. 28 + 12 = 40
  3. 40 + 78 = 118
  1. Vertauschen: 28 + 12 + 78
  2. 28 + 12 = 40
  3. 40 + 78 = 118
Ergebnis:
118

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 8 + 88 + 32
    88832
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 32 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 32 + 88
    2. 8 + 32 = 40
    3. 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●2
    Aylin rechnet 26 + 38 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    263814
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 14 + 38
    2. 26 + 14 = 40
    3. 40 + 38 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Rechne geschickt: 253 + 756 + 25 + 47 + 75
    253756254775
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 253 + 47 + 25 + 75 + 756
    2. 253 + 47 = 300 und 25 + 75 = 100
    3. 300 + 100 + 756 = 1156
    Ergebnis:
    1156

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 76
9876
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 76 gibt 2 ab.
  2. 98 + 76 = 100 + 74
  3. 100 + 74 = 174
  1. 98 bekommt 2 dazu, 76 gibt 2 ab.
  2. 98 + 76 = 100 + 74
  3. 100 + 74 = 174
Ergebnis:
174

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 97
    3897
    So fängst du an:
    38 bekommt 2 dazu, 97 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 97 gibt 2 ab.
    2. 38 + 97 = 40 + 95
    3. 40 + 95 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●5
    Emma rechnet 199 + 66 als 200 + 66. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    19966
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 66 = 266.
    3. 1 wieder abziehen: 266 − 1 = 265
    Ergebnis:
    265
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 797
    396797
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 797 gibt 4 ab.
    2. 396 + 797 = 400 + 793
    3. 400 + 793 = 1193
    Ergebnis:
    1193

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Reihen mit je 25 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
  4. 120 + 30 = 150
  1. 6 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
  4. 120 + 30 = 150
Ergebnis:
150 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  3. ★9
    Es gibt 5 Tüten mit je 46 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
    4. 200 + 30 = 230
    Ergebnis:
    230 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

114 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 114 : 3
  2. 114 = 90 + 24
  3. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  4. 30 + 8 = 38
  1. 114 : 3
  2. 114 = 90 + 24
  3. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  4. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    612 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    612 : 9
    Lösung zeigen
    1. 612 : 9
    2. 612 = 540 + 72
    3. 540 : 9 = 60 und 72 : 9 = 8
    4. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 205 : 5
    Lösung zeigen
    1. 205 = 200 + 5
    2. 200 : 5 = 40 und 5 : 5 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★12
    Zerlege 315 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 315 : 3?
    315: 3
    Lösung zeigen
    1. 315 = 300 + 15
    2. 300 : 3 = 100 und 15 : 3 = 5
    3. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 85 + 48 = 87 + ___
85 + 48=87 + ?
Schritt für Schritt
  1. 85 wird zu 87: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 2 kleiner.
  3. 48 − 2 = 46
  1. 85 wird zu 87: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 2 kleiner.
  3. 48 − 2 = 46
Ergebnis:
46

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 35 + 40 = 36 + ___
    35 + 40=36 + ?
    So fängst du an:
    35 wird zu 36: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 36: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 1 kleiner.
    3. 40 − 1 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 6 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 3 · 50 + 3 · 3 = 3 · ___
    3 · 50 + 3 · 3=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 50 und 3 mal 3 sind zusammen 3 mal (50 + 3).
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 53? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 3 = 18
    3. Zusammen: 318
    Ergebnis:
    zerlegen, 318
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 6233 − 1821? Nenne ihn und rechne.
    6233 − 1821zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6233 − 1821 = 4412
    Ergebnis:
    schriftlich, 4412

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 352 : 8 und erhält 43. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
352 : 8Ergebnis 43?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 43 · 8 = 344
  2. 344 ist nicht 352: Es ist falsch.
  3. 352 : 8 = 44
  1. Umkehraufgabe: 43 · 8 = 344
  2. 344 ist nicht 352: Es ist falsch.
  3. 352 : 8 = 44
Ergebnis:
falsch, richtig ist 44

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 950 − 675 und erhält 265. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 265 + 675 = 940
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 265 + 675 = 940
    2. 940 ist nicht 950: Es ist falsch.
    3. 950 − 675 = 275
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 275
  2. ●23
    Emma erhält für 76 · 33 das Ergebnis 2508. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
    2. 2508 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 33 = 2508
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2508
  3. ★24
    Emma rechnet 6182 − 5215 und erhält 987. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 987 + 5215 = 6202
    2. 6202 ist nicht 6182: Es ist falsch.
    3. 6182 − 5215 = 967
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 967

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 23 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    62314
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 23
    2. 6 + 14 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 23 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    5052
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 5
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 64
    4864
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 64 gibt 2 ab.
    2. 48 + 64 = 50 + 62
    3. 50 + 62 = 112
    Ergebnis:
    112
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 78 − 38
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 78 − 38 = 80 − 40
    3. 80 − 40 = 40
    Ergebnis:
    40
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 34
    Lösung zeigen
    1. 34 = 30 + 4
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
    3. 210 + 28 = 238
    Ergebnis:
    238
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 18?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 8 = 24
    3. 3 · 18 = 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 8, zusammen 54

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 23 + 86 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    238617
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 59 = 300 + ___
    29859
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 51 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 51 : 3?
    51: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 11 = 9 · ___
    18 · 11=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 74 + 66? Nenne ihn und rechne.
    34 + 74 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 525 − 274 und erhält 271. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 251

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 128
  2. 78
  3. 1156
  4. 135
  5. 265
  6. 1193
  7. 472
  8. 294
  9. 230 Bonbons
  10. 68 Murmeln
  11. 41
  12. 105
  13. 39
  14. 12
  15. 53
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. zerlegen, 318
  21. schriftlich, 4412
  22. falsch, richtig ist 275
  23. stimmt, 2508
  24. falsch, richtig ist 967
  25. 43
  26. 500
  27. 112
  28. 40
  29. 238
  30. 3 · 10 und 3 · 8, zusammen 54
  31. 126
  32. 57
  33. 145
  34. 17
  35. 22
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. vertauschen, 174
  38. falsch, richtig ist 251
  39. 45
  40. 32
  41. 76
  42. 16