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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 9 + 10 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 2 + 40 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 39 + 64 + 11
396411
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 39 + 11 + 64
  2. 39 + 11 = 50
  3. 50 + 64 = 114
  1. Vertauschen: 39 + 11 + 64
  2. 39 + 11 = 50
  3. 50 + 64 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 7 + 85 + 23
    78523
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 23 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 23 + 85
    2. 7 + 23 = 30
    3. 30 + 85 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●2
    Lina rechnet 17 + 25 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    17253
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 25
    2. 17 + 3 = 20
    3. 20 + 25 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★3
    Ben rechnet 115 + 542 + 87 + 85 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    115542878513
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 115 + 85 + 87 + 13 + 542
    2. 115 + 85 = 200 und 87 + 13 = 100
    3. 200 + 100 + 542 = 842
    Ergebnis:
    842

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 23 = 40 + ___
3923
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 23 um 1 kleiner werden: 23 − 1 = 22
  3. 40 + 22 = 62
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 23 um 1 kleiner werden: 23 − 1 = 22
  3. 40 + 22 = 62
Ergebnis:
22

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 299 + 69 als 300 + 69. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    29969
    So fängst du an:
    Emma hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 69 = 369.
    3. 1 wieder abziehen: 369 − 1 = 368
    Ergebnis:
    368
  2. ●5
    Mia rechnet 199 + 66 als 200 + 66. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19966
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 66 = 266.
    3. 1 wieder abziehen: 266 − 1 = 265
    Ergebnis:
    265
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 848 = 500 + ___
    497848
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 848 um 3 kleiner werden: 848 − 3 = 845
    3. 500 + 845 = 1345
    Ergebnis:
    845

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
  3. 360 − 9 = 351
  1. 39 = 40 − 1
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
  3. 360 − 9 = 351
Ergebnis:
351

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 44 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 4 = 12
    4. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 5 Reihen mit je 71 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 71
    2. 71 = 70 + 1
    3. 5 · 70 = 350 und 5 · 1 = 5
    4. 350 + 5 = 355
    Ergebnis:
    355 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

144 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 144 : 4
  2. 144 = 120 + 24
  3. 120 : 4 = 30 und 24 : 4 = 6
  4. 30 + 6 = 36
  1. 144 : 4
  2. 144 = 120 + 24
  3. 120 : 4 = 30 und 24 : 4 = 6
  4. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 354 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 354 : 6?
    354: 6
    So fängst du an:
    354 = 300 + 54
    Lösung zeigen
    1. 354 = 300 + 54
    2. 300 : 6 = 50 und 54 : 6 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●11
    Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 4?
    248: 4
    Lösung zeigen
    1. 248 = 240 + 8
    2. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 168 : 3
    Lösung zeigen
    1. 168 = 150 + 18
    2. 150 : 3 = 50 und 18 : 3 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 50 − 41 = ___ − 42
Schritt für Schritt
  1. 41 wird zu 42: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 1 größer.
  3. 50 + 1 = 51
  1. 41 wird zu 42: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 1 größer.
  3. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 11 = 2 · ___
    4 · 11=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 7 = 6 · ___
    12 · 7=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 5 · 52 + 5 · 6 = 5 · ___
    5 · 52 + 5 · 6=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 52 und 5 mal 6 sind zusammen 5 mal (52 + 6).
    3. 52 + 6 = 58
    Ergebnis:
    58

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 246 + 497? Nenne ihn und rechne.
246 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 246 + 497 = 243 + 500
  3. 243 + 500 = 743
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 246 + 497 = 243 + 500
  3. 243 + 500 = 743
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 743

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 128 + 198? Nenne ihn und rechne.
    128 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 128 + 198 = 126 + 200
    3. 126 + 200 = 326
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 326
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 269 + 497? Nenne ihn und rechne.
    269 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 269 + 497 = 266 + 500
    3. 266 + 500 = 766
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 766
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 37 + 73 + 63? Nenne ihn und rechne.
    37 + 73 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 458 − 148 und erhält 310. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 310 + 148 = 458
  2. 458 ist genau 458: Es stimmt.
  3. 458 − 148 = 310
  1. Umkehraufgabe: 310 + 148 = 458
  2. 458 ist genau 458: Es stimmt.
  3. 458 − 148 = 310
Ergebnis:
stimmt, 310

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 359 − 213 und erhält 136. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 136 + 213 = 349
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 136 + 213 = 349
    2. 349 ist nicht 359: Es ist falsch.
    3. 359 − 213 = 146
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 146
  2. ●23
    Noah rechnet 320 − 143 und erhält 277. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 277 + 143 = 420
    2. 420 ist nicht 320: Es ist falsch.
    3. 320 − 143 = 177
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 177
  3. ★24
    Zeynep erhält für 243 · 14 das Ergebnis 3202. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 3202 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 243 · 14 = 3402
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3402

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 33 + 76 + 27
    337627
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 27 + 76
    2. 33 + 27 = 60
    3. 60 + 76 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 6 · 5
    265
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 6
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 24 = 200 + ___
    19724
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
    3. 200 + 21 = 221
    Ergebnis:
    21
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 149 − 97
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 149 − 97 = 152 − 100
    3. 152 − 100 = 52
    Ergebnis:
    52
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 55
    Lösung zeigen
    1. 55 = 50 + 5
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 5 = 30
    3. 300 + 30 = 330
    Ergebnis:
    330
  6. ●30
    Elias rechnet 6 · 12 so: erst 6 · 10, dann 2 dazu. Elias erhält 62. Zeige am Bild, was fehlt.
    1026
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 6 · 2 = 12
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 18 + 73 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    187322
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    113

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 23
    6923
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 62
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    310

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 135 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 45 − 22 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 46 + 43 + 54? Nenne ihn und rechne.
    46 + 43 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 143

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 801 − 515 und erhält 276. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 286

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 115
  2. 45
  3. 842
  4. 368
  5. 265
  6. 845
  7. 295
  8. 132 Bonbons
  9. 355 Stühle
  10. 59
  11. 62
  12. 56
  13. 22
  14. 14
  15. 58
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 326
  20. gegensinnig verändern, 766
  21. vertauschen, 173
  22. falsch, richtig ist 146
  23. falsch, richtig ist 177
  24. falsch, richtig ist 3402
  25. 136
  26. 60
  27. 21
  28. 52
  29. 330
  30. 72
  31. 113
  32. 92
  33. 310
  34. 27
  35. 55
  36. 200
  37. vertauschen, 143
  38. falsch, richtig ist 286
  39. 19
  40. 66
  41. 42
  42. 17