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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 52 − 24 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●40
    Rechne: (6 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 5 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 7 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 7 = 49
    2. 5 + 49 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 43. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 13 + 79 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
137927
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 27 + 79
  2. 13 + 27 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 79 = 119
  1. Vertauschen: 13 + 27 + 79
  2. 13 + 27 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 79 = 119
Ergebnis:
119

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 22 + 84 + 38
    228438
    So fängst du an:
    Vertauschen: 22 + 38 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 38 + 84
    2. 22 + 38 = 60
    3. 60 + 84 = 144
    Ergebnis:
    144
  2. ●2
    Noah rechnet 5 + 53 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    55315
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 53
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 53 = 73
    Ergebnis:
    73
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 376 + 508 + 27 + 624 + 73 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    3765082762473
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 376 + 624 + 27 + 73 + 508
    2. 376 + 624 = 1000 und 27 + 73 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 508 = 1608
    Ergebnis:
    1608

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 72
3972
Schritt für Schritt
  1. 39 bekommt 1 dazu, 72 gibt 1 ab.
  2. 39 + 72 = 40 + 71
  3. 40 + 71 = 111
  1. 39 bekommt 1 dazu, 72 gibt 1 ab.
  2. 39 + 72 = 40 + 71
  3. 40 + 71 = 111
Ergebnis:
111

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 73 = 100 + ___
    9873
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 73 um 2 kleiner werden: 73 − 2 = 71
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    71
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 68 = 40 + ___
    3768
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
    3. 40 + 65 = 105
    Ergebnis:
    65
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 498 + 813
    498813
    Lösung zeigen
    1. 498 bekommt 2 dazu, 813 gibt 2 ab.
    2. 498 + 813 = 500 + 811
    3. 500 + 811 = 1311
    Ergebnis:
    1311

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 53 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 53
  2. 53 = 50 + 3
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 3 = 12
  4. 200 + 12 = 212
  1. 4 · 53
  2. 53 = 50 + 3
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 3 = 12
  4. 200 + 12 = 212
Ergebnis:
212 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 16
    Lösung zeigen
    1. 7 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 7 · 10 = 70 und 7 · 6 = 42
    4. 70 + 42 = 112
    Ergebnis:
    112 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 36
    Lösung zeigen
    1. 36 = 30 + 6
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 6 = 48
    3. 240 + 48 = 288
    Ergebnis:
    288

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 177 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 177 : 3?
177: 3
Schritt für Schritt
  1. 177 = 150 + 27
  2. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
  3. 50 + 9 = 59
  1. 177 = 150 + 27
  2. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
  3. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 8?
    248: 8
    So fängst du an:
    248 = 240 + 8
    Lösung zeigen
    1. 248 = 240 + 8
    2. 240 : 8 = 30 und 8 : 8 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    104 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 104 : 8
    2. 104 = 80 + 24
    3. 80 : 8 = 10 und 24 : 8 = 3
    4. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 330 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 330 : 5?
    330: 5
    Lösung zeigen
    1. 330 = 300 + 30
    2. 300 : 5 = 60 und 30 : 5 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 59 − 42 = ___ − 44
Schritt für Schritt
  1. 42 wird zu 44: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
  1. 42 wird zu 44: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
Ergebnis:
61

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 74 − 53 = ___ − 58
    So fängst du an:
    53 wird zu 58: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 53 wird zu 58: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 5 größer.
    3. 74 + 5 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 98 − 64 = ___ − 69
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 69: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 5 größer.
    3. 98 + 5 = 103
    Ergebnis:
    103
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 3 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 147 + 399? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 147 + 399 = 146 + 400
    3. 146 + 400 = 546
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 546
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 49 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 49 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    vertauschen, 149
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 27 + 72 + 73? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    vertauschen, 172

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 70 · 38 das Ergebnis 2660. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 2660 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 70 · 38 = 2660
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 2660 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 70 · 38 = 2660
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2660

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 24 · 25 das Ergebnis 800. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 20 · 30 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 30 = 600
    2. 800 liegt zu weit weg. Genau: 24 · 25 = 600
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 600
  2. ●23
    Noah rechnet 414 : 9 und erhält 47. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    414 : 9Ergebnis 47?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 47 · 9 = 423
    2. 423 ist nicht 414: Es ist falsch.
    3. 414 : 9 = 46
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 46
  3. ★24
    Lina rechnet 1281 : 7 und erhält 193. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1281 : 7Ergebnis 193?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 193 · 7 = 1351
    2. 1351 ist nicht 1281: Es ist falsch.
    3. 1281 : 7 = 183
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 183

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 25 + 39 + 35
    253935
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 39
    2. 25 + 35 = 60
    3. 60 + 39 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 12 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    12254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 89 = 200 + ___
    19789
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 89 um 3 kleiner werden: 89 − 3 = 86
    3. 200 + 86 = 286
    Ergebnis:
    86
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 174 − 98 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 174 um 2 größer: 176.
    3. 176 − 100 = 76
    Ergebnis:
    176
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 25
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
    3. 120 + 30 = 150
    Ergebnis:
    150
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2074
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 47 + 76 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    244776
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 95 = 70 + ___
    6795
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Hefte mit je 48 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 183 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 183 : 3?
    183: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 50 + 62 = 40 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Jonas verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 430 − 127 und erhält 303. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 303

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 144
  2. 73
  3. 1608
  4. 71
  5. 65
  6. 1311
  7. 112 Bonbons
  8. 441
  9. 288
  10. 31
  11. 13 Bücher
  12. 66
  13. 79
  14. 103
  15. 6
  16. 180
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. gegensinnig verändern, 546
  20. vertauschen, 149
  21. vertauschen, 172
  22. falsch, richtig ist 600
  23. falsch, richtig ist 46
  24. falsch, richtig ist 183
  25. 99
  26. 1200
  27. 86
  28. 176
  29. 150
  30. 108 Kästchen
  31. 147
  32. 92
  33. 240 Hefte
  34. 61
  35. 72
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 303
  39. 28
  40. 66
  41. 54
  42. 39