Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 38 − 3 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
2. 38 − 27 = 11
Ergebnis:
11
●40
Rechne: (6 + 8) · 9
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
2. 14 · 9 = 126
Ergebnis:
126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 12 + 6 · 3
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 6 · 3 = 18
2. 12 + 18 = 30
Ergebnis:
30
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 11 + 56 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 11 + 19 + 56
11 + 19 = 30
30 + 56 = 86

Vertauschen: 11 + 19 + 56
11 + 19 = 30
30 + 56 = 86

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Elias rechnet 14 + 22 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 14 + 6 + 22
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 14 + 6 + 22
2. 14 + 6 = 20
3. 20 + 22 = 42
Ergebnis:
42
●2
Rechne geschickt: 8 + 73 + 12
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 8 + 12 + 73
2. 8 + 12 = 20
3. 20 + 73 = 93
Ergebnis:
93
★3
Welche Zahlen fasst du bei 337 + 767 + 73 + 663 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 337 + 663 + 73 + 27 + 767
2. 337 + 663 = 1000 und 73 + 27 = 100
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 767 = 1867
Ergebnis:
1867

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 75

Schritt für Schritt

49 bekommt 1 dazu, 75 gibt 1 ab.
49 + 75 = 50 + 74
50 + 74 = 124

49 bekommt 1 dazu, 75 gibt 1 ab.
49 + 75 = 50 + 74
50 + 74 = 124

Ergebnis:

124

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Emma rechnet 297 + 89 als 300 + 89. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
So fängst du an:
Emma hat 297 um 3 vergrößert.
Lösung zeigen
1. Emma hat 297 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 89 = 389.
3. 3 wieder abziehen: 389 − 3 = 386
Ergebnis:
386
●5
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 24 = 70 + ___
Lösung zeigen
1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
3. 70 + 21 = 91
Ergebnis:
21
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1996 + 606 = 2000 + ___
Lösung zeigen
1. 1996 wird zu 2000: 4 mehr.
2. Also muss 606 um 4 kleiner werden: 606 − 4 = 602
3. 2000 + 602 = 2602
Ergebnis:
602

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19

Schritt für Schritt

19 = 20 − 1
7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
140 − 7 = 133

19 = 20 − 1
7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
140 − 7 = 133

Ergebnis:

133

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Es gibt 6 Hefte mit je 26 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
6 · 26
Lösung zeigen
1. 6 · 26
2. 26 = 20 + 6
3. 6 · 20 = 120 und 6 · 6 = 36
4. 120 + 36 = 156
Ergebnis:
156 Hefte
●8
Es gibt 8 Hefte mit je 41 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 8 · 41
2. 41 = 40 + 1
3. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
4. 320 + 8 = 328
Ergebnis:
328 Hefte
★9
Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 250
Lösung zeigen
1. 250 = 200 + 50
2. 5 · 200 = 1000; 5 · 50 = 250
3. 1000 + 250 = 1250
Ergebnis:
1250

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

51 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

51 : 3
51 = 30 + 21
30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
10 + 7 = 17

51 : 3
51 = 30 + 21
30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
10 + 7 = 17

Ergebnis:

17 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 476 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 476 : 7?
So fängst du an:
476 = 420 + 56
Lösung zeigen
1. 476 = 420 + 56
2. 420 : 7 = 60 und 56 : 7 = 8
3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68
●11
Rechne halbschriftlich: 351 : 9
Lösung zeigen
1. 351 = 270 + 81
2. 270 : 9 = 30 und 81 : 9 = 9
3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39
★12
692 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 692 : 4
2. 692 = 680 + 12
3. 680 : 4 = 170 und 12 : 4 = 3
4. 170 + 3 = 173
Ergebnis:
173 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 14 = 3 · ___

Schritt für Schritt

6 wird halb so groß: 3.
Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
14 · 2 = 28

6 wird halb so groß: 3.
Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
14 · 2 = 28

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 47 + 86 = 50 + ___
So fängst du an:
47 wird zu 50: 3 mehr.
Lösung zeigen
1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 3 kleiner.
3. 86 − 3 = 83
Ergebnis:
83
●14
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 14 = 2 · ___
Lösung zeigen
1. 4 wird halb so groß: 2.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 − 14 = ___ − 24
Lösung zeigen
1. 14 wird zu 24: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 10 größer.
3. 54 + 10 = 64
Ergebnis:
64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?

Schritt für Schritt

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Ergebnis:

Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
So fängst du an:
14 · 15 = 7 · 30
Lösung zeigen
1. 14 · 15 = 7 · 30
2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210
●17
Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210
★18
Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 22 · 15 = 11 · 30
3. 11 · 30 = 330
Ergebnis:
330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 386 + 399? Nenne ihn und rechne.

Schritt für Schritt

399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
386 + 399 = 385 + 400
385 + 400 = 785

399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
386 + 399 = 385 + 400
385 + 400 = 785

Ergebnis:

gegensinnig verändern, 785

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
So fängst du an:
5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 16 · 5 = 8 · 10
3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 82? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
2. 7 · 80 = 560 und 7 · 2 = 14
3. Zusammen: 574
Ergebnis:
zerlegen, 574
★21
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 323 + 598? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
2. 323 + 598 = 321 + 600
3. 321 + 600 = 921
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 921

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan erhält für 57 · 32 das Ergebnis 1924. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 60 · 30 = 1800
1924 liegt zu weit weg. Genau: 57 · 32 = 1824
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 60 · 30 = 1800
1924 liegt zu weit weg. Genau: 57 · 32 = 1824
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 1824

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Emma erhält für 23 · 12 das Ergebnis 476. Prüfe mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 20 · 10 = 200
Lösung zeigen
1. Überschlag: 20 · 10 = 200
2. 476 liegt zu weit weg. Genau: 23 · 12 = 276
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 276
●23
Milan rechnet 490 − 302 und erhält 188. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 188 + 302 = 490
2. 490 ist genau 490: Es stimmt.
3. 490 − 302 = 188
Ergebnis:
stimmt, 188
★24
Lea rechnet 3897 : 9 und erhält 433. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 433 · 9 = 3897
2. 3897 ist genau 3897: Es stimmt.
3. 3897 : 9 = 433
Ergebnis:
stimmt, 433

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahlen fasst du bei 3 + 21 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 3 + 27 + 21
2. 3 + 27 = 30
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 21 = 51
Ergebnis:
51
●26
Rechne geschickt: 12 · 20 · 5
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 20 · 5 · 12
2. 20 · 5 = 100
3. 100 · 12 = 1200
Ergebnis:
1200
●27
Paul rechnet 37 + 55 als 40 + 55. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Paul hat 37 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 55 = 95.
3. 3 wieder abziehen: 95 − 3 = 92
Ergebnis:
92
●28
Noah rechnet 159 − 29 als 159 − 30 und erhält 129. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Noah hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 129 + 1 = 130
Ergebnis:
Nein, 130
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 54
Lösung zeigen
1. 54 = 50 + 4
2. 8 · 50 = 400 und 8 · 4 = 32
3. 400 + 32 = 432
Ergebnis:
432
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 21?
Lösung zeigen
1. Links: 6 · 20 = 120
2. Rechts: 6 · 1 = 6
3. 6 · 21 = 120 + 6 = 126
Ergebnis:
6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Milan rechnet 24 + 33 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
63
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 67
Lösung zeigen
Ergebnis:
265
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 65
Lösung zeigen
Ergebnis:
455
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 123 : 3
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Ergebnis:
41
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 12 = 4 · ___
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Ergebnis:
24
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
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Ergebnis:
180
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welcher Weg passt zu 7 · 73? Nenne ihn und rechne.
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Ergebnis:
zerlegen, 511
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Jonas rechnet 240 : 5 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
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Ergebnis:
stimmt, 48

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

42
93
1867
386
21
602
156 Hefte
328 Hefte
1250
68
39
173 Bücher
83
28
64
210
Nein, viermal so groß; richtig ist 210
330
halbieren und verdoppeln, 80
zerlegen, 574
gegensinnig verändern, 921
falsch, richtig ist 276
stimmt, 188
stimmt, 433
51
1200
92
Nein, 130
432
6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126
63
265
455
41
24
180
zerlegen, 511
stimmt, 48
11
126
30
52