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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 9 + 24 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●40
    Rechne: (4 + 3) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 3 = 7
    2. 7 · 6 = 42
    Ergebnis:
    42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 12 + 14 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Can rechnet 24 + 24 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
242436
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 24
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 24 = 84
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 24
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 24 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 63 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    336317
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 17 + 63
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 63
    2. 33 + 17 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 63 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●2
    Rechne geschickt: 13 + 38 + 7
    13387
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 38
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 38 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★3
    Emma rechnet 152 + 274 + 55 + 48 + 45 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    152274554845
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 152 + 48 + 55 + 45 + 274
    2. 152 + 48 = 200 und 55 + 45 = 100
    3. 200 + 100 + 274 = 574
    Ergebnis:
    574

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 94 = 200 + ___
19994
Schritt für Schritt
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 94 um 1 kleiner werden: 94 − 1 = 93
  3. 200 + 93 = 293
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 94 um 1 kleiner werden: 94 − 1 = 93
  3. 200 + 93 = 293
Ergebnis:
93

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 27 = 300 + ___
    29827
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
    3. 300 + 25 = 325
    Ergebnis:
    25
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 36 = 40 + ___
    3836
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 36 um 2 kleiner werden: 36 − 2 = 34
    3. 40 + 34 = 74
    Ergebnis:
    34
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 735
    496735
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 735 gibt 4 ab.
    2. 496 + 735 = 500 + 731
    3. 500 + 731 = 1231
    Ergebnis:
    1231

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
  3. 100 − 5 = 95
  1. 19 = 20 − 1
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
  3. 100 − 5 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 49
    So fängst du an:
    49 = 40 + 9
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 9 = 36
    3. 160 + 36 = 196
    Ergebnis:
    196
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 54
    Lösung zeigen
    1. 54 = 50 + 4
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    3. 350 + 28 = 378
    Ergebnis:
    378
  3. ★9
    Es gibt 5 Hefte mit je 75 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 75
    2. 75 = 70 + 5
    3. 5 · 70 = 350 und 5 · 5 = 25
    4. 350 + 25 = 375
    Ergebnis:
    375 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 60 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 60 : 4?
60: 4
Schritt für Schritt
  1. 60 = 40 + 20
  2. 40 : 4 = 10 und 20 : 4 = 5
  3. 10 + 5 = 15
  1. 60 = 40 + 20
  2. 40 : 4 = 10 und 20 : 4 = 5
  3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    69 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    69 : 3
    Lösung zeigen
    1. 69 : 3
    2. 69 = 60 + 9
    3. 60 : 3 = 20 und 9 : 3 = 3
    4. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 5?
    260: 5
    Lösung zeigen
    1. 260 = 250 + 10
    2. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★12
    Zerlege 387 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 387 : 9?
    387: 9
    Lösung zeigen
    1. 387 = 360 + 27
    2. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 33 + 35 = 23 + ___
Schritt für Schritt
  1. 33 wird zu 23: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 10 größer.
  3. 35 + 10 = 45
  1. 33 wird zu 23: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 10 größer.
  3. 35 + 10 = 45
Ergebnis:
45

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 14 = ___ − 15
    So fängst du an:
    14 wird zu 15: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 15: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 1 größer.
    3. 85 + 1 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 13 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 13 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 46? Nenne ihn und rechne.
7 · 46zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 6 = 42
  3. Zusammen: 322
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 6 = 42
  3. Zusammen: 322
Ergebnis:
zerlegen, 322

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 82? Nenne ihn und rechne.
    6 · 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
    2. 6 · 80 = 480 und 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 492
    Ergebnis:
    zerlegen, 492
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 6767 − 2660? Nenne ihn und rechne.
    6767 − 2660zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6767 − 2660 = 4107
    Ergebnis:
    schriftlich, 4107

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 921 − 554 und erhält 367. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 367 + 554 = 921
  2. 921 ist genau 921: Es stimmt.
  3. 921 − 554 = 367
  1. Umkehraufgabe: 367 + 554 = 921
  2. 921 ist genau 921: Es stimmt.
  3. 921 − 554 = 367
Ergebnis:
stimmt, 367

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna erhält für 79 · 12 das Ergebnis 1948. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 10 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 10 = 800
    2. 1948 liegt zu weit weg. Genau: 79 · 12 = 948
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 948
  2. ●23
    Milan erhält für 48 · 39 das Ergebnis 1772. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 1772 liegt zu weit weg. Genau: 48 · 39 = 1872
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1872
  3. ★24
    Noah rechnet 3848 : 8 und erhält 481. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3848 : 8Ergebnis 481?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 481 · 8 = 3848
    2. 3848 ist genau 3848: Es stimmt.
    3. 3848 : 8 = 481
    Ergebnis:
    stimmt, 481

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Can rechnet 29 + 19 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    291921
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 21 + 19
    2. 29 + 21 = 50
    3. 50 + 19 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●26
    Rechne geschickt: 4 · 2 · 5
    425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 4
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 75 = 300 + ___
    29775
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 75 um 3 kleiner werden: 75 − 3 = 72
    3. 300 + 72 = 372
    Ergebnis:
    72
  4. ●28
    Hanna rechnet 164 − 49 als 164 − 50 und erhält 114. Ist das schon das Ergebnis?
    164 − 49164 − 50
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 114 + 1 = 115
    Ergebnis:
    Nein, 115
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
    3. 180 + 54 = 234
    Ergebnis:
    234
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1086
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 8 = 48
    3. Zusammen: 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 29 + 79 + 11
    297911
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    119

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lina rechnet 37 + 39 als 40 + 39. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    3739
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 260 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 46 − 14 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 68? Nenne ihn und rechne.
    5 · 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 340

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 39 · 26 das Ergebnis 2014. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1014

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 113
  2. 58
  3. 574
  4. 25
  5. 34
  6. 1231
  7. 196
  8. 378
  9. 375 Hefte
  10. 23 Bücher
  11. 52
  12. 43
  13. 86
  14. 26
  15. 26
  16. 80
  17. 180
  18. 330
  19. zerlegen, 492
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. schriftlich, 4107
  22. falsch, richtig ist 948
  23. falsch, richtig ist 1872
  24. stimmt, 481
  25. 69
  26. 40
  27. 72
  28. Nein, 115
  29. 234
  30. 108 Kästchen
  31. 119
  32. 76
  33. 196
  34. 52
  35. 56
  36. 200
  37. zerlegen, 340
  38. falsch, richtig ist 1014
  39. 33
  40. 42
  41. 26
  42. 48