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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 6 + 27 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 6 + 28 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 35 und erhalte 85. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 14 + 37 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
14376
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 37
  2. 14 + 6 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 37 = 57
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 37
  2. 14 + 6 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 37 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 25 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    172513
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 13 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 13 + 25
    2. 17 + 13 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 25 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●2
    Rechne geschickt: 12 + 53 + 48
    125348
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 48 + 53
    2. 12 + 48 = 60
    3. 60 + 53 = 113
    Ergebnis:
    113
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 225 + 526 + 75 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    22552675
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 225 + 75 + 526
    2. 225 + 75 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 526 = 826
    Ergebnis:
    826

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Elias rechnet 98 + 88 als 100 + 88. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
9888
Schritt für Schritt
  1. Elias hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 88 = 188.
  3. 2 wieder abziehen: 188 − 2 = 186
  1. Elias hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 88 = 188.
  3. 2 wieder abziehen: 188 − 2 = 186
Ergebnis:
186

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 24 = 70 + ___
    6824
    So fängst du an:
    68 wird zu 70: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
    3. 70 + 22 = 92
    Ergebnis:
    22
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 66 = 300 + ___
    29766
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 66 um 3 kleiner werden: 66 − 3 = 63
    3. 300 + 63 = 363
    Ergebnis:
    63
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1996 + 888 = 2000 + ___
    1996888
    Lösung zeigen
    1. 1996 wird zu 2000: 4 mehr.
    2. Also muss 888 um 4 kleiner werden: 888 − 4 = 884
    3. 2000 + 884 = 2884
    Ergebnis:
    884

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Hefte mit je 64 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 64
  2. 64 = 60 + 4
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 4 = 24
  4. 360 + 24 = 384
  1. 6 · 64
  2. 64 = 60 + 4
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 4 = 24
  4. 360 + 24 = 384
Ergebnis:
384 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

476 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 476 : 7
  2. 476 = 420 + 56
  3. 420 : 7 = 60 und 56 : 7 = 8
  4. 60 + 8 = 68
  1. 476 : 7
  2. 476 = 420 + 56
  3. 420 : 7 = 60 und 56 : 7 = 8
  4. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 138 : 6
    So fängst du an:
    138 = 120 + 18
    Lösung zeigen
    1. 138 = 120 + 18
    2. 120 : 6 = 20 und 18 : 6 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 81 : 3
    Lösung zeigen
    1. 81 = 60 + 21
    2. 60 : 3 = 20 und 21 : 3 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  3. ★12
    Zerlege 657 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 657 : 9?
    657: 9
    Lösung zeigen
    1. 657 = 630 + 27
    2. 630 : 9 = 70 und 27 : 9 = 3
    3. 70 + 3 = 73
    Ergebnis:
    73

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 68 − 33 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
  3. 68 + 2 = 70
  1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
  3. 68 + 2 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 82 − 18 = ___ − 23
    So fängst du an:
    18 wird zu 23: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 23: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 5 größer.
    3. 82 + 5 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 88 − 33 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 43: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 10 größer.
    3. 88 + 10 = 98
    Ergebnis:
    98
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 19 + 18 = 21 + ___
    19 + 18=21 + ?
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 21: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 2 kleiner.
    3. 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 41? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
  3. Zusammen: 205
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
  3. Zusammen: 205
Ergebnis:
zerlegen, 205

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 212 + 198? Nenne ihn und rechne.
    212 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 212 + 198 = 210 + 200
    3. 210 + 200 = 410
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 410
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 26 + 67 + 74? Nenne ihn und rechne.
    26 + 67 + 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 26 + 74 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8171 − 5623? Nenne ihn und rechne.
    8171 − 5623zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8171 − 5623 = 2548
    Ergebnis:
    schriftlich, 2548

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 41 · 17 das Ergebnis 1697. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 1697 liegt zu weit weg. Genau: 41 · 17 = 697
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 1697 liegt zu weit weg. Genau: 41 · 17 = 697
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 697

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 65 · 36 das Ergebnis 2340. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 40 = 2800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 2340 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 65 · 36 = 2340
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2340
  2. ●23
    Emma erhält für 33 · 38 das Ergebnis 1354. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1354 liegt zu weit weg. Genau: 33 · 38 = 1254
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1254
  3. ★24
    Ben rechnet 3490 : 5 und erhält 698. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3490 : 5Ergebnis 698?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 698 · 5 = 3490
    2. 3490 ist genau 3490: Es stimmt.
    3. 3490 : 5 = 698
    Ergebnis:
    stimmt, 698

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 16 + 25 + 84 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    162584
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 84 + 25
    2. 16 + 84 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    4502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 76 = 200 + ___
    19776
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 76 um 3 kleiner werden: 76 − 3 = 73
    3. 200 + 73 = 273
    Ergebnis:
    73
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 137 − 29 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 137 um 1 größer: 138.
    3. 138 − 30 = 108
    Ergebnis:
    138
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 24?
    2046
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 4 = 24
    3. 6 · 24 = 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 4, zusammen 144

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 26 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    192621
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 197 + 36 als 200 + 36. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    19736
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    233

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    441

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    104 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 37 + 68 = 39 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 157 + 299? Nenne ihn und rechne.
    157 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 456

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 970 − 730 und erhält 240. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 240

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 55
  2. 113
  3. 826
  4. 22
  5. 63
  6. 884
  7. 245
  8. 343
  9. 392
  10. 23
  11. 27
  12. 73
  13. 87
  14. 98
  15. 16
  16. 210
  17. 70
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 410
  20. vertauschen, 167
  21. schriftlich, 2548
  22. stimmt, 2340
  23. falsch, richtig ist 1254
  24. stimmt, 698
  25. 125
  26. 400
  27. 73
  28. 138
  29. 152
  30. 6 · 20 und 6 · 4, zusammen 144
  31. 66
  32. 233
  33. 441
  34. 26 Murmeln
  35. 66
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. gegensinnig verändern, 456
  38. stimmt, 240
  39. 33
  40. 50
  41. 34
  42. 50