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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 54 − 25 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (7 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 7 = 14
    2. 14 · 3 = 42
    Ergebnis:
    42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 6 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 9 = 54
    2. 12 + 54 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 12 + 24 + 18
122418
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 18 + 24
  2. 12 + 18 = 30
  3. 30 + 24 = 54
  1. Vertauschen: 12 + 18 + 24
  2. 12 + 18 = 30
  3. 30 + 24 = 54
Ergebnis:
54

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Emma rechnet 34 + 12 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34126
    So fängst du an:
    Vertauschen: 34 + 6 + 12
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 12
    2. 34 + 6 = 40
    3. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●2
    Lina rechnet 25 + 31 + 35 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    253135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 31
    2. 25 + 35 = 60
    3. 60 + 31 = 91
    Ergebnis:
    91
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 66 + 623 + 61 + 34 + 39 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    66623613439
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 66 + 34 + 61 + 39 + 623
    2. 66 + 34 = 100 und 61 + 39 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 623 = 823
    Ergebnis:
    823

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 45 = 100 + ___
9945
Schritt für Schritt
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 45 um 1 kleiner werden: 45 − 1 = 44
  3. 100 + 44 = 144
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 45 um 1 kleiner werden: 45 − 1 = 44
  3. 100 + 44 = 144
Ergebnis:
44

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ben rechnet 47 + 79 als 50 + 79. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    4779
    So fängst du an:
    Ben hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 79 = 129.
    3. 3 wieder abziehen: 129 − 3 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 28
    9928
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
    2. 99 + 28 = 100 + 27
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 998 + 674
    998674
    Lösung zeigen
    1. 998 bekommt 2 dazu, 674 gibt 2 ab.
    2. 998 + 674 = 1000 + 672
    3. 1000 + 672 = 1672
    Ergebnis:
    1672

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Hefte mit je 57 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 7 = 28
  4. 200 + 28 = 228
  1. 4 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 7 = 28
  4. 200 + 28 = 228
Ergebnis:
228 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●8
    Es gibt 3 Reihen mit je 62 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 2 = 6
    4. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 3 · 100 = 300 und 3 · 1 = 3
    3. 300 − 3 = 297
    Ergebnis:
    297

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 295 : 5
Schritt für Schritt
  1. 295 = 250 + 45
  2. 250 : 5 = 50 und 45 : 5 = 9
  3. 50 + 9 = 59
  1. 295 = 250 + 45
  2. 250 : 5 = 50 und 45 : 5 = 9
  3. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    225 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    225 : 9
    Lösung zeigen
    1. 225 : 9
    2. 225 = 180 + 45
    3. 180 : 9 = 20 und 45 : 9 = 5
    4. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Sticker
  2. ●11
    312 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 312 : 8
    2. 312 = 240 + 72
    3. 240 : 8 = 30 und 72 : 8 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 846 : 9
    Lösung zeigen
    1. 846 = 810 + 36
    2. 810 : 9 = 90 und 36 : 9 = 4
    3. 90 + 4 = 94
    Ergebnis:
    94

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 36 + 22 = 37 + ___
36 + 22=37 + ?
Schritt für Schritt
  1. 36 wird zu 37: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 1 kleiner.
  3. 22 − 1 = 21
  1. 36 wird zu 37: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 1 kleiner.
  3. 22 − 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 8 = 2 · ___
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 52 − 22 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 24: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 2 größer.
    3. 52 + 2 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 74 + 38 = 71 + ___
    74 + 38=71 + ?
    Lösung zeigen
    1. 74 wird zu 71: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 3 größer.
    3. 38 + 3 = 41
    Ergebnis:
    41

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 22 + 28 + 78? Nenne ihn und rechne.
22 + 28 + 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 22 + 78 = 100
  3. 100 + 28 = 128
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 22 + 78 = 100
  3. 100 + 28 = 128
Ergebnis:
vertauschen, 128

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 346 + 399? Nenne ihn und rechne.
    346 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 346 + 399 = 345 + 400
    3. 345 + 400 = 745
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 745
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 361 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 361 + 598 = 359 + 600
    3. 359 + 600 = 959
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 959
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 21 + 52 + 79? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 405 − 293 und erhält 112. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 112 + 293 = 405
  2. 405 ist genau 405: Es stimmt.
  3. 405 − 293 = 112
  1. Umkehraufgabe: 112 + 293 = 405
  2. 405 ist genau 405: Es stimmt.
  3. 405 − 293 = 112
Ergebnis:
stimmt, 112

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 694 − 420 und erhält 274. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 274 + 420 = 694
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 274 + 420 = 694
    2. 694 ist genau 694: Es stimmt.
    3. 694 − 420 = 274
    Ergebnis:
    stimmt, 274
  2. ●23
    Lea rechnet 336 : 8 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    336 : 8Ergebnis 42?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 42 · 8 = 336
    2. 336 ist genau 336: Es stimmt.
    3. 336 : 8 = 42
    Ergebnis:
    stimmt, 42
  3. ★24
    Ben erhält für 487 · 37 das Ergebnis 17.819. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 40 = 20.000
    2. 17.819 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 487 · 37 = 18.019
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 18.019

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 51 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    12518
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 51
    2. 12 + 8 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 51 = 71
    Ergebnis:
    71
  2. ●26
    Rechne geschickt: 13 · 2 · 5
    1325
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 13
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 54
    29754
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
    2. 297 + 54 = 300 + 51
    3. 300 + 51 = 351
    Ergebnis:
    351
  4. ●28
    Aylin rechnet 70 − 19 als 70 − 20 und erhält 50. Ist das schon das Ergebnis?
    70 − 1970 − 20
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    Nein, 51
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2063
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 6 = 18
    3. Zusammen: 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 12 + 52 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    125218
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 57
    29857
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    355

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 59 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    177 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 368 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 368 : 8?
    368: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 9 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 221 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 819

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 603 : 9 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    603 : 9Ergebnis 77?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 67

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 52
  2. 91
  3. 823
  4. 126
  5. 127
  6. 1672
  7. 69
  8. 186 Stühle
  9. 297
  10. 25 Sticker
  11. 39 Sticker
  12. 94
  13. 16
  14. 54
  15. 41
  16. 90
  17. 90
  18. 900
  19. gegensinnig verändern, 745
  20. gegensinnig verändern, 959
  21. vertauschen, 152
  22. stimmt, 274
  23. stimmt, 42
  24. falsch, richtig ist 18.019
  25. 71
  26. 130
  27. 351
  28. Nein, 51
  29. 174
  30. 78 Kästchen
  31. 82
  32. 355
  33. 177 Hefte
  34. 46
  35. 18
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. gegensinnig verändern, 819
  38. falsch, richtig ist 67
  39. 29
  40. 42
  41. 66
  42. 28