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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 7 + 18 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 3) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 3 = 8
    2. 8 · 6 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 62. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 48 + 54 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
64854
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 54 + 48
  2. 6 + 54 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 48 = 108
  1. Vertauschen: 6 + 54 + 48
  2. 6 + 54 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 48 = 108
Ergebnis:
108

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 25 + 21 + 75 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    252175
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 75 + 21
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 75 + 21
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 55 + 68 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    55685
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 5 + 68
    2. 55 + 5 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 68 = 128
    Ergebnis:
    128
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 762 + 13 + 89 + 87 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    11762138987
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 89 + 13 + 87 + 762
    2. 11 + 89 = 100 und 13 + 87 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 762 = 962
    Ergebnis:
    962

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 74 = 40 + ___
3774
Schritt für Schritt
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 74 um 3 kleiner werden: 74 − 3 = 71
  3. 40 + 71 = 111
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 74 um 3 kleiner werden: 74 − 3 = 71
  3. 40 + 71 = 111
Ergebnis:
71

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 48 + 86 als 50 + 86. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    4886
    So fängst du an:
    Lina hat 48 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 86 = 136.
    3. 2 wieder abziehen: 136 − 2 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 68 = 40 + ___
    3868
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 68 um 2 kleiner werden: 68 − 2 = 66
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    66
  3. ★6
    Can rechnet 1998 + 377 als 2000 + 377. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998377
    Lösung zeigen
    1. Can hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 377 = 2377.
    3. 2 wieder abziehen: 2377 − 2 = 2375
    Ergebnis:
    2375

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 67
    So fängst du an:
    67 = 60 + 7
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 7 = 35
    3. 300 + 35 = 335
    Ergebnis:
    335
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

205 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 205 : 5
  2. 205 = 200 + 5
  3. 200 : 5 = 40 und 5 : 5 = 1
  4. 40 + 1 = 41
  1. 205 : 5
  2. 205 = 200 + 5
  3. 200 : 5 = 40 und 5 : 5 = 1
  4. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 96 : 6
    So fängst du an:
    96 = 60 + 36
    Lösung zeigen
    1. 96 = 60 + 36
    2. 60 : 6 = 10 und 36 : 6 = 6
    3. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●11
    Zerlege 48 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 48 : 4?
    48: 4
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 40 : 4 = 10 und 8 : 4 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★12
    Zerlege 236 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 236 : 4?
    236: 4
    Lösung zeigen
    1. 236 = 200 + 36
    2. 200 : 4 = 50 und 36 : 4 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 13 = 8 · ___
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 16 · 9 = 8 · ___
    16 · 9=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 99 − 93 = ___ − 103
    Lösung zeigen
    1. 93 wird zu 103: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 10 größer.
    3. 99 + 10 = 109
    Ergebnis:
    109
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 + 14 = 10 + ___
    12 + 14=10 + ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 10: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
    3. 14 + 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 252 + 598? Nenne ihn und rechne.
252 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 252 + 598 = 250 + 600
  3. 250 + 600 = 850
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 252 + 598 = 250 + 600
  3. 250 + 600 = 850
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 850

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 181 + 299? Nenne ihn und rechne.
    181 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 181 + 299 = 180 + 300
    3. 180 + 300 = 480
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 480
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 341 + 299? Nenne ihn und rechne.
    341 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 341 + 299 = 340 + 300
    3. 340 + 300 = 640
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 640

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 50 · 49 das Ergebnis 2450. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
  2. 2450 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 50 · 49 = 2450
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
  2. 2450 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 50 · 49 = 2450
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2450

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 37 · 45 das Ergebnis 1665. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 50 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 50 = 2000
    2. 1665 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 37 · 45 = 1665
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1665
  2. ●23
    Elias erhält für 61 · 48 das Ergebnis 2728. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
    2. 2728 liegt zu weit weg. Genau: 61 · 48 = 2928
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2928
  3. ★24
    Tom rechnet 4577 − 3984 und erhält 593. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 593 + 3984 = 4577
    2. 4577 ist genau 4577: Es stimmt.
    3. 4577 − 3984 = 593
    Ergebnis:
    stimmt, 593

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Hanna rechnet 26 + 18 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    261834
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 34 + 18
    2. 26 + 34 = 60
    3. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 17 · 4
    25174
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 17
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 58 = 70 + ___
    6758
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 58 um 3 kleiner werden: 58 − 3 = 55
    3. 70 + 55 = 125
    Ergebnis:
    55
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 108 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 108 um 2 größer: 110.
    3. 110 − 50 = 60
    Ergebnis:
    110
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 15?
    1056
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 5 = 30
    3. 6 · 15 = 60 + 30 = 90
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 5, zusammen 90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 24 + 39 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    243926
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    89

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Zeynep rechnet 47 + 57 als 50 + 57. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    4757
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    104

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 38 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    266 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 495 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 11 = 4 · ___
    8 · 11=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 6 · 51? Nenne ihn und rechne.
    6 · 51zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 306

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 46 · 36 das Ergebnis 1556. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1656

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 121
  2. 128
  3. 962
  4. 134
  5. 66
  6. 2375
  7. 335
  8. 441
  9. 171
  10. 16
  11. 12
  12. 59
  13. 18
  14. 109
  15. 16
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. gegensinnig verändern, 480
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. gegensinnig verändern, 640
  22. stimmt, 1665
  23. falsch, richtig ist 2928
  24. stimmt, 593
  25. 78
  26. 1700
  27. 55
  28. 110
  29. 87
  30. 6 · 10 und 6 · 5, zusammen 90
  31. 89
  32. 104
  33. 266 Bonbons
  34. 55
  35. 22
  36. 210
  37. zerlegen, 306
  38. falsch, richtig ist 1656
  39. 25
  40. 48
  41. 16
  42. 41