Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 4 + 10 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (3 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 9 = 12
    2. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 12 + 9 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 22 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 3 + 44 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
34427
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 3 + 27 + 44
  2. 3 + 27 = 30
  3. 30 + 44 = 74
  1. Vertauschen: 3 + 27 + 44
  2. 3 + 27 = 30
  3. 30 + 44 = 74
Ergebnis:
74

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 44 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    224418
    So fängst du an:
    Vertauschen: 22 + 18 + 44
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 18 + 44
    2. 22 + 18 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 44 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●2
    Emma rechnet 19 + 69 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    196911
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 11 + 69
    2. 19 + 11 = 30
    3. 30 + 69 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★3
    Lea rechnet 57 + 542 + 143 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    57542143
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 143 + 542
    2. 57 + 143 = 200
    3. 200 + 542 = 742
    Ergebnis:
    742

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 48
19748
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
  2. 197 + 48 = 200 + 45
  3. 200 + 45 = 245
  1. 197 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
  2. 197 + 48 = 200 + 45
  3. 200 + 45 = 245
Ergebnis:
245

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 65 = 200 + ___
    19765
    So fängst du an:
    197 wird zu 200: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 65 um 3 kleiner werden: 65 − 3 = 62
    3. 200 + 62 = 262
    Ergebnis:
    62
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 75
    29775
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 75 gibt 3 ab.
    2. 297 + 75 = 300 + 72
    3. 300 + 72 = 372
    Ergebnis:
    372
  3. ★6
    Paul rechnet 698 + 975 als 700 + 975. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    698975
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 698 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 700 + 975 = 1675.
    3. 2 wieder abziehen: 1675 − 2 = 1673
    Ergebnis:
    1673

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 37
  2. 37 = 30 + 7
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
  4. 150 + 35 = 185
  1. 5 · 37
  2. 37 = 30 + 7
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
  4. 150 + 35 = 185
Ergebnis:
185 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

126 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 126 : 3
  2. 126 = 120 + 6
  3. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
  4. 40 + 2 = 42
  1. 126 : 3
  2. 126 = 120 + 6
  3. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
  4. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    414 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    414 : 6
    Lösung zeigen
    1. 414 : 6
    2. 414 = 360 + 54
    3. 360 : 6 = 60 und 54 : 6 = 9
    4. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Bücher
  2. ●11
    78 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 78 : 6
    2. 78 = 60 + 18
    3. 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
    4. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 208 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 208 : 4?
    208: 4
    Lösung zeigen
    1. 208 = 200 + 8
    2. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 + 56 = 60 + ___
Schritt für Schritt
  1. 61 wird zu 60: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 1 größer.
  3. 56 + 1 = 57
  1. 61 wird zu 60: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 1 größer.
  3. 56 + 1 = 57
Ergebnis:
57

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 + 86 = 76 + ___
    So fängst du an:
    66 wird zu 76: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 66 wird zu 76: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 10 kleiner.
    3. 86 − 10 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 39 + 39 = 49 + ___
    39 + 39=49 + ?
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 49: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 10 kleiner.
    3. 39 − 10 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 40 − 29 = ___ − 34
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 34: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 5 größer.
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 80? Nenne ihn und rechne.
7 · 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 560
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 560
Ergebnis:
zerlegen, 560

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 45? Nenne ihn und rechne.
    9 · 45zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
    3. Zusammen: 405
    Ergebnis:
    zerlegen, 405
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 45 + 73 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 73 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina erhält für 59 · 18 das Ergebnis 1262. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 1262 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 59 · 18 = 1062
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 1262 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 59 · 18 = 1062
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1062

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 159 : 3 und erhält 54. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    159 : 3Ergebnis 54?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 54 · 3 = 162
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 54 · 3 = 162
    2. 162 ist nicht 159: Es ist falsch.
    3. 159 : 3 = 53
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 53
  2. ●23
    Lea erhält für 42 · 27 das Ergebnis 1234. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 1234 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 42 · 27 = 1134
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1134
  3. ★24
    Mia rechnet 910 : 7 und erhält 131. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    910 : 7Ergebnis 131?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 131 · 7 = 917
    2. 917 ist nicht 910: Es ist falsch.
    3. 910 : 7 = 130
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 130

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zeynep rechnet 34 + 75 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34756
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 75
    2. 34 + 6 = 40
    3. 40 + 75 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 3 · 4
    2534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 35
    4735
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 35 gibt 3 ab.
    2. 47 + 35 = 50 + 32
    3. 50 + 32 = 82
    Ergebnis:
    82
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 144 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 144 um 2 größer: 146.
    3. 146 − 30 = 116
    Ergebnis:
    146
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  6. ●30
    Paul rechnet 4 · 27 so: erst 4 · 20, dann 7 dazu. Paul erhält 87. Zeige am Bild, was fehlt.
    2074
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 12 + 45 + 28
    124528
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 74
    29774
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    203

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    244 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 63 − 37 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 25 + 47 + 75? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 147

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul erhält für 35 · 26 das Ergebnis 710. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 910

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 84
  2. 99
  3. 742
  4. 62
  5. 372
  6. 1673
  7. 203
  8. 156
  9. 145
  10. 69 Bücher
  11. 13 Murmeln
  12. 52
  13. 76
  14. 29
  15. 45
  16. 210
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. zerlegen, 405
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. vertauschen, 173
  22. falsch, richtig ist 53
  23. falsch, richtig ist 1134
  24. falsch, richtig ist 130
  25. 115
  26. 300
  27. 82
  28. 146
  29. 117
  30. 108
  31. 85
  32. 371
  33. 203
  34. 61 Bücher
  35. 68
  36. 200
  37. vertauschen, 147
  38. falsch, richtig ist 910
  39. 14
  40. 24
  41. 21
  42. 52