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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 3 + 15 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 6 + 25 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 12 + 31
191231
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 12
  2. 19 + 31 = 50
  3. 50 + 12 = 62
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 12
  2. 19 + 31 = 50
  3. 50 + 12 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 85 + 29 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    118529
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 29 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 29 + 85
    2. 11 + 29 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 36 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    123618
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 36
    2. 12 + 18 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 36 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★3
    Lea rechnet 68 + 448 + 232 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    68448232
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 68 + 232 + 448
    2. 68 + 232 = 300
    3. 300 + 448 = 748
    Ergebnis:
    748

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 98 + 83 als 100 + 83. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
9883
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 83 = 183.
  3. 2 wieder abziehen: 183 − 2 = 181
  1. Lina hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 83 = 183.
  3. 2 wieder abziehen: 183 − 2 = 181
Ergebnis:
181

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Tom rechnet 39 + 89 als 40 + 89. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    3989
    So fängst du an:
    Tom hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 89 = 129.
    3. 1 wieder abziehen: 129 − 1 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 36
    19736
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 36 gibt 3 ab.
    2. 197 + 36 = 200 + 33
    3. 200 + 33 = 233
    Ergebnis:
    233
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 999 + 856
    999856
    Lösung zeigen
    1. 999 bekommt 1 dazu, 856 gibt 1 ab.
    2. 999 + 856 = 1000 + 855
    3. 1000 + 855 = 1855
    Ergebnis:
    1855

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  3. 120 − 6 = 114
  1. 19 = 20 − 1
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  3. 120 − 6 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 8 = 56
    3. 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 6 = 42
    3. 70 + 42 = 112
    Ergebnis:
    112

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

246 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 246 : 6
  2. 246 = 240 + 6
  3. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
  4. 40 + 1 = 41
  1. 246 : 6
  2. 246 = 240 + 6
  3. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
  4. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    256 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    256 : 8
    Lösung zeigen
    1. 256 : 8
    2. 256 = 240 + 16
    3. 240 : 8 = 30 und 16 : 8 = 2
    4. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 522 : 9
    Lösung zeigen
    1. 522 = 450 + 72
    2. 450 : 9 = 50 und 72 : 9 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    448 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 448 : 4
    2. 448 = 440 + 8
    3. 440 : 4 = 110 und 8 : 4 = 2
    4. 110 + 2 = 112
    Ergebnis:
    112 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 5 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 + 62 = 49 + ___
    48 + 62=49 + ?
    So fängst du an:
    48 wird zu 49: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 49: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 1 kleiner.
    3. 62 − 1 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 8 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 46 + 82 = 49 + ___
    46 + 82=49 + ?
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 49: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 82 um 3 kleiner.
    3. 82 − 3 = 79
    Ergebnis:
    79

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 231 + 198? Nenne ihn und rechne.
231 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 231 + 198 = 229 + 200
  3. 229 + 200 = 429
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 231 + 198 = 229 + 200
  3. 229 + 200 = 429
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 429

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 281 + 198? Nenne ihn und rechne.
    281 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 281 + 198 = 279 + 200
    3. 279 + 200 = 479
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 479
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 353 + 497? Nenne ihn und rechne.
    353 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 353 + 497 = 350 + 500
    3. 350 + 500 = 850
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 850

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 144 : 6 und erhält 25. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
144 : 6Ergebnis 25?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 25 · 6 = 150
  2. 150 ist nicht 144: Es ist falsch.
  3. 144 : 6 = 24
  1. Umkehraufgabe: 25 · 6 = 150
  2. 150 ist nicht 144: Es ist falsch.
  3. 144 : 6 = 24
Ergebnis:
falsch, richtig ist 24

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 540 : 6 und erhält 90. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    540 : 6Ergebnis 90?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 90 · 6 = 540
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 90 · 6 = 540
    2. 540 ist genau 540: Es stimmt.
    3. 540 : 6 = 90
    Ergebnis:
    stimmt, 90
  2. ●23
    Lina rechnet 943 − 490 und erhält 453. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 453 + 490 = 943
    2. 943 ist genau 943: Es stimmt.
    3. 943 − 490 = 453
    Ergebnis:
    stimmt, 453
  3. ★24
    Elias rechnet 1920 : 8 und erhält 240. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1920 : 8Ergebnis 240?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 240 · 8 = 1920
    2. 1920 ist genau 1920: Es stimmt.
    3. 1920 : 8 = 240
    Ergebnis:
    stimmt, 240

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 41 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    234117
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 17 + 41
    2. 23 + 17 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 11 · 5
    2115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 11
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 57
    19757
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 57 gibt 3 ab.
    2. 197 + 57 = 200 + 54
    3. 200 + 54 = 254
    Ergebnis:
    254
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 59 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 59 − 39 = 60 − 40
    3. 60 − 40 = 20
    Ergebnis:
    20
  5. ●29
    Es gibt 3 Tüten mit je 15 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 15
    2. 15 = 10 + 5
    3. 3 · 10 = 30 und 3 · 5 = 15
    4. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 15?
    1054
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 5 = 20
    3. 4 · 15 = 40 + 20 = 60
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 5, zusammen 60

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 24 + 27 + 6
    24276
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 58
    9958
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    157

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Reihen mit je 64 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    320 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    108 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 + 30 = 52 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 432 : 8 und erhält 54. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    432 : 8Ergebnis 54?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 54

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 125
  2. 66
  3. 748
  4. 128
  5. 233
  6. 1855
  7. 171
  8. 126
  9. 112
  10. 32 Murmeln
  11. 58
  12. 112 Murmeln
  13. 61
  14. 16
  15. 79
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 80
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. gegensinnig verändern, 479
  21. gegensinnig verändern, 850
  22. stimmt, 90
  23. stimmt, 453
  24. stimmt, 240
  25. 81
  26. 110
  27. 254
  28. 20
  29. 45 Bonbons
  30. 4 · 10 und 4 · 5, zusammen 60
  31. 57
  32. 157
  33. 320 Stühle
  34. 27 Sticker
  35. 27
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. stimmt, 54
  39. 18
  40. 40
  41. 31
  42. 12