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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 50 − 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 50 − 16 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (6 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 6 = 12
    2. 12 · 6 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 4 + 6 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 54. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 7 + 78 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
77853
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 78
  2. 7 + 53 = 60
  3. 60 + 78 = 138
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 78
  2. 7 + 53 = 60
  3. 60 + 78 = 138
Ergebnis:
138

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 4 + 19 + 26
    41926
    So fängst du an:
    Vertauschen: 4 + 26 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 19
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 19 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●2
    Ben rechnet 15 + 47 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    15475
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 47
    2. 15 + 5 = 20
    3. 20 + 47 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★3
    Ben rechnet 54 + 192 + 76 + 46 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    54192764624
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 46 + 76 + 24 + 192
    2. 54 + 46 = 100 und 76 + 24 = 100
    3. 100 + 100 + 192 = 392
    Ergebnis:
    392

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 99 + 74 als 100 + 74. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
9974
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 74 = 174.
  3. 1 wieder abziehen: 174 − 1 = 173
  1. Emma hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 74 = 174.
  3. 1 wieder abziehen: 174 − 1 = 173
Ergebnis:
173

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 97 + 65 als 100 + 65. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    9765
    So fängst du an:
    Zeynep hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 65 = 165.
    3. 3 wieder abziehen: 165 − 3 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 74 = 100 + ___
    9974
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 74 um 1 kleiner werden: 74 − 1 = 73
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    73
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 638 = 2000 + ___
    1999638
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 638 um 1 kleiner werden: 638 − 1 = 637
    3. 2000 + 637 = 2637
    Ergebnis:
    637

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 17
Schritt für Schritt
  1. 17 = 10 + 7
  2. 9 · 10 = 90 und 9 · 7 = 63
  3. 90 + 63 = 153
  1. 17 = 10 + 7
  2. 9 · 10 = 90 und 9 · 7 = 63
  3. 90 + 63 = 153
Ergebnis:
153

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 54
    Lösung zeigen
    1. 54 = 50 + 4
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    3. 350 + 28 = 378
    Ergebnis:
    378

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 105 : 3
Schritt für Schritt
  1. 105 = 90 + 15
  2. 90 : 3 = 30 und 15 : 3 = 5
  3. 30 + 5 = 35
  1. 105 = 90 + 15
  2. 90 : 3 = 30 und 15 : 3 = 5
  3. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    161 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    161 : 7
    Lösung zeigen
    1. 161 : 7
    2. 161 = 140 + 21
    3. 140 : 7 = 20 und 21 : 7 = 3
    4. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23 Murmeln
  2. ●11
    390 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 390 : 6
    2. 390 = 360 + 30
    3. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
    4. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 428 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 428 : 4?
    428: 4
    Lösung zeigen
    1. 428 = 400 + 28
    2. 400 : 4 = 100 und 28 : 4 = 7
    3. 100 + 7 = 107
    Ergebnis:
    107

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 54 − 12 = ___ − 17
Schritt für Schritt
  1. 12 wird zu 17: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
  3. 54 + 5 = 59
  1. 12 wird zu 17: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
  3. 54 + 5 = 59
Ergebnis:
59

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 89 + 68 = 91 + ___
    89 + 68=91 + ?
    So fängst du an:
    89 wird zu 91: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 89 wird zu 91: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 2 kleiner.
    3. 68 − 2 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 + 24 = 59 + ___
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 59: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 3 größer.
    3. 24 + 3 = 27
    Ergebnis:
    27
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 − 31 = ___ − 33
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 33: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 2 größer.
    3. 55 + 2 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Aylin verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Milan verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 42 + 32 + 58? Nenne ihn und rechne.
42 + 32 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 32 = 132
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 32 = 132
Ergebnis:
vertauschen, 132

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 4 · 78? Nenne ihn und rechne.
    4 · 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
    2. 4 · 70 = 280 und 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 312
    Ergebnis:
    zerlegen, 312
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 21 + 67 + 79? Nenne ihn und rechne.
    21 + 67 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 56? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 336
    Ergebnis:
    zerlegen, 336

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 135 : 5 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
135 : 5Ergebnis 27?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 27 · 5 = 135
  2. 135 ist genau 135: Es stimmt.
  3. 135 : 5 = 27
  1. Umkehraufgabe: 27 · 5 = 135
  2. 135 ist genau 135: Es stimmt.
  3. 135 : 5 = 27
Ergebnis:
stimmt, 27

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 547 − 175 und erhält 472. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 472 + 175 = 647
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 472 + 175 = 647
    2. 647 ist nicht 547: Es ist falsch.
    3. 547 − 175 = 372
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 372
  2. ●23
    Lina erhält für 68 · 30 das Ergebnis 1940. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
    2. 1940 liegt zu weit weg. Genau: 68 · 30 = 2040
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2040
  3. ★24
    Can erhält für 439 · 44 das Ergebnis 19.516. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 19.516 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 439 · 44 = 19.316
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 19.316

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 31 + 64 + 29 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    316429
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 29 + 64
    2. 31 + 29 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 64 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●26
    Rechne geschickt: 3 · 25 · 4
    3254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 24 = 100 + ___
    9724
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    21
  4. ●28
    Jonas rechnet 112 − 47 als 112 − 50 und erhält 62. Ist das schon das Ergebnis?
    112 − 47112 − 50
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 62 + 3 = 65
    Ergebnis:
    Nein, 65
  5. ●29
    Es gibt 4 Reihen mit je 43 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 4 · 40 = 160 und 4 · 3 = 12
    4. 160 + 12 = 172
    Ergebnis:
    172 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 26?
    2063
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 6 = 18
    3. 3 · 26 = 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 6, zusammen 78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 15 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    27153
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Milan rechnet 69 + 32 als 70 + 32. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    6932
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 162 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 − 42 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Can verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 31 + 32 + 69? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 132

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 210 : 7 und erhält 31. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    210 : 7Ergebnis 31?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 30

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 49
  2. 67
  3. 392
  4. 162
  5. 73
  6. 637
  7. 245
  8. 294
  9. 378
  10. 23 Murmeln
  11. 65 Bücher
  12. 107
  13. 66
  14. 27
  15. 57
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. zerlegen, 312
  20. vertauschen, 167
  21. zerlegen, 336
  22. falsch, richtig ist 372
  23. falsch, richtig ist 2040
  24. falsch, richtig ist 19.316
  25. 124
  26. 300
  27. 21
  28. Nein, 65
  29. 172 Stühle
  30. 3 · 20 und 3 · 6, zusammen 78
  31. 45
  32. 101
  33. 117
  34. 54
  35. 76
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. vertauschen, 132
  38. falsch, richtig ist 30
  39. 34
  40. 72
  41. 10
  42. 27