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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 8 + 6 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (6 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 3 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 11 + 45 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 3 + 34 + 27
33427
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 3 + 27 + 34
  2. 3 + 27 = 30
  3. 30 + 34 = 64
  1. Vertauschen: 3 + 27 + 34
  2. 3 + 27 = 30
  3. 30 + 34 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 81 + 67 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    816719
    So fängst du an:
    Vertauschen: 81 + 19 + 67
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 19 + 67
    2. 81 + 19 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    167
  2. ●2
    Sofia rechnet 34 + 13 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34136
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 13
    2. 34 + 6 = 40
    3. 40 + 13 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 153 + 551 + 147 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    153551147
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 153 + 147 + 551
    2. 153 + 147 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 551 = 851
    Ergebnis:
    851

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 97
9997
Schritt für Schritt
  1. 99 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
  2. 99 + 97 = 100 + 96
  3. 100 + 96 = 196
  1. 99 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
  2. 99 + 97 = 100 + 96
  3. 100 + 96 = 196
Ergebnis:
196

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 45
    29745
    So fängst du an:
    297 bekommt 3 dazu, 45 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 45 gibt 3 ab.
    2. 297 + 45 = 300 + 42
    3. 300 + 42 = 342
    Ergebnis:
    342
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 79 = 300 + ___
    29979
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 79 um 1 kleiner werden: 79 − 1 = 78
    3. 300 + 78 = 378
    Ergebnis:
    78
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 997 + 225
    997225
    Lösung zeigen
    1. 997 bekommt 3 dazu, 225 gibt 3 ab.
    2. 997 + 225 = 1000 + 222
    3. 1000 + 222 = 1222
    Ergebnis:
    1222

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 58
    So fängst du an:
    58 = 50 + 8
    Lösung zeigen
    1. 58 = 50 + 8
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 8 = 32
    3. 200 + 32 = 232
    Ergebnis:
    232
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 293
    Lösung zeigen
    1. 293 = 200 + 90 + 3
    2. 5 · 200 = 1000; 5 · 90 = 450; 5 · 3 = 15
    3. 1000 + 450 + 15 = 1465
    Ergebnis:
    1465

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 93 : 3
Schritt für Schritt
  1. 93 = 90 + 3
  2. 90 : 3 = 30 und 3 : 3 = 1
  3. 30 + 1 = 31
  1. 93 = 90 + 3
  2. 90 : 3 = 30 und 3 : 3 = 1
  3. 30 + 1 = 31
Ergebnis:
31

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    133 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    133 : 7
    Lösung zeigen
    1. 133 : 7
    2. 133 = 70 + 63
    3. 70 : 7 = 10 und 63 : 7 = 9
    4. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Murmeln
  2. ●11
    68 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 68 : 4
    2. 68 = 40 + 28
    3. 40 : 4 = 10 und 28 : 4 = 7
    4. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1000 : 8
    Lösung zeigen
    1. 1000 = 960 + 40
    2. 960 : 8 = 120 und 40 : 8 = 5
    3. 120 + 5 = 125
    Ergebnis:
    125

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 4 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 40 − 18 = ___ − 28
    So fängst du an:
    18 wird zu 28: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 28: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 10 größer.
    3. 40 + 10 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 45 − 26 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 45 um 2 größer.
    3. 45 + 2 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 7 · 69 + 7 · 2 = 7 · ___
    7 · 69 + 7 · 2=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 69 und 7 mal 2 sind zusammen 7 mal (69 + 2).
    3. 69 + 2 = 71
    Ergebnis:
    71

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 41? Nenne ihn und rechne.
    8 · 41zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. Zusammen: 328
    Ergebnis:
    zerlegen, 328
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 37 + 33 + 63? Nenne ihn und rechne.
    37 + 33 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    vertauschen, 133
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 48? Nenne ihn und rechne.
    8 · 48zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 48 = 40 + 8.
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 384
    Ergebnis:
    zerlegen, 384

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 322 : 7 und erhält 46. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
322 : 7Ergebnis 46?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 46 · 7 = 322
  2. 322 ist genau 322: Es stimmt.
  3. 322 : 7 = 46
  1. Umkehraufgabe: 46 · 7 = 322
  2. 322 ist genau 322: Es stimmt.
  3. 322 : 7 = 46
Ergebnis:
stimmt, 46

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul erhält für 45 · 49 das Ergebnis 2205. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 50 = 2500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
    2. 2205 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 45 · 49 = 2205
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2205
  2. ●23
    Milan rechnet 376 − 200 und erhält 196. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 196 + 200 = 396
    2. 396 ist nicht 376: Es ist falsch.
    3. 376 − 200 = 176
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 176
  3. ★24
    Noah rechnet 8548 − 7395 und erhält 1153. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1153 + 7395 = 8548
    2. 8548 ist genau 8548: Es stimmt.
    3. 8548 − 7395 = 1153
    Ergebnis:
    stimmt, 1153

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 15 + 67 + 85 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    156785
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 85 + 67
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    167
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 9 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 67 = 40 + ___
    3967
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 67 um 1 kleiner werden: 67 − 1 = 66
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    66
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 51 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 1 größer: 52.
    3. 52 − 40 = 12
    Ergebnis:
    52
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
    3. 80 + 40 = 120
    Ergebnis:
    120
  6. ●30
    Mia rechnet 7 · 19 so: erst 7 · 10, dann 9 dazu. Mia erhält 79. Zeige am Bild, was fehlt.
    1097
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 9 Kästchen, nicht nur 9.
    2. Rechter Teil: 7 · 9 = 63
    3. 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    133

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 32 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    15325
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 37 + 26 als 40 + 26. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3726
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    342 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 22 + 39 = 19 + ___
    22 + 39=19 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina erhält für 70 · 44 das Ergebnis 2880. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3080

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 167
  2. 53
  3. 851
  4. 342
  5. 78
  6. 1222
  7. 232
  8. 245
  9. 1465
  10. 19 Murmeln
  11. 17 Bücher
  12. 125
  13. 50
  14. 47
  15. 71
  16. 400
  17. 180
  18. 800
  19. zerlegen, 328
  20. vertauschen, 133
  21. zerlegen, 384
  22. stimmt, 2205
  23. falsch, richtig ist 176
  24. stimmt, 1153
  25. 167
  26. 90
  27. 66
  28. 52
  29. 120
  30. 133
  31. 52
  32. 63
  33. 68
  34. 57 Bücher
  35. 42
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 3080
  39. 14
  40. 45
  41. 56
  42. 38