Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 34 − 24 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (9 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 3 = 12
    2. 12 · 8 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 7 + 28 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 64. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 31 + 11 + 9
31119
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 31 + 9 + 11
  2. 31 + 9 = 40
  3. 40 + 11 = 51
  1. Vertauschen: 31 + 9 + 11
  2. 31 + 9 = 40
  3. 40 + 11 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 41 + 37 + 59 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    413759
    So fängst du an:
    Vertauschen: 41 + 59 + 37
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 59 + 37
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    137
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 12 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    251235
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 12
    2. 25 + 35 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★3
    Lina rechnet 91 + 254 + 66 + 209 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    912546620934
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 209 + 66 + 34 + 254
    2. 91 + 209 = 300 und 66 + 34 = 100
    3. 300 + 100 + 254 = 654
    Ergebnis:
    654

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 29 = 40 + ___
3929
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 29 um 1 kleiner werden: 29 − 1 = 28
  3. 40 + 28 = 68
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 29 um 1 kleiner werden: 29 − 1 = 28
  3. 40 + 28 = 68
Ergebnis:
28

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 56 = 100 + ___
    9756
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 56 um 3 kleiner werden: 56 − 3 = 53
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    53
  2. ●5
    Hanna rechnet 47 + 97 als 50 + 97. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    4797
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 97 = 147.
    3. 3 wieder abziehen: 147 − 3 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 325 = 400 + ___
    398325
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 325 um 2 kleiner werden: 325 − 2 = 323
    3. 400 + 323 = 723
    Ergebnis:
    323

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Tüten mit je 48 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 4 · 40 = 160 und 4 · 8 = 32
  4. 160 + 32 = 192
  1. 4 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 4 · 40 = 160 und 4 · 8 = 32
  4. 160 + 32 = 192
Ergebnis:
192 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 19 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 9 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 9 = 81
    4. 90 + 81 = 171
    Ergebnis:
    171 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 33
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 3 = 21
    3. 210 + 21 = 231
    Ergebnis:
    231
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 41
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 + 7 = 287
    Ergebnis:
    287

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 198 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 198 : 9?
198: 9
Schritt für Schritt
  1. 198 = 180 + 18
  2. 180 : 9 = 20 und 18 : 9 = 2
  3. 20 + 2 = 22
  1. 198 = 180 + 18
  2. 180 : 9 = 20 und 18 : 9 = 2
  3. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    176 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    176 : 8
    Lösung zeigen
    1. 176 : 8
    2. 176 = 160 + 16
    3. 160 : 8 = 20 und 16 : 8 = 2
    4. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 72 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 72 : 6?
    72: 6
    Lösung zeigen
    1. 72 = 60 + 12
    2. 60 : 6 = 10 und 12 : 6 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★12
    1316 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1316 : 7
    2. 1316 = 1260 + 56
    3. 1260 : 7 = 180 und 56 : 7 = 8
    4. 180 + 8 = 188
    Ergebnis:
    188 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 9 = 2 · ___
4 · 9=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 4 = 9 · ___
    18 · 4=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 5 = 2 · ___
    4 · 5=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 68 + 8 · 9 = 8 · ___
    8 · 68 + 8 · 9=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 68 und 8 mal 9 sind zusammen 8 mal (68 + 9).
    3. 68 + 9 = 77
    Ergebnis:
    77

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 161 + 299? Nenne ihn und rechne.
161 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 161 + 299 = 160 + 300
  3. 160 + 300 = 460
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 161 + 299 = 160 + 300
  3. 160 + 300 = 460
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 460

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 289 + 198? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 289 + 198 = 287 + 200
    3. 287 + 200 = 487
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 487
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 77? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 385
    Ergebnis:
    zerlegen, 385
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 60? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 0 = 0
    3. Zusammen: 420
    Ergebnis:
    zerlegen, 420

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 292 : 4 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
292 : 4Ergebnis 75?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 75 · 4 = 300
  2. 300 ist nicht 292: Es ist falsch.
  3. 292 : 4 = 73
  1. Umkehraufgabe: 75 · 4 = 300
  2. 300 ist nicht 292: Es ist falsch.
  3. 292 : 4 = 73
Ergebnis:
falsch, richtig ist 73

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 668 − 163 und erhält 605. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 605 + 163 = 768
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 605 + 163 = 768
    2. 768 ist nicht 668: Es ist falsch.
    3. 668 − 163 = 505
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 505
  2. ●23
    Aylin rechnet 210 : 5 und erhält 41. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    210 : 5Ergebnis 41?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 41 · 5 = 205
    2. 205 ist nicht 210: Es ist falsch.
    3. 210 : 5 = 42
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42
  3. ★24
    Noah rechnet 3025 − 983 und erhält 2142. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2142 + 983 = 3125
    2. 3125 ist nicht 3025: Es ist falsch.
    3. 3025 − 983 = 2042
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2042

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Can rechnet 4 + 87 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    48716
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 87
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 87 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 46 = 300 + ___
    29846
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 46 um 2 kleiner werden: 46 − 2 = 44
    3. 300 + 44 = 344
    Ergebnis:
    44
  4. ●28
    Zeynep rechnet 152 − 49 als 152 − 50 und erhält 102. Ist das schon das Ergebnis?
    152 − 49152 − 50
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 102 + 1 = 103
    Ergebnis:
    Nein, 103
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 56
    Lösung zeigen
    1. 56 = 50 + 6
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
    3. 250 + 30 = 280
    Ergebnis:
    280
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2024
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 2 = 8
    3. Zusammen: 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 54 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    435417
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 65
    4765
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    448 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 235 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 235 : 5?
    235: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 + 63 = 89 + ___
    79 + 63=89 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 87? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 522

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 887 − 816 und erhält 171. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 71

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 137
  2. 72
  3. 654
  4. 53
  5. 144
  6. 323
  7. 171 Bonbons
  8. 231
  9. 287
  10. 22 Sticker
  11. 12
  12. 188 Bücher
  13. 8
  14. 10
  15. 77
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 180
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 487
  20. zerlegen, 385
  21. zerlegen, 420
  22. falsch, richtig ist 505
  23. falsch, richtig ist 42
  24. falsch, richtig ist 2042
  25. 107
  26. 1700 Bälle
  27. 44
  28. Nein, 103
  29. 280
  30. 88 Kästchen
  31. 114
  32. 112
  33. 448 Stühle
  34. 47
  35. 53
  36. 70
  37. zerlegen, 522
  38. falsch, richtig ist 71
  39. 10
  40. 96
  41. 35
  42. 59