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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 9 + 8 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 6 = 78
    Ergebnis:
    78

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 6 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 7 = 42
    2. 11 + 42 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 35 und erhalte 47. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 14 + 84 + 6
14846
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 84
  2. 14 + 6 = 20
  3. 20 + 84 = 104
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 84
  2. 14 + 6 = 20
  3. 20 + 84 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 7 + 56 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    75633
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 33 + 56
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 56
    2. 7 + 33 = 40
    3. 40 + 56 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 37 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    34376
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 37
    2. 34 + 6 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 37 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★3
    Rechne geschickt: 146 + 767 + 54
    14676754
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 146 + 54 + 767
    2. 146 + 54 = 200
    3. 200 + 767 = 967
    Ergebnis:
    967

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 97 = 50 + ___
4797
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 97 um 3 kleiner werden: 97 − 3 = 94
  3. 50 + 94 = 144
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 97 um 3 kleiner werden: 97 − 3 = 94
  3. 50 + 94 = 144
Ergebnis:
94

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 48
    19748
    So fängst du an:
    197 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
    2. 197 + 48 = 200 + 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●5
    Jonas rechnet 48 + 27 als 50 + 27. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    4827
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 27 = 77.
    3. 2 wieder abziehen: 77 − 2 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 399 + 694 = 400 + ___
    399694
    Lösung zeigen
    1. 399 wird zu 400: 1 mehr.
    2. Also muss 694 um 1 kleiner werden: 694 − 1 = 693
    3. 400 + 693 = 1093
    Ergebnis:
    693

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Hefte mit je 29 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 9 = 54
  4. 120 + 54 = 174
  1. 6 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 9 = 54
  4. 120 + 54 = 174
Ergebnis:
174 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 14
    So fängst du an:
    14 = 10 + 4
    Lösung zeigen
    1. 14 = 10 + 4
    2. 5 · 10 = 50 und 5 · 4 = 20
    3. 50 + 20 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 136 : 4
Schritt für Schritt
  1. 136 = 120 + 16
  2. 120 : 4 = 30 und 16 : 4 = 4
  3. 30 + 4 = 34
  1. 136 = 120 + 16
  2. 120 : 4 = 30 und 16 : 4 = 4
  3. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 333 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 333 : 9?
    333: 9
    So fängst du an:
    333 = 270 + 63
    Lösung zeigen
    1. 333 = 270 + 63
    2. 270 : 9 = 30 und 63 : 9 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●11
    360 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 360 : 8
    2. 360 = 320 + 40
    3. 320 : 8 = 40 und 40 : 8 = 5
    4. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 246 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 246 : 3?
    246: 3
    Lösung zeigen
    1. 246 = 240 + 6
    2. 240 : 3 = 80 und 6 : 3 = 2
    3. 80 + 2 = 82
    Ergebnis:
    82

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 15 = 9 · ___
18 · 15=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 46 − 40 = ___ − 50
    So fängst du an:
    40 wird zu 50: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 50: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 10 größer.
    3. 46 + 10 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 44 − 33 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 38: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 5 größer.
    3. 44 + 5 = 49
    Ergebnis:
    49
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 − 27 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 32: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
    3. 54 + 5 = 59
    Ergebnis:
    59

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 21 + 26 + 79? Nenne ihn und rechne.
    21 + 26 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    vertauschen, 126
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 57 + 81? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    vertauschen, 157

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 906 − 190 und erhält 716. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 716 + 190 = 906
  2. 906 ist genau 906: Es stimmt.
  3. 906 − 190 = 716
  1. Umkehraufgabe: 716 + 190 = 906
  2. 906 ist genau 906: Es stimmt.
  3. 906 − 190 = 716
Ergebnis:
stimmt, 716

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 396 : 6 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    396 : 6Ergebnis 76?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 76 · 6 = 456
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 76 · 6 = 456
    2. 456 ist nicht 396: Es ist falsch.
    3. 396 : 6 = 66
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 66
  2. ●23
    Aylin rechnet 425 : 5 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    425 : 5Ergebnis 86?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 86 · 5 = 430
    2. 430 ist nicht 425: Es ist falsch.
    3. 425 : 5 = 85
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 85
  3. ★24
    Sofia rechnet 1224 : 9 und erhält 136. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1224 : 9Ergebnis 136?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 136 · 9 = 1224
    2. 1224 ist genau 1224: Es stimmt.
    3. 1224 : 9 = 136
    Ergebnis:
    stimmt, 136

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 25 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    192521
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 21 + 25
    2. 19 + 21 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 2 · 50 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    4250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Zeynep rechnet 48 + 56 als 50 + 56. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    4856
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 56 = 106.
    3. 2 wieder abziehen: 106 − 2 = 104
    Ergebnis:
    104
  4. ●28
    Paul rechnet 89 − 47 als 89 − 50 und erhält 39. Ist das schon das Ergebnis?
    89 − 4789 − 50
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 39 + 3 = 42
    Ergebnis:
    Nein, 42
  5. ●29
    Es gibt 8 Reihen mit je 19 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 8 · 10 = 80 und 8 · 9 = 72
    4. 80 + 72 = 152
    Ergebnis:
    152 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1087
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 8 = 56
    3. Zusammen: 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    126 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lina rechnet 15 + 28 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    152815
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 38 = 40 + ___
    3838
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    155 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    256 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 13 = 9 · ___
    18 · 13=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 444 : 6 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    444 : 6Ergebnis 76?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 74

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 96
  2. 77
  3. 967
  4. 245
  5. 75
  6. 693
  7. 70
  8. 245
  9. 295
  10. 37
  11. 45 Bücher
  12. 82
  13. 56
  14. 49
  15. 59
  16. 400
  17. 90
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. vertauschen, 126
  21. vertauschen, 157
  22. falsch, richtig ist 66
  23. falsch, richtig ist 85
  24. stimmt, 136
  25. 65
  26. 400
  27. 104
  28. Nein, 42
  29. 152 Stühle
  30. 126 Kästchen
  31. 58
  32. 36
  33. 155 Bonbons
  34. 32 Sticker
  35. 26
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 74
  39. 17
  40. 78
  41. 53
  42. 12