Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 47 − 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 47 − 12 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 4 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 6 + 36 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 37. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 29 + 67 + 11
296711
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 11 + 67
  2. 29 + 11 = 40
  3. 40 + 67 = 107
  1. Vertauschen: 29 + 11 + 67
  2. 29 + 11 = 40
  3. 40 + 67 = 107
Ergebnis:
107

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 44 + 82 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    448216
    So fängst du an:
    Vertauschen: 44 + 16 + 82
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 16 + 82
    2. 44 + 16 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 82 = 142
    Ergebnis:
    142
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 49 + 54 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    64954
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 54 + 49
    2. 6 + 54 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 49 = 109
    Ergebnis:
    109
  3. ★3
    Rechne geschickt: 627 + 545 + 373
    627545373
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 627 + 373 + 545
    2. 627 + 373 = 1000
    3. 1000 + 545 = 1545
    Ergebnis:
    1545

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 74
3974
Schritt für Schritt
  1. 39 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
  2. 39 + 74 = 40 + 73
  3. 40 + 73 = 113
  1. 39 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
  2. 39 + 74 = 40 + 73
  3. 40 + 73 = 113
Ergebnis:
113

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 96 = 50 + ___
    4896
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 96 um 2 kleiner werden: 96 − 2 = 94
    3. 50 + 94 = 144
    Ergebnis:
    94
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 83 = 70 + ___
    6883
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 83 um 2 kleiner werden: 83 − 2 = 81
    3. 70 + 81 = 151
    Ergebnis:
    81
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 699 + 649 = 700 + ___
    699649
    Lösung zeigen
    1. 699 wird zu 700: 1 mehr.
    2. Also muss 649 um 1 kleiner werden: 649 − 1 = 648
    3. 700 + 648 = 1348
    Ergebnis:
    648

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 56
  2. 56 = 50 + 6
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
  4. 200 + 24 = 224
  1. 4 · 56
  2. 56 = 50 + 6
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
  4. 200 + 24 = 224
Ergebnis:
224 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Hefte mit je 14 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 14
    Lösung zeigen
    1. 6 · 14
    2. 14 = 10 + 4
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 4 = 24
    4. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 53
    Lösung zeigen
    1. 53 = 50 + 3
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 3 = 12
    3. 200 + 12 = 212
    Ergebnis:
    212

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 207 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 207 : 3?
207: 3
Schritt für Schritt
  1. 207 = 180 + 27
  2. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 207 = 180 + 27
  2. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 110 : 5
    So fängst du an:
    110 = 100 + 10
    Lösung zeigen
    1. 110 = 100 + 10
    2. 100 : 5 = 20 und 10 : 5 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 504 : 9
    Lösung zeigen
    1. 504 = 450 + 54
    2. 450 : 9 = 50 und 54 : 9 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★12
    860 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 860 : 5
    2. 860 = 850 + 10
    3. 850 : 5 = 170 und 10 : 5 = 2
    4. 170 + 2 = 172
    Ergebnis:
    172 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 83 + 63 = 80 + ___
83 + 63=80 + ?
Schritt für Schritt
  1. 83 wird zu 80: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 3 größer.
  3. 63 + 3 = 66
  1. 83 wird zu 80: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 3 größer.
  3. 63 + 3 = 66
Ergebnis:
66

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 75 − 14 = ___ − 15
    So fängst du an:
    14 wird zu 15: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 15: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 75 um 1 größer.
    3. 75 + 1 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 + 28 = 52 + ___
    49 + 28=52 + ?
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 52: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 3 kleiner.
    3. 28 − 3 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 18 · 7 = 9 · ___
    18 · 7=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 220 + 598? Nenne ihn und rechne.
220 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 220 + 598 = 218 + 600
  3. 218 + 600 = 818
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 220 + 598 = 218 + 600
  3. 218 + 600 = 818
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 818

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 38 + 33 + 62? Nenne ihn und rechne.
    38 + 33 + 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 38 + 62 = 100
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    vertauschen, 133
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 68? Nenne ihn und rechne.
    8 · 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 544
    Ergebnis:
    zerlegen, 544
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 102 : 3 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
102 : 3Ergebnis 44?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 44 · 3 = 132
  2. 132 ist nicht 102: Es ist falsch.
  3. 102 : 3 = 34
  1. Umkehraufgabe: 44 · 3 = 132
  2. 132 ist nicht 102: Es ist falsch.
  3. 102 : 3 = 34
Ergebnis:
falsch, richtig ist 34

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas erhält für 38 · 44 das Ergebnis 1872. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 40 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1872 liegt zu weit weg. Genau: 38 · 44 = 1672
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1672
  2. ●23
    Milan rechnet 512 : 8 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    512 : 8Ergebnis 63?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 63 · 8 = 504
    2. 504 ist nicht 512: Es ist falsch.
    3. 512 : 8 = 64
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64
  3. ★24
    Can rechnet 9137 − 5620 und erhält 3517. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3517 + 5620 = 9137
    2. 9137 ist genau 9137: Es stimmt.
    3. 9137 − 5620 = 3517
    Ergebnis:
    stimmt, 3517

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 9 + 78 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    97841
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 41 + 78
    2. 9 + 41 = 50
    3. 50 + 78 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen15 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 15
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500 Bälle
  3. ●27
    Emma rechnet 47 + 74 als 50 + 74. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    4774
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 74 = 124.
    3. 3 wieder abziehen: 124 − 3 = 121
    Ergebnis:
    121
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 219 − 199 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 219 um 1 größer: 220.
    3. 220 − 200 = 20
    Ergebnis:
    220
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 6 = 18
    3. 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    48
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 17?
    1075
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 7 = 35
    3. 5 · 17 = 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 7, zusammen 85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 6 + 81 + 44 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    68144
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 54 = 300 + ___
    29954
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    195

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 108 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 108 : 6?
    108: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 + 16 = 20 + ___
    18 + 16=20 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 9 · 41? Nenne ihn und rechne.
    9 · 41zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 369

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 855 : 9 und erhält 105. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    855 : 9Ergebnis 105?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 142
  2. 109
  3. 1545
  4. 94
  5. 81
  6. 648
  7. 84 Hefte
  8. 133
  9. 212
  10. 22
  11. 56
  12. 172 Murmeln
  13. 76
  14. 25
  15. 14
  16. 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 810
  19. vertauschen, 133
  20. zerlegen, 544
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. falsch, richtig ist 1672
  23. falsch, richtig ist 64
  24. stimmt, 3517
  25. 128
  26. 1500 Bälle
  27. 121
  28. 220
  29. 48
  30. 5 · 10 und 5 · 7, zusammen 85
  31. 131
  32. 53
  33. 195
  34. 18
  35. 14
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. zerlegen, 369
  38. falsch, richtig ist 95
  39. 35
  40. 32
  41. 42
  42. 32