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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 80 − 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 80 − 40 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●40
    Rechne: (7 + 4) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 4 = 11
    2. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 3 + 24 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 18 + 11 + 32 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
181132
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 18 + 32 + 11
  2. 18 + 32 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 11 = 61
  1. Vertauschen: 18 + 32 + 11
  2. 18 + 32 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 11 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 14 + 59 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14596
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 59
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 59
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 59 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●2
    Elias rechnet 91 + 16 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    91169
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 16
    2. 91 + 9 = 100
    3. 100 + 16 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Rechne geschickt: 763 + 561 + 237
    763561237
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 763 + 237 + 561
    2. 763 + 237 = 1000
    3. 1000 + 561 = 1561
    Ergebnis:
    1561

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 67 = 300 + ___
29867
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 67 um 2 kleiner werden: 67 − 2 = 65
  3. 300 + 65 = 365
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 67 um 2 kleiner werden: 67 − 2 = 65
  3. 300 + 65 = 365
Ergebnis:
65

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 49 + 84 als 50 + 84. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4984
    So fängst du an:
    Can hat 49 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 84 = 134.
    3. 1 wieder abziehen: 134 − 1 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 25
    9825
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 25 gibt 2 ab.
    2. 98 + 25 = 100 + 23
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 399 + 489 = 400 + ___
    399489
    Lösung zeigen
    1. 399 wird zu 400: 1 mehr.
    2. Also muss 489 um 1 kleiner werden: 489 − 1 = 488
    3. 400 + 488 = 888
    Ergebnis:
    488

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 43
    Lösung zeigen
    1. 6 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 3 = 18
    4. 240 + 18 = 258
    Ergebnis:
    258 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Es gibt 7 Reihen mit je 87 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 87
    2. 87 = 80 + 7
    3. 7 · 80 = 560 und 7 · 7 = 49
    4. 560 + 49 = 609
    Ergebnis:
    609 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 105 : 5
Schritt für Schritt
  1. 105 = 100 + 5
  2. 100 : 5 = 20 und 5 : 5 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 105 = 100 + 5
  2. 100 : 5 = 20 und 5 : 5 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 296 : 8
    So fängst du an:
    296 = 240 + 56
    Lösung zeigen
    1. 296 = 240 + 56
    2. 240 : 8 = 30 und 56 : 8 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●11
    287 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 287 : 7
    2. 287 = 280 + 7
    3. 280 : 7 = 40 und 7 : 7 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Murmeln
  3. ★12
    426 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 426 : 3
    2. 426 = 420 + 6
    3. 420 : 3 = 140 und 6 : 3 = 2
    4. 140 + 2 = 142
    Ergebnis:
    142 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 39 + 89 = 42 + ___
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 42: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 3 kleiner.
  3. 89 − 3 = 86
  1. 39 wird zu 42: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 3 kleiner.
  3. 89 − 3 = 86
Ergebnis:
86

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 15 = 6 · ___
    12 · 15=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 8 = 9 · ___
    18 · 8=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 60 − 45 = ___ − 47
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 2 größer.
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 37? Nenne ihn und rechne.
    7 · 37zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
    3. Zusammen: 259
    Ergebnis:
    zerlegen, 259
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 281 + 497? Nenne ihn und rechne.
    281 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 281 + 497 = 278 + 500
    3. 278 + 500 = 778
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 778

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 672 : 7 und erhält 95. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
672 : 7Ergebnis 95?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 95 · 7 = 665
  2. 665 ist nicht 672: Es ist falsch.
  3. 672 : 7 = 96
  1. Umkehraufgabe: 95 · 7 = 665
  2. 665 ist nicht 672: Es ist falsch.
  3. 672 : 7 = 96
Ergebnis:
falsch, richtig ist 96

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 112 : 4 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    112 : 4Ergebnis 28?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 28 · 4 = 112
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 28 · 4 = 112
    2. 112 ist genau 112: Es stimmt.
    3. 112 : 4 = 28
    Ergebnis:
    stimmt, 28
  2. ●23
    Jonas erhält für 65 · 35 das Ergebnis 2075. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 2075 liegt zu weit weg. Genau: 65 · 35 = 2275
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2275
  3. ★24
    Sofia erhält für 236 · 47 das Ergebnis 11.292. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
    2. 11.292 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 236 · 47 = 11.092
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 11.092

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 4 + 78 + 36
    47836
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 78
    2. 4 + 36 = 40
    3. 40 + 78 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 2 · 50
    5250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 5
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 43 = 100 + ___
    9843
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 43 um 2 kleiner werden: 43 − 2 = 41
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    41
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 90 − 47
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 90 − 47 = 93 − 50
    3. 93 − 50 = 43
    Ergebnis:
    43
  5. ●29
    Es gibt 3 Tüten mit je 28 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 28
    2. 28 = 20 + 8
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 8 = 24
    4. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Bonbons
  6. ●30
    Milan rechnet 6 · 12 so: erst 6 · 10, dann 2 dazu. Milan erhält 62. Zeige am Bild, was fehlt.
    1026
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 6 · 2 = 12
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 75 + 68 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    327568
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    175

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 57 = 50 + ___
    4957
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    408

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 144 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 51 = ___ − 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 35 + 75 + 65? Nenne ihn und rechne.
    35 + 75 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 175

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 140 : 4 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    140 : 4Ergebnis 35?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 35

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 79
  2. 116
  3. 1561
  4. 133
  5. 123
  6. 488
  7. 258 Bonbons
  8. 245
  9. 609 Stühle
  10. 37
  11. 41 Murmeln
  12. 142 Sticker
  13. 30
  14. 16
  15. 62
  16. 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 330
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 259
  21. gegensinnig verändern, 778
  22. stimmt, 28
  23. falsch, richtig ist 2275
  24. falsch, richtig ist 11.092
  25. 118
  26. 500
  27. 41
  28. 43
  29. 84 Bonbons
  30. 72
  31. 175
  32. 56
  33. 408
  34. 36
  35. 71
  36. 80
  37. vertauschen, 175
  38. stimmt, 35
  39. 40
  40. 22
  41. 27
  42. 36