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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 55 − 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 55 − 20 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (6 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 5 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 23 + 33 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
23337
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 23 + 7 + 33
  2. 23 + 7 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 33 = 63
  1. Vertauschen: 23 + 7 + 33
  2. 23 + 7 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 33 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 25 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    37253
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 3 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 25
    2. 37 + 3 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●2
    Rechne geschickt: 8 + 36 + 42
    83642
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 42 + 36
    2. 8 + 42 = 50
    3. 50 + 36 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 65 + 521 + 79 + 135 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    655217913521
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 65 + 135 + 79 + 21 + 521
    2. 65 + 135 = 200 und 79 + 21 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 521 = 821
    Ergebnis:
    821

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 59
29859
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
  2. 298 + 59 = 300 + 57
  3. 300 + 57 = 357
  1. 298 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
  2. 298 + 59 = 300 + 57
  3. 300 + 57 = 357
Ergebnis:
357

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 98 + 49 als 100 + 49. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9849
    So fängst du an:
    Noah hat 98 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 49 = 149.
    3. 2 wieder abziehen: 149 − 2 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●5
    Paul rechnet 198 + 73 als 200 + 73. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    19873
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 73 = 273.
    3. 2 wieder abziehen: 273 − 2 = 271
    Ergebnis:
    271
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 699 + 688
    699688
    Lösung zeigen
    1. 699 bekommt 1 dazu, 688 gibt 1 ab.
    2. 699 + 688 = 700 + 687
    3. 700 + 687 = 1387
    Ergebnis:
    1387

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 25
Schritt für Schritt
  1. 25 = 20 + 5
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 5 = 20
  3. 80 + 20 = 100
  1. 25 = 20 + 5
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 5 = 20
  3. 80 + 20 = 100
Ergebnis:
100

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 68
    So fängst du an:
    68 = 60 + 8
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 8 = 48
    3. 360 + 48 = 408
    Ergebnis:
    408
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 225 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 225 : 9?
225: 9
Schritt für Schritt
  1. 225 = 180 + 45
  2. 180 : 9 = 20 und 45 : 9 = 5
  3. 20 + 5 = 25
  1. 225 = 180 + 45
  2. 180 : 9 = 20 und 45 : 9 = 5
  3. 20 + 5 = 25
Ergebnis:
25

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 252 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 252 : 7?
    252: 7
    So fängst du an:
    252 = 210 + 42
    Lösung zeigen
    1. 252 = 210 + 42
    2. 210 : 7 = 30 und 42 : 7 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●11
    Zerlege 180 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 180 : 4?
    180: 4
    Lösung zeigen
    1. 180 = 160 + 20
    2. 160 : 4 = 40 und 20 : 4 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★12
    Zerlege 162 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 162 : 3?
    162: 3
    Lösung zeigen
    1. 162 = 150 + 12
    2. 150 : 3 = 50 und 12 : 3 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 11 = 9 · ___
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 57 − 52 = ___ − 57
    So fängst du an:
    52 wird zu 57: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 52 wird zu 57: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 5 größer.
    3. 57 + 5 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 67 + 86 = 77 + ___
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 77: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 10 kleiner.
    3. 86 − 10 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 51 − 43 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 45: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 2 größer.
    3. 51 + 2 = 53
    Ergebnis:
    53

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 66? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 66 = 60 + 6.
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 6 = 54
  3. Zusammen: 594
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 66 = 60 + 6.
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 6 = 54
  3. Zusammen: 594
Ergebnis:
zerlegen, 594

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 49? Nenne ihn und rechne.
    9 · 49zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 441
    Ergebnis:
    zerlegen, 441
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 362 + 497? Nenne ihn und rechne.
    362 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 362 + 497 = 359 + 500
    3. 359 + 500 = 859
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 859
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4909 − 1674? Nenne ihn und rechne.
    4909 − 1674zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 4909 − 1674 = 3235
    Ergebnis:
    schriftlich, 3235

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 901 − 512 und erhält 379. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 379 + 512 = 891
  2. 891 ist nicht 901: Es ist falsch.
  3. 901 − 512 = 389
  1. Umkehraufgabe: 379 + 512 = 891
  2. 891 ist nicht 901: Es ist falsch.
  3. 901 − 512 = 389
Ergebnis:
falsch, richtig ist 389

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 108 : 4 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    108 : 4Ergebnis 28?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 28 · 4 = 112
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 28 · 4 = 112
    2. 112 ist nicht 108: Es ist falsch.
    3. 108 : 4 = 27
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 27
  2. ●23
    Noah rechnet 513 : 9 und erhält 67. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    513 : 9Ergebnis 67?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 67 · 9 = 603
    2. 603 ist nicht 513: Es ist falsch.
    3. 513 : 9 = 57
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 57
  3. ★24
    Lea erhält für 305 · 48 das Ergebnis 14.740. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 50 = 15.000
    2. 14.740 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 305 · 48 = 14.640
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 14.640

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 43 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    12438
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 43
    2. 12 + 8 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 43 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kisten16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 16
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 87 = 70 + ___
    6787
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 87 um 3 kleiner werden: 87 − 3 = 84
    3. 70 + 84 = 154
    Ergebnis:
    84
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 115 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 115 um 2 größer: 117.
    3. 117 − 30 = 87
    Ergebnis:
    117
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 18?
    1086
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 8 = 48
    3. 6 · 18 = 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 8, zusammen 108

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 67 + 54 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    675433
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    154

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 37
    4937
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    312

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 329 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 329 : 7?
    329: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 6 = 6 · ___
    12 · 6=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 41 + 87? Nenne ihn und rechne.
    13 + 41 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 141

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 59 · 35 das Ergebnis 2065. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2065

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 65
  2. 86
  3. 821
  4. 147
  5. 271
  6. 1387
  7. 408
  8. 392
  9. 177
  10. 36
  11. 45
  12. 54
  13. 62
  14. 76
  15. 53
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 810
  19. zerlegen, 441
  20. gegensinnig verändern, 859
  21. schriftlich, 3235
  22. falsch, richtig ist 27
  23. falsch, richtig ist 57
  24. falsch, richtig ist 14.640
  25. 63
  26. 160 Bälle
  27. 84
  28. 117
  29. 343
  30. 6 · 10 und 6 · 8, zusammen 108
  31. 154
  32. 86
  33. 312
  34. 47
  35. 12
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. vertauschen, 141
  38. stimmt, 2065
  39. 35
  40. 77
  41. 26
  42. 38