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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 9 + 8 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (6 + 8) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
    2. 14 · 8 = 112
    Ergebnis:
    112

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 54. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 8 + 34 + 22 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
83422
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 34
  2. 8 + 22 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 34 = 64
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 34
  2. 8 + 22 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 34 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 22 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    132217
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 17 + 22
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 22
    2. 13 + 17 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 22 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●2
    Rechne geschickt: 23 + 21 + 37
    232137
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 37 + 21
    2. 23 + 37 = 60
    3. 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★3
    Ben rechnet 82 + 615 + 218 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    82615218
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 82 + 218 + 615
    2. 82 + 218 = 300
    3. 300 + 615 = 915
    Ergebnis:
    915

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 85 = 40 + ___
3885
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 85 um 2 kleiner werden: 85 − 2 = 83
  3. 40 + 83 = 123
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 85 um 2 kleiner werden: 85 − 2 = 83
  3. 40 + 83 = 123
Ergebnis:
83

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 85
    3985
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 85 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 85 gibt 1 ab.
    2. 39 + 85 = 40 + 84
    3. 40 + 84 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 77
    9777
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    2. 97 + 77 = 100 + 74
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 696 + 146 = 700 + ___
    696146
    Lösung zeigen
    1. 696 wird zu 700: 4 mehr.
    2. Also muss 146 um 4 kleiner werden: 146 − 4 = 142
    3. 700 + 142 = 842
    Ergebnis:
    142

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 41
Schritt für Schritt
  1. 41 = 40 + 1
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
  3. 360 + 9 = 369
  1. 41 = 40 + 1
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
  3. 360 + 9 = 369
Ergebnis:
369

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 31
    So fängst du an:
    31 = 30 + 1
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 + 7 = 217
    Ergebnis:
    217
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
    4. 270 + 81 = 351
    Ergebnis:
    351 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 156 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 156 : 4?
156: 4
Schritt für Schritt
  1. 156 = 120 + 36
  2. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
  3. 30 + 9 = 39
  1. 156 = 120 + 36
  2. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
  3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 273 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 273 : 7?
    273: 7
    So fängst du an:
    273 = 210 + 63
    Lösung zeigen
    1. 273 = 210 + 63
    2. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●11
    462 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 462 : 7
    2. 462 = 420 + 42
    3. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1431 : 9
    Lösung zeigen
    1. 1431 = 1350 + 81
    2. 1350 : 9 = 150 und 81 : 9 = 9
    3. 150 + 9 = 159
    Ergebnis:
    159

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 14 = 3 · ___
6 · 14=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 90 − 27 = ___ − 32
    So fängst du an:
    27 wird zu 32: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 32: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 5 größer.
    3. 90 + 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 50 + 75 = 49 + ___
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 49: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 1 größer.
    3. 75 + 1 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 57 + 57 = 59 + ___
    57 + 57=59 + ?
    Lösung zeigen
    1. 57 wird zu 59: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 57 um 2 kleiner.
    3. 57 − 2 = 55
    Ergebnis:
    55

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 260 + 497? Nenne ihn und rechne.
260 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 260 + 497 = 257 + 500
  3. 257 + 500 = 757
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 260 + 497 = 257 + 500
  3. 257 + 500 = 757
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 757

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 24 + 76 + 76? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    vertauschen, 176
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 28? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 224
    Ergebnis:
    zerlegen, 224
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 67? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 7 = 56
    3. Zusammen: 536
    Ergebnis:
    zerlegen, 536

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 369 − 164 und erhält 205. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 205 + 164 = 369
  2. 369 ist genau 369: Es stimmt.
  3. 369 − 164 = 205
  1. Umkehraufgabe: 205 + 164 = 369
  2. 369 ist genau 369: Es stimmt.
  3. 369 − 164 = 205
Ergebnis:
stimmt, 205

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 986 − 453 und erhält 633. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 633 + 453 = 1086
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 633 + 453 = 1086
    2. 1086 ist nicht 986: Es ist falsch.
    3. 986 − 453 = 533
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 533
  2. ●23
    Milan erhält für 49 · 34 das Ergebnis 1866. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1866 liegt zu weit weg. Genau: 49 · 34 = 1666
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1666
  3. ★24
    Milan erhält für 224 · 41 das Ergebnis 8984. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 8984 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 224 · 41 = 9184
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 9184

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 97 + 47 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    97473
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 97 + 3 + 47
    2. 97 + 3 = 100
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kartons. In jedem Karton sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kartons14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 14
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 46
    3946
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 46 gibt 1 ab.
    2. 39 + 46 = 40 + 45
    3. 40 + 45 = 85
    Ergebnis:
    85
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 173 − 49 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 173 um 1 größer: 174.
    3. 174 − 50 = 124
    Ergebnis:
    174
  5. ●29
    Es gibt 8 Hefte mit je 53 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 3 = 24
    4. 400 + 24 = 424
    Ergebnis:
    424 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 25?
    2054
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 5 = 20
    3. 4 · 25 = 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 13 + 11 + 7
    13117
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 25 = 50 + ___
    4925
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    234

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 288 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 62 + 59 = 52 + ___
    62 + 59=52 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 24 + 54 + 76? Nenne ihn und rechne.
    24 + 54 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 154

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 517 − 349 und erhält 268. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 168

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 52
  2. 81
  3. 915
  4. 124
  5. 174
  6. 142
  7. 217
  8. 351 Stühle
  9. 87
  10. 39
  11. 66 Bücher
  12. 159
  13. 95
  14. 76
  15. 55
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 400
  18. 3000
  19. vertauschen, 176
  20. zerlegen, 224
  21. zerlegen, 536
  22. falsch, richtig ist 533
  23. falsch, richtig ist 1666
  24. falsch, richtig ist 9184
  25. 147
  26. 1400 Bälle
  27. 85
  28. 174
  29. 424 Hefte
  30. 4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100
  31. 31
  32. 24
  33. 234
  34. 36
  35. 69
  36. 180
  37. vertauschen, 154
  38. falsch, richtig ist 168
  39. 17
  40. 112
  41. 19
  42. 49