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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 66 − 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 66 − 40 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (6 + 8) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
    2. 14 · 7 = 98
    Ergebnis:
    98

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 8 + 40 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 29. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 14 + 64 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
146426
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 26 + 64
  2. 14 + 26 = 40
  3. 40 + 64 = 104
  1. Vertauschen: 14 + 26 + 64
  2. 14 + 26 = 40
  3. 40 + 64 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 27 + 88 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    278823
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 23 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 23 + 88
    2. 27 + 23 = 50
    3. 50 + 88 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 27 + 43 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    172743
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 43 + 27
    2. 17 + 43 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 27 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★3
    Rechne geschickt: 483 + 224 + 517
    483224517
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 483 + 517 + 224
    2. 483 + 517 = 1000
    3. 1000 + 224 = 1224
    Ergebnis:
    1224

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 68 + 37 als 70 + 37. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
6837
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 68 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 37 = 107.
  3. 2 wieder abziehen: 107 − 2 = 105
  1. Noah hat 68 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 37 = 107.
  3. 2 wieder abziehen: 107 − 2 = 105
Ergebnis:
105

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 197 + 86 als 200 + 86. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    19786
    So fängst du an:
    Emma hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 86 = 286.
    3. 3 wieder abziehen: 286 − 3 = 283
    Ergebnis:
    283
  2. ●5
    Paul rechnet 48 + 94 als 50 + 94. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4894
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 94 = 144.
    3. 2 wieder abziehen: 144 − 2 = 142
    Ergebnis:
    142
  3. ★6
    Mia rechnet 997 + 636 als 1000 + 636. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    997636
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 1000 + 636 = 1636.
    3. 3 wieder abziehen: 1636 − 3 = 1633
    Ergebnis:
    1633

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  3. 540 − 9 = 531
  1. 59 = 60 − 1
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  3. 540 − 9 = 531
Ergebnis:
531

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Hefte mit je 51 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 51
    Lösung zeigen
    1. 7 · 51
    2. 51 = 50 + 1
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    4. 350 + 7 = 357
    Ergebnis:
    357 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 − 6 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
    3. 240 + 72 = 312
    Ergebnis:
    312

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

126 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 126 : 9
  2. 126 = 90 + 36
  3. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
  4. 10 + 4 = 14
  1. 126 : 9
  2. 126 = 90 + 36
  3. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
  4. 10 + 4 = 14
Ergebnis:
14 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 208 : 8
    So fängst du an:
    208 = 160 + 48
    Lösung zeigen
    1. 208 = 160 + 48
    2. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    Zerlege 75 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 75 : 3?
    75: 3
    Lösung zeigen
    1. 75 = 60 + 15
    2. 60 : 3 = 20 und 15 : 3 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 196 : 7
    Lösung zeigen
    1. 196 = 140 + 56
    2. 140 : 7 = 20 und 56 : 7 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 73 − 21 = ___ − 23
Schritt für Schritt
  1. 21 wird zu 23: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 2 größer.
  3. 73 + 2 = 75
  1. 21 wird zu 23: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 2 größer.
  3. 73 + 2 = 75
Ergebnis:
75

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 18 · 14 = 9 · ___
    18 · 14=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 51 − 26 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 2 größer.
    3. 51 + 2 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 64 − 55 = ___ − 56
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 56: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 64 um 1 größer.
    3. 64 + 1 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lea verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 31 + 36 + 69? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    vertauschen, 136
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 27? Nenne ihn und rechne.
    9 · 27zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 7 = 63
    3. Zusammen: 243
    Ergebnis:
    zerlegen, 243
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 51? Nenne ihn und rechne.
    5 · 51zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. Zusammen: 255
    Ergebnis:
    zerlegen, 255

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 82 · 35 das Ergebnis 3070. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3070 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 35 = 2870
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3070 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 35 = 2870
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2870

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 52 · 44 das Ergebnis 2388. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 40 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 2388 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 52 · 44 = 2288
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2288
  2. ●23
    Ben rechnet 763 − 543 und erhält 220. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 220 + 543 = 763
    2. 763 ist genau 763: Es stimmt.
    3. 763 − 543 = 220
    Ergebnis:
    stimmt, 220
  3. ★24
    Zeynep rechnet 9518 − 2672 und erhält 6846. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 6846 + 2672 = 9518
    2. 9518 ist genau 9518: Es stimmt.
    3. 9518 − 2672 = 6846
    Ergebnis:
    stimmt, 6846

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 54 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    35417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 17 + 54
    2. 3 + 17 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 54 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 9 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons9 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 9
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 9 = 900
    Ergebnis:
    900 Bälle
  3. ●27
    Zeynep rechnet 47 + 46 als 50 + 46. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    4746
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 46 = 96.
    3. 3 wieder abziehen: 96 − 3 = 93
    Ergebnis:
    93
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 108 − 29
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 108 − 29 = 109 − 30
    3. 109 − 30 = 79
    Ergebnis:
    79
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 16 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1064
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 10 = 40
    2. Rechter Teil: 4 · 6 = 24
    3. Zusammen: 40 + 24 = 64
    Ergebnis:
    64 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 76 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    37617
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 74
    9974
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    173

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    275

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 333 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 56 + 88 = 59 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 23 + 72 + 77? Nenne ihn und rechne.
    23 + 72 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 172

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 210 : 5 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    210 : 5Ergebnis 42?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 42

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 138
  2. 87
  3. 1224
  4. 283
  5. 142
  6. 1633
  7. 357 Hefte
  8. 114
  9. 312
  10. 26
  11. 25
  12. 28
  13. 28
  14. 53
  15. 65
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 70
  18. 900
  19. vertauschen, 136
  20. zerlegen, 243
  21. zerlegen, 255
  22. falsch, richtig ist 2288
  23. stimmt, 220
  24. stimmt, 6846
  25. 74
  26. 900 Bälle
  27. 93
  28. 79
  29. 115
  30. 64 Kästchen
  31. 96
  32. 173
  33. 275
  34. 37
  35. 85
  36. 80
  37. vertauschen, 172
  38. stimmt, 42
  39. 26
  40. 98
  41. 48
  42. 20