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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 61 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 61 − 24 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●40
    Rechne: (4 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 3 = 7
    2. 7 · 7 = 49
    Ergebnis:
    49

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 11 + 24 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 22 + 82 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
228228
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 28 + 82
  2. 22 + 28 = 50
  3. 50 + 82 = 132
  1. Vertauschen: 22 + 28 + 82
  2. 22 + 28 = 50
  3. 50 + 82 = 132
Ergebnis:
132

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 28 + 55 + 12
    285512
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 12 + 55
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 12 + 55
    2. 28 + 12 = 40
    3. 40 + 55 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●2
    Noah rechnet 13 + 36 + 87 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    133687
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 87 + 36
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★3
    Rechne geschickt: 134 + 708 + 41 + 66 + 59
    134708416659
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 134 + 66 + 41 + 59 + 708
    2. 134 + 66 = 200 und 41 + 59 = 100
    3. 200 + 100 + 708 = 1008
    Ergebnis:
    1008

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Sofia rechnet 99 + 25 als 100 + 25. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
9925
Schritt für Schritt
  1. Sofia hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 25 = 125.
  3. 1 wieder abziehen: 125 − 1 = 124
  1. Sofia hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 25 = 125.
  3. 1 wieder abziehen: 125 − 1 = 124
Ergebnis:
124

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 37 + 29 als 40 + 29. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    3729
    So fängst du an:
    Emma hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 29 = 69.
    3. 3 wieder abziehen: 69 − 3 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Mia rechnet 39 + 36 als 40 + 36. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3936
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 36 = 76.
    3. 1 wieder abziehen: 76 − 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★6
    Hanna rechnet 996 + 347 als 1000 + 347. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    996347
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 347 = 1347.
    3. 4 wieder abziehen: 1347 − 4 = 1343
    Ergebnis:
    1343

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 20 + 9
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
  3. 140 + 63 = 203
  1. 29 = 20 + 9
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
  3. 140 + 63 = 203
Ergebnis:
203

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Reihen mit je 13 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 13
    Lösung zeigen
    1. 4 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 3 = 12
    4. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 245
    Lösung zeigen
    1. 245 = 200 + 40 + 5
    2. 5 · 200 = 1000; 5 · 40 = 200; 5 · 5 = 25
    3. 1000 + 200 + 25 = 1225
    Ergebnis:
    1225

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 390 : 6
Schritt für Schritt
  1. 390 = 360 + 30
  2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
  3. 60 + 5 = 65
  1. 390 = 360 + 30
  2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
  3. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 130 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 130 : 5?
    130: 5
    So fängst du an:
    130 = 100 + 30
    Lösung zeigen
    1. 130 = 100 + 30
    2. 100 : 5 = 20 und 30 : 5 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    188 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 188 : 4
    2. 188 = 160 + 28
    3. 160 : 4 = 40 und 28 : 4 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 168 : 4
    Lösung zeigen
    1. 168 = 160 + 8
    2. 160 : 4 = 40 und 8 : 4 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 80 − 34 = ___ − 36
Schritt für Schritt
  1. 34 wird zu 36: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 80 um 2 größer.
  3. 80 + 2 = 82
  1. 34 wird zu 36: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 80 um 2 größer.
  3. 80 + 2 = 82
Ergebnis:
82

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 + 27 = 26 + ___
    So fängst du an:
    16 wird zu 26: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 10 kleiner.
    3. 27 − 10 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 76 + 76 = 86 + ___
    76 + 76=86 + ?
    Lösung zeigen
    1. 76 wird zu 86: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 76 um 10 kleiner.
    3. 76 − 10 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 13 = 2 · ___
    4 · 13=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 6 · 82? Nenne ihn und rechne.
6 · 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
  2. 6 · 80 = 480 und 6 · 2 = 12
  3. Zusammen: 492
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
  2. 6 · 80 = 480 und 6 · 2 = 12
  3. Zusammen: 492
Ergebnis:
zerlegen, 492

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 307 + 299? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 307 + 299 = 306 + 300
    3. 306 + 300 = 606
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 606
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 183 : 3 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
183 : 3Ergebnis 71?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 71 · 3 = 213
  2. 213 ist nicht 183: Es ist falsch.
  3. 183 : 3 = 61
  1. Umkehraufgabe: 71 · 3 = 213
  2. 213 ist nicht 183: Es ist falsch.
  3. 183 : 3 = 61
Ergebnis:
falsch, richtig ist 61

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 200 : 5 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    200 : 5Ergebnis 40?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 40 · 5 = 200
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 40 · 5 = 200
    2. 200 ist genau 200: Es stimmt.
    3. 200 : 5 = 40
    Ergebnis:
    stimmt, 40
  2. ●23
    Mia rechnet 192 : 4 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    192 : 4Ergebnis 48?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 48 · 4 = 192
    2. 192 ist genau 192: Es stimmt.
    3. 192 : 4 = 48
    Ergebnis:
    stimmt, 48
  3. ★24
    Hanna erhält für 363 · 19 das Ergebnis 6697. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 6697 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 363 · 19 = 6897
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6897

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 37 + 18 + 3
    37183
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 18
    2. 37 + 3 = 40
    3. 40 + 18 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 13 · 5 · 20 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    13520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 13
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Jonas rechnet 299 + 84 als 300 + 84. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    29984
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 84 = 384.
    3. 1 wieder abziehen: 384 − 1 = 383
    Ergebnis:
    383
  4. ●28
    Elias rechnet 159 − 97 als 159 − 100 und erhält 59. Ist das schon das Ergebnis?
    159 − 97159 − 100
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 59 + 3 = 62
    Ergebnis:
    Nein, 62
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 35 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
    4. 150 + 25 = 175
    Ergebnis:
    175 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 8 + 39 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    83922
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 54 = 40 + ___
    3854
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Hefte mit je 51 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    357 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    468 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 60 + 38 = 59 + ___
    60 + 38=59 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 13 + 51 + 87? Nenne ihn und rechne.
    13 + 51 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 151

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 354 − 165 und erhält 189. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 189

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 95
  2. 136
  3. 1008
  4. 66
  5. 75
  6. 1343
  7. 52 Stühle
  8. 232
  9. 1225
  10. 26
  11. 47 Murmeln
  12. 42
  13. 17
  14. 66
  15. 26
  16. 180
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. gegensinnig verändern, 606
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. stimmt, 40
  23. stimmt, 48
  24. falsch, richtig ist 6897
  25. 58
  26. 1300
  27. 383
  28. Nein, 62
  29. 175 Hefte
  30. 54 Kästchen
  31. 69
  32. 52
  33. 357 Hefte
  34. 52 Murmeln
  35. 39
  36. 200
  37. vertauschen, 151
  38. stimmt, 189
  39. 37
  40. 49
  41. 35
  42. 50