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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 35 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 35 − 24 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 7 + 45 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 26 + 76 + 14
267614
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 26 + 14 + 76
  2. 26 + 14 = 40
  3. 40 + 76 = 116
  1. Vertauschen: 26 + 14 + 76
  2. 26 + 14 = 40
  3. 40 + 76 = 116
Ergebnis:
116

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 72 + 24 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    722428
    So fängst du an:
    Vertauschen: 72 + 28 + 24
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 72 + 28 + 24
    2. 72 + 28 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 17 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    32178
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 8 + 17
    2. 32 + 8 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 17 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 176 + 571 + 84 + 24 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    176571842416
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 176 + 24 + 84 + 16 + 571
    2. 176 + 24 = 200 und 84 + 16 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 571 = 871
    Ergebnis:
    871

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Jonas rechnet 199 + 66 als 200 + 66. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
19966
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 66 = 266.
  3. 1 wieder abziehen: 266 − 1 = 265
  1. Jonas hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 66 = 266.
  3. 1 wieder abziehen: 266 − 1 = 265
Ergebnis:
265

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 38 = 40 + ___
    3838
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 38 um 2 kleiner werden: 38 − 2 = 36
    3. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    36
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 65 = 40 + ___
    3765
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 65 um 3 kleiner werden: 65 − 3 = 62
    3. 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    62
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 178 = 400 + ___
    398178
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 178 um 2 kleiner werden: 178 − 2 = 176
    3. 400 + 176 = 576
    Ergebnis:
    176

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Tüten mit je 32 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 32
  2. 32 = 30 + 2
  3. 3 · 30 = 90 und 3 · 2 = 6
  4. 90 + 6 = 96
  1. 3 · 32
  2. 32 = 30 + 2
  3. 3 · 30 = 90 und 3 · 2 = 6
  4. 90 + 6 = 96
Ergebnis:
96 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★9
    Es gibt 4 Hefte mit je 85 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 85
    2. 85 = 80 + 5
    3. 4 · 80 = 320 und 4 · 5 = 20
    4. 320 + 20 = 340
    Ergebnis:
    340 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 243 : 9
Schritt für Schritt
  1. 243 = 180 + 63
  2. 180 : 9 = 20 und 63 : 9 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 243 = 180 + 63
  2. 180 : 9 = 20 und 63 : 9 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    51 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    51 : 3
    Lösung zeigen
    1. 51 : 3
    2. 51 = 30 + 21
    3. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
    4. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 153 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 153 : 3?
    153: 3
    Lösung zeigen
    1. 153 = 150 + 3
    2. 150 : 3 = 50 und 3 : 3 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    Zerlege 672 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 672 : 4?
    672: 4
    Lösung zeigen
    1. 672 = 640 + 32
    2. 640 : 4 = 160 und 32 : 4 = 8
    3. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 9 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 14 · 13 = 7 · ___
    14 · 13=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 6 = 6 · ___
    12 · 6=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 3 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 384 + 598? Nenne ihn und rechne.
384 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 384 + 598 = 382 + 600
  3. 382 + 600 = 982
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 384 + 598 = 382 + 600
  3. 382 + 600 = 982
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 982

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 226 + 399? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 226 + 399 = 225 + 400
    3. 225 + 400 = 625
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 625
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 49 + 66? Nenne ihn und rechne.
    34 + 49 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    vertauschen, 149
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5437 − 2626? Nenne ihn und rechne.
    5437 − 2626zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 5437 − 2626 = 2811
    Ergebnis:
    schriftlich, 2811

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia erhält für 56 · 22 das Ergebnis 1132. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 1132 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 56 · 22 = 1232
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 1132 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 56 · 22 = 1232
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1232

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 856 − 651 und erhält 305. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 305 + 651 = 956
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 305 + 651 = 956
    2. 956 ist nicht 856: Es ist falsch.
    3. 856 − 651 = 205
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 205
  2. ●23
    Noah rechnet 907 − 808 und erhält 109. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 109 + 808 = 917
    2. 917 ist nicht 907: Es ist falsch.
    3. 907 − 808 = 99
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99
  3. ★24
    Jonas rechnet 3636 − 943 und erhält 2693. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2693 + 943 = 3636
    2. 3636 ist genau 3636: Es stimmt.
    3. 3636 − 943 = 2693
    Ergebnis:
    stimmt, 2693

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 14 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    32148
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 8 + 14
    2. 32 + 8 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 14 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    452
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Elias rechnet 37 + 64 als 40 + 64. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    3764
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 64 = 104.
    3. 3 wieder abziehen: 104 − 3 = 101
    Ergebnis:
    101
  4. ●28
    Ben rechnet 123 − 97 als 123 − 100 und erhält 23. Ist das schon das Ergebnis?
    123 − 97123 − 100
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 23 + 3 = 26
    Ergebnis:
    Nein, 26
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  6. ●30
    Aylin rechnet 3 · 24 so: erst 3 · 20, dann 4 dazu. Aylin erhält 64. Zeige am Bild, was fehlt.
    2043
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 3 · 4 = 12
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 15 + 42 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    15425
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 37 + 27 als 40 + 27. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3727
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    171

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    513 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 4 = 2 · ___
    4 · 4=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 13 + 41 + 87? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 141

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 70 · 35 das Ergebnis 3450. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2450

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 124
  2. 57
  3. 871
  4. 36
  5. 62
  6. 176
  7. 196
  8. 76
  9. 340 Hefte
  10. 17 Bücher
  11. 51
  12. 168
  13. 26
  14. 12
  15. 6
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. gegensinnig verändern, 625
  20. vertauschen, 149
  21. schriftlich, 2811
  22. falsch, richtig ist 205
  23. falsch, richtig ist 99
  24. stimmt, 2693
  25. 54
  26. 40
  27. 101
  28. Nein, 26
  29. 174
  30. 72
  31. 62
  32. 64
  33. 171
  34. 57 Sticker
  35. 8
  36. 200
  37. vertauschen, 141
  38. falsch, richtig ist 2450
  39. 11
  40. 80
  41. 52
  42. 47