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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 3 + 15 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 5 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 4 = 32
    2. 12 + 32 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 15 und erhalte 40. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 14 + 67 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
14676
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 67
  2. 14 + 6 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 67 = 87
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 67
  2. 14 + 6 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 67 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 76 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    237617
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 17 + 76
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 17 + 76
    2. 23 + 17 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 76 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 49 + 41 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    194941
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 41 + 49
    2. 19 + 41 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 49 = 109
    Ergebnis:
    109
  3. ★3
    Sofia rechnet 234 + 224 + 85 + 66 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    234224856615
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 234 + 66 + 85 + 15 + 224
    2. 234 + 66 = 300 und 85 + 15 = 100
    3. 300 + 100 + 224 = 624
    Ergebnis:
    624

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 42
4942
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 42 gibt 1 ab.
  2. 49 + 42 = 50 + 41
  3. 50 + 41 = 91
  1. 49 bekommt 1 dazu, 42 gibt 1 ab.
  2. 49 + 42 = 50 + 41
  3. 50 + 41 = 91
Ergebnis:
91

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 89
    9989
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 89 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 89 gibt 1 ab.
    2. 99 + 89 = 100 + 88
    3. 100 + 88 = 188
    Ergebnis:
    188
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 26 = 100 + ___
    9926
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 26 um 1 kleiner werden: 26 − 1 = 25
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    25
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 576 = 2000 + ___
    1997576
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 576 um 3 kleiner werden: 576 − 3 = 573
    3. 2000 + 573 = 2573
    Ergebnis:
    573

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 56
Schritt für Schritt
  1. 56 = 50 + 6
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 6 = 42
  3. 350 + 42 = 392
  1. 56 = 50 + 6
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 6 = 42
  3. 350 + 42 = 392
Ergebnis:
392

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 54 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 54
    Lösung zeigen
    1. 3 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 4 = 12
    4. 150 + 12 = 162
    Ergebnis:
    162 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 24
    Lösung zeigen
    1. 24 = 20 + 4
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
    3. 160 + 32 = 192
    Ergebnis:
    192
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 83
    Lösung zeigen
    1. 83 = 80 + 3
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 3 = 15
    3. 400 + 15 = 415
    Ergebnis:
    415

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

84 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 84 : 7
  2. 84 = 70 + 14
  3. 70 : 7 = 10 und 14 : 7 = 2
  4. 10 + 2 = 12
  1. 84 : 7
  2. 84 = 70 + 14
  3. 70 : 7 = 10 und 14 : 7 = 2
  4. 10 + 2 = 12
Ergebnis:
12 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 136 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 136 : 8?
    136: 8
    So fängst du an:
    136 = 80 + 56
    Lösung zeigen
    1. 136 = 80 + 56
    2. 80 : 8 = 10 und 56 : 8 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●11
    Zerlege 183 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 183 : 3?
    183: 3
    Lösung zeigen
    1. 183 = 180 + 3
    2. 180 : 3 = 60 und 3 : 3 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 896 : 7
    Lösung zeigen
    1. 896 = 840 + 56
    2. 840 : 7 = 120 und 56 : 7 = 8
    3. 120 + 8 = 128
    Ergebnis:
    128

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 59 + 16 = 60 + ___
59 + 16=60 + ?
Schritt für Schritt
  1. 59 wird zu 60: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 1 kleiner.
  3. 16 − 1 = 15
  1. 59 wird zu 60: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 1 kleiner.
  3. 16 − 1 = 15
Ergebnis:
15

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 37 + 37 = 38 + ___
    So fängst du an:
    37 wird zu 38: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 38: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 1 kleiner.
    3. 37 − 1 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 86 − 38 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 43: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 86 um 5 größer.
    3. 86 + 5 = 91
    Ergebnis:
    91
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 59 + 8 · 3 = 8 · ___
    8 · 59 + 8 · 3=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 59 und 8 mal 3 sind zusammen 8 mal (59 + 3).
    3. 59 + 3 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 321 + 399? Nenne ihn und rechne.
321 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 321 + 399 = 320 + 400
  3. 320 + 400 = 720
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 321 + 399 = 320 + 400
  3. 320 + 400 = 720
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 720

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 198 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 198 + 497 = 195 + 500
    3. 195 + 500 = 695
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 695
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 155 + 399? Nenne ihn und rechne.
    155 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 155 + 399 = 154 + 400
    3. 154 + 400 = 554
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 554

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 873 − 283 und erhält 590. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 590 + 283 = 873
  2. 873 ist genau 873: Es stimmt.
  3. 873 − 283 = 590
  1. Umkehraufgabe: 590 + 283 = 873
  2. 873 ist genau 873: Es stimmt.
  3. 873 − 283 = 590
Ergebnis:
stimmt, 590

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 378 : 7 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    378 : 7Ergebnis 56?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 56 · 7 = 392
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 56 · 7 = 392
    2. 392 ist nicht 378: Es ist falsch.
    3. 378 : 7 = 54
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 54
  2. ●23
    Lina rechnet 975 − 267 und erhält 708. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 708 + 267 = 975
    2. 975 ist genau 975: Es stimmt.
    3. 975 − 267 = 708
    Ergebnis:
    stimmt, 708
  3. ★24
    Hanna rechnet 795 : 5 und erhält 169. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    795 : 5Ergebnis 169?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 169 · 5 = 845
    2. 845 ist nicht 795: Es ist falsch.
    3. 795 : 5 = 159
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 159

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 7 + 88 + 13
    78813
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 88
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 88 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 16 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    16502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 16
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 87 = 70 + ___
    6887
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 87 um 2 kleiner werden: 87 − 2 = 85
    3. 70 + 85 = 155
    Ergebnis:
    85
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 225 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 225 − 199 = 226 − 200
    3. 226 − 200 = 26
    Ergebnis:
    26
  5. ●29
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 13?
    1035
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 3 = 15
    3. 5 · 13 = 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 3, zusammen 65
  6. ●30
    Zerlege 472 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 472 : 8?
    472: 8
    Lösung zeigen
    1. 472 = 400 + 72
    2. 400 : 8 = 50 und 72 : 8 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 26 + 56 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    26564
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 298 + 95 als 300 + 95. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29895
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    393

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 19 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    208 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 45 − 12 = ___ − 22
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 66 · 20 das Ergebnis 1220. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1320

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 116
  2. 109
  3. 624
  4. 188
  5. 25
  6. 573
  7. 162 Hefte
  8. 192
  9. 415
  10. 17
  11. 61
  12. 128
  13. 36
  14. 91
  15. 62
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 210
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. gegensinnig verändern, 695
  21. gegensinnig verändern, 554
  22. falsch, richtig ist 54
  23. stimmt, 708
  24. falsch, richtig ist 159
  25. 108
  26. 1600
  27. 85
  28. 26
  29. 5 · 10 und 5 · 3, zusammen 65
  30. 59
  31. 86
  32. 393
  33. 95 Bonbons
  34. 26 Bücher
  35. 55
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 1320
  39. 18
  40. 40
  41. 44
  42. 25