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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 27 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 27 − 12 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 11 + 48 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 14. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 49 + 23 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
492311
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 49 + 11 + 23
  2. 49 + 11 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 23 = 83
  1. Vertauschen: 49 + 11 + 23
  2. 49 + 11 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 23 = 83
Ergebnis:
83

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 57 + 72 + 43 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    577243
    So fängst du an:
    Vertauschen: 57 + 43 + 72
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 43 + 72
    2. 57 + 43 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    172
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 56 + 79 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    56794
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 79
    2. 56 + 4 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 79 = 139
    Ergebnis:
    139
  3. ★3
    Paul rechnet 189 + 555 + 111 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    189555111
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 189 + 111 + 555
    2. 189 + 111 = 300
    3. 300 + 555 = 855
    Ergebnis:
    855

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ben rechnet 39 + 93 als 40 + 93. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
3993
Schritt für Schritt
  1. Ben hat 39 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 93 = 133.
  3. 1 wieder abziehen: 133 − 1 = 132
  1. Ben hat 39 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 93 = 133.
  3. 1 wieder abziehen: 133 − 1 = 132
Ergebnis:
132

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 25 = 300 + ___
    29725
    So fängst du an:
    297 wird zu 300: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 25 um 3 kleiner werden: 25 − 3 = 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    22
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 47
    9847
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
    2. 98 + 47 = 100 + 45
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★6
    Jonas rechnet 996 + 599 als 1000 + 599. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    996599
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 599 = 1599.
    3. 4 wieder abziehen: 1599 − 4 = 1595
    Ergebnis:
    1595

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
  3. 200 − 5 = 195
  1. 39 = 40 − 1
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
  3. 200 − 5 = 195
Ergebnis:
195

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 37 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 37
    Lösung zeigen
    1. 6 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 7 = 42
    4. 180 + 42 = 222
    Ergebnis:
    222 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  3. ★9
    Es gibt 5 Reihen mit je 76 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 76
    2. 76 = 70 + 6
    3. 5 · 70 = 350 und 5 · 6 = 30
    4. 350 + 30 = 380
    Ergebnis:
    380 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 120 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 120 : 8?
120: 8
Schritt für Schritt
  1. 120 = 80 + 40
  2. 80 : 8 = 10 und 40 : 8 = 5
  3. 10 + 5 = 15
  1. 120 = 80 + 40
  2. 80 : 8 = 10 und 40 : 8 = 5
  3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 124 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 124 : 4?
    124: 4
    So fängst du an:
    124 = 120 + 4
    Lösung zeigen
    1. 124 = 120 + 4
    2. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    Zerlege 612 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 612 : 9?
    612: 9
    Lösung zeigen
    1. 612 = 540 + 72
    2. 540 : 9 = 60 und 72 : 9 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★12
    Zerlege 690 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 690 : 6?
    690: 6
    Lösung zeigen
    1. 690 = 660 + 30
    2. 660 : 6 = 110 und 30 : 6 = 5
    3. 110 + 5 = 115
    Ergebnis:
    115

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 45 − 36 = ___ − 38
Schritt für Schritt
  1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 45 um 2 größer.
  3. 45 + 2 = 47
  1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 45 um 2 größer.
  3. 45 + 2 = 47
Ergebnis:
47

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 77 − 54 = ___ − 64
    So fängst du an:
    54 wird zu 64: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 54 wird zu 64: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 10 größer.
    3. 77 + 10 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 − 35 = ___ − 36
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 36: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 1 größer.
    3. 42 + 1 = 43
    Ergebnis:
    43
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 + 25 = 48 + ___
    51 + 25=48 + ?
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 48: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 25 um 3 größer.
    3. 25 + 3 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 26 + 45 + 74? Nenne ihn und rechne.
26 + 45 + 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 26 + 74 = 100
  3. 100 + 45 = 145
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 26 + 74 = 100
  3. 100 + 45 = 145
Ergebnis:
vertauschen, 145

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 31? Nenne ihn und rechne.
    6 · 31zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. Zusammen: 186
    Ergebnis:
    zerlegen, 186
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 153 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 153 + 598 = 151 + 600
    3. 151 + 600 = 751
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 751

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 906 − 685 und erhält 211. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 211 + 685 = 896
  2. 896 ist nicht 906: Es ist falsch.
  3. 906 − 685 = 221
  1. Umkehraufgabe: 211 + 685 = 896
  2. 896 ist nicht 906: Es ist falsch.
  3. 906 − 685 = 221
Ergebnis:
falsch, richtig ist 221

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas erhält für 33 · 29 das Ergebnis 957. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 30 = 900
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 30 = 900
    2. 957 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 33 · 29 = 957
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 957
  2. ●23
    Lina rechnet 552 : 6 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    552 : 6Ergebnis 94?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 94 · 6 = 564
    2. 564 ist nicht 552: Es ist falsch.
    3. 552 : 6 = 92
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 92
  3. ★24
    Aylin erhält für 185 · 14 das Ergebnis 3590. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 3590 liegt zu weit weg. Genau: 185 · 14 = 2590
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2590

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Milan rechnet 16 + 72 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    16724
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 72
    2. 16 + 4 = 20
    3. 20 + 72 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 3 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    352
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 3
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Lea rechnet 49 + 76 als 50 + 76. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4976
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 76 = 126.
    3. 1 wieder abziehen: 126 − 1 = 125
    Ergebnis:
    125
  4. ●28
    Sofia rechnet 109 − 97 als 109 − 100 und erhält 9. Ist das schon das Ergebnis?
    109 − 97109 − 100
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 9 + 3 = 12
    Ergebnis:
    Nein, 12
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 7 = 63
    3. 270 + 63 = 333
    Ergebnis:
    333
  6. ●30
    Zeynep rechnet 5 · 13 so: erst 5 · 10, dann 3 dazu. Zeynep erhält 53. Zeige am Bild, was fehlt.
    1035
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 8 + 15 + 52 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    81552
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 36 = 70 + ___
    6736
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    477

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 288 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 288 : 6?
    288: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 70 + 49 = 69 + ___
    70 + 49=69 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 30 + 32 + 70? Nenne ihn und rechne.
    30 + 32 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 132

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 720 : 9 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    720 : 9Ergebnis 82?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 172
  2. 139
  3. 855
  4. 22
  5. 145
  6. 1595
  7. 222 Stühle
  8. 232
  9. 380 Stühle
  10. 31
  11. 68
  12. 115
  13. 87
  14. 43
  15. 28
  16. 90
  17. 400
  18. 900
  19. zerlegen, 186
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. gegensinnig verändern, 751
  22. stimmt, 957
  23. falsch, richtig ist 92
  24. falsch, richtig ist 2590
  25. 92
  26. 30
  27. 125
  28. Nein, 12
  29. 333
  30. 65
  31. 75
  32. 33
  33. 477
  34. 48
  35. 50
  36. 70
  37. vertauschen, 132
  38. falsch, richtig ist 80
  39. 15
  40. 36
  41. 59
  42. 5