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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 21 − 14 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (6 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 9 = 15
    2. 15 · 7 = 105
    Ergebnis:
    105

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 2 + 30 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 37 + 44 + 63 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
374463
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 37 + 63 + 44
  2. 37 + 63 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 44 = 144
  1. Vertauschen: 37 + 63 + 44
  2. 37 + 63 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 44 = 144
Ergebnis:
144

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 66 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    176633
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 33 + 66
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 33 + 66
    2. 17 + 33 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 66 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●2
    Tom rechnet 22 + 34 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    223438
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 38 + 34
    2. 22 + 38 = 60
    3. 60 + 34 = 94
    Ergebnis:
    94
  3. ★3
    Lina rechnet 286 + 466 + 714 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    286466714
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 286 + 714 + 466
    2. 286 + 714 = 1000
    3. 1000 + 466 = 1466
    Ergebnis:
    1466

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 84 = 100 + ___
9784
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 84 um 3 kleiner werden: 84 − 3 = 81
  3. 100 + 81 = 181
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 84 um 3 kleiner werden: 84 − 3 = 81
  3. 100 + 81 = 181
Ergebnis:
81

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 26 = 50 + ___
    4826
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 26 um 2 kleiner werden: 26 − 2 = 24
    3. 50 + 24 = 74
    Ergebnis:
    24
  2. ●5
    Sofia rechnet 98 + 85 als 100 + 85. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9885
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 85 = 185.
    3. 2 wieder abziehen: 185 − 2 = 183
    Ergebnis:
    183
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 528 = 2000 + ___
    1997528
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 528 um 3 kleiner werden: 528 − 3 = 525
    3. 2000 + 525 = 2525
    Ergebnis:
    525

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 58
Schritt für Schritt
  1. 58 = 50 + 8
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
  3. 250 + 40 = 290
  1. 58 = 50 + 8
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
  3. 250 + 40 = 290
Ergebnis:
290

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 29
    So fängst du an:
    29 = 20 + 9
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
    3. 140 + 63 = 203
    Ergebnis:
    203
  2. ●8
    Es gibt 6 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 5 = 30
    4. 300 + 30 = 330
    Ergebnis:
    330 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 3 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 4 = 12
    4. 90 + 12 = 102
    Ergebnis:
    102 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

252 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 252 : 9
  2. 252 = 180 + 72
  3. 180 : 9 = 20 und 72 : 9 = 8
  4. 20 + 8 = 28
  1. 252 : 9
  2. 252 = 180 + 72
  3. 180 : 9 = 20 und 72 : 9 = 8
  4. 20 + 8 = 28
Ergebnis:
28 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    162 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    162 : 6
    Lösung zeigen
    1. 162 : 6
    2. 162 = 120 + 42
    3. 120 : 6 = 20 und 42 : 6 = 7
    4. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 272 : 8
    Lösung zeigen
    1. 272 = 240 + 32
    2. 240 : 8 = 30 und 32 : 8 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    776 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 776 : 4
    2. 776 = 760 + 16
    3. 760 : 4 = 190 und 16 : 4 = 4
    4. 190 + 4 = 194
    Ergebnis:
    194 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 12 = 9 · ___
18 · 12=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 7 = 6 · ___
    12 · 7=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 4 = 9 · ___
    18 · 4=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 33 + 69 = 23 + ___
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 23: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 69 um 10 größer.
    3. 69 + 10 = 79
    Ergebnis:
    79

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 349 + 497? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 349 + 497 = 346 + 500
  3. 346 + 500 = 846
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 349 + 497 = 346 + 500
  3. 346 + 500 = 846
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 846

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 23 + 52 + 77? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 362 + 497? Nenne ihn und rechne.
    362 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 362 + 497 = 359 + 500
    3. 359 + 500 = 859
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 859

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 423 − 355 und erhält 168. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 168 + 355 = 523
  2. 523 ist nicht 423: Es ist falsch.
  3. 423 − 355 = 68
  1. Umkehraufgabe: 168 + 355 = 523
  2. 523 ist nicht 423: Es ist falsch.
  3. 423 − 355 = 68
Ergebnis:
falsch, richtig ist 68

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep erhält für 86 · 16 das Ergebnis 2376. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 20 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
    2. 2376 liegt zu weit weg. Genau: 86 · 16 = 1376
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1376
  2. ●23
    Sofia rechnet 390 : 6 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    390 : 6Ergebnis 75?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 75 · 6 = 450
    2. 450 ist nicht 390: Es ist falsch.
    3. 390 : 6 = 65
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 65
  3. ★24
    Lea rechnet 2380 : 5 und erhält 486. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2380 : 5Ergebnis 486?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 486 · 5 = 2430
    2. 2430 ist nicht 2380: Es ist falsch.
    3. 2380 : 5 = 476
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 476

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Aylin rechnet 14 + 81 + 46 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    148146
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 81
    2. 14 + 46 = 60
    3. 60 + 81 = 141
    Ergebnis:
    141
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 15 · 4
    25154
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 15
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 46 = 200 + ___
    19846
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 46 um 2 kleiner werden: 46 − 2 = 44
    3. 200 + 44 = 244
    Ergebnis:
    44
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 96 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 96 um 1 größer: 97.
    3. 97 − 40 = 57
    Ergebnis:
    97
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 28?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 8 = 32
    3. 4 · 28 = 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 26 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    322618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 24
    29924
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    323

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Reihen mit je 37 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    259 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 528 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 10 = 6 · ___
    12 · 10=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 254 + 497? Nenne ihn und rechne.
    254 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 751

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 330 : 6 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    330 : 6Ergebnis 56?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 55

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 116
  2. 94
  3. 1466
  4. 24
  5. 183
  6. 525
  7. 203
  8. 330 Stühle
  9. 102 Stühle
  10. 27 Murmeln
  11. 34
  12. 194 Sticker
  13. 14
  14. 8
  15. 79
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. vertauschen, 152
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. gegensinnig verändern, 859
  22. falsch, richtig ist 1376
  23. falsch, richtig ist 65
  24. falsch, richtig ist 476
  25. 141
  26. 1500
  27. 44
  28. 97
  29. 171
  30. 4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112
  31. 76
  32. 323
  33. 259 Stühle
  34. 66
  35. 20
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 751
  38. falsch, richtig ist 55
  39. 7
  40. 105
  41. 32
  42. 18