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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 36 − 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 36 − 10 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (2 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 2 = 4
    2. 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 5 + 36 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 21. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 19 + 53 + 31 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
195331
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 53
  2. 19 + 31 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 53 = 103
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 53
  2. 19 + 31 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 53 = 103
Ergebnis:
103

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 83 + 8
    12838
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 8 + 83
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 83
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 83 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●2
    Rechne geschickt: 36 + 26 + 24
    362624
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 24 + 26
    2. 36 + 24 = 60
    3. 60 + 26 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★3
    Lea rechnet 774 + 747 + 71 + 226 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    7747477122629
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 774 + 226 + 71 + 29 + 747
    2. 774 + 226 = 1000 und 71 + 29 = 100
    3. 1000 + 100 + 747 = 1847
    Ergebnis:
    1847

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 298 + 89 als 300 + 89. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
29889
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 89 = 389.
  3. 2 wieder abziehen: 389 − 2 = 387
  1. Paul hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 89 = 389.
  3. 2 wieder abziehen: 389 − 2 = 387
Ergebnis:
387

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 99 + 29 als 100 + 29. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    9929
    So fängst du an:
    Zeynep hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 29 = 129.
    3. 1 wieder abziehen: 129 − 1 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 44
    4944
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 44 gibt 1 ab.
    2. 49 + 44 = 50 + 43
    3. 50 + 43 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 676
    398676
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 676 gibt 2 ab.
    2. 398 + 676 = 400 + 674
    3. 400 + 674 = 1074
    Ergebnis:
    1074

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 − 4 = 236
  1. 59 = 60 − 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 − 4 = 236
Ergebnis:
236

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 17
    So fängst du an:
    17 = 10 + 7
    Lösung zeigen
    1. 17 = 10 + 7
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 7 = 63
    3. 90 + 63 = 153
    Ergebnis:
    153
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 5 = 35
    3. 280 + 35 = 315
    Ergebnis:
    315
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 8 = 72
    3. 90 + 72 = 162
    Ergebnis:
    162

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

272 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 272 : 8
  2. 272 = 240 + 32
  3. 240 : 8 = 30 und 32 : 8 = 4
  4. 30 + 4 = 34
  1. 272 : 8
  2. 272 = 240 + 32
  3. 240 : 8 = 30 und 32 : 8 = 4
  4. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    66 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    66 : 3
    Lösung zeigen
    1. 66 : 3
    2. 66 = 60 + 6
    3. 60 : 3 = 20 und 6 : 3 = 2
    4. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22 Sticker
  2. ●11
    111 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 111 : 3
    2. 111 = 90 + 21
    3. 90 : 3 = 30 und 21 : 3 = 7
    4. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37 Bücher
  3. ★12
    668 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 668 : 4
    2. 668 = 640 + 28
    3. 640 : 4 = 160 und 28 : 4 = 7
    4. 160 + 7 = 167
    Ergebnis:
    167 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 68 + 41 = 69 + ___
68 + 41=69 + ?
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 69: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 1 kleiner.
  3. 41 − 1 = 40
  1. 68 wird zu 69: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 1 kleiner.
  3. 41 − 1 = 40
Ergebnis:
40

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 16 · 8 = 8 · ___
    16 · 8=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 12 = 2 · ___
    4 · 12=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 50 = ___ − 51
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 51: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 1 größer.
    3. 66 + 1 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 202 + 598? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 202 + 598 = 200 + 600
  3. 200 + 600 = 800
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 202 + 598 = 200 + 600
  3. 200 + 600 = 800
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 800

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 28? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 112
    Ergebnis:
    zerlegen, 112
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 72 · 19 das Ergebnis 1568. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1568 liegt zu weit weg. Genau: 72 · 19 = 1368
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1568 liegt zu weit weg. Genau: 72 · 19 = 1368
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1368

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 943 − 585 und erhält 378. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 378 + 585 = 963
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 378 + 585 = 963
    2. 963 ist nicht 943: Es ist falsch.
    3. 943 − 585 = 358
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 358
  2. ●23
    Tom erhält für 52 · 42 das Ergebnis 2184. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 2184 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 52 · 42 = 2184
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2184
  3. ★24
    Emma erhält für 484 · 17 das Ergebnis 8328. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 20 = 10.000
    2. 8328 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 484 · 17 = 8228
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8228

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 85 + 11 + 15
    851115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 85 + 15 + 11
    2. 85 + 15 = 100
    3. 100 + 11 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 17 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    25174
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 17
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 47
    19947
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 47 gibt 1 ab.
    2. 199 + 47 = 200 + 46
    3. 200 + 46 = 246
    Ergebnis:
    246
  4. ●28
    Mia rechnet 73 − 28 als 73 − 30 und erhält 43. Ist das schon das Ergebnis?
    73 − 2873 − 30
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 43 + 2 = 45
    Ergebnis:
    Nein, 45
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  6. ●30
    Emma rechnet 3 · 21 so: erst 3 · 20, dann 1 dazu. Emma erhält 61. Zeige am Bild, was fehlt.
    2013
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 1 Kästchen, nicht nur 1.
    2. Rechter Teil: 3 · 1 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 67 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    66714
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 297 + 47 als 300 + 47. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29747
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    344

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    318 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 258 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 4 = 2 · ___
    4 · 4=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 35 + 37 + 65? Nenne ihn und rechne.
    35 + 37 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 137

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 23 · 44 das Ergebnis 1012. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1012

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 103
  2. 86
  3. 1847
  4. 128
  5. 93
  6. 1074
  7. 153
  8. 315
  9. 162
  10. 22 Sticker
  11. 37 Bücher
  12. 167 Murmeln
  13. 16
  14. 24
  15. 67
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 210
  18. 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. zerlegen, 112
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 358
  23. stimmt, 2184
  24. falsch, richtig ist 8228
  25. 111
  26. 1700
  27. 246
  28. Nein, 45
  29. 95
  30. 63
  31. 87
  32. 344
  33. 318 Bonbons
  34. 43
  35. 8
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. vertauschen, 137
  38. stimmt, 1012
  39. 26
  40. 16
  41. 41
  42. 9