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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 7 + 15 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 8 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 2 + 25 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 35 + 41 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
35415
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 35 + 5 + 41
  2. 35 + 5 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 41 = 81
  1. Vertauschen: 35 + 5 + 41
  2. 35 + 5 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 41 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 87 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    258715
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 15 + 87
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 15 + 87
    2. 25 + 15 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 87 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●2
    Rechne geschickt: 12 + 55 + 18
    125518
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 55
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 55 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★3
    Rechne geschickt: 418 + 825 + 21 + 582 + 79
    4188252158279
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 418 + 582 + 21 + 79 + 825
    2. 418 + 582 = 1000 und 21 + 79 = 100
    3. 1000 + 100 + 825 = 1925
    Ergebnis:
    1925

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 44
4744
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 44 gibt 3 ab.
  2. 47 + 44 = 50 + 41
  3. 50 + 41 = 91
  1. 47 bekommt 3 dazu, 44 gibt 3 ab.
  2. 47 + 44 = 50 + 41
  3. 50 + 41 = 91
Ergebnis:
91

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 48 = 200 + ___
    19748
    So fängst du an:
    197 wird zu 200: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 48 um 3 kleiner werden: 48 − 3 = 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    45
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 43 = 100 + ___
    9943
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 43 um 1 kleiner werden: 43 − 1 = 42
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    42
  3. ★6
    Elias rechnet 1999 + 424 als 2000 + 424. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    1999424
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 1999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 2000 + 424 = 2424.
    3. 1 wieder abziehen: 2424 − 1 = 2423
    Ergebnis:
    2423

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 54
Schritt für Schritt
  1. 54 = 50 + 4
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 4 = 36
  3. 450 + 36 = 486
  1. 54 = 50 + 4
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 4 = 36
  3. 450 + 36 = 486
Ergebnis:
486

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 13
    Lösung zeigen
    1. 9 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
    4. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 65
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 5 = 35
    3. 420 + 35 = 455
    Ergebnis:
    455

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 280 : 8
Schritt für Schritt
  1. 280 = 240 + 40
  2. 240 : 8 = 30 und 40 : 8 = 5
  3. 30 + 5 = 35
  1. 280 = 240 + 40
  2. 240 : 8 = 30 und 40 : 8 = 5
  3. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 81 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 81 : 3?
    81: 3
    So fängst du an:
    81 = 60 + 21
    Lösung zeigen
    1. 81 = 60 + 21
    2. 60 : 3 = 20 und 21 : 3 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●11
    186 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 186 : 3
    2. 186 = 180 + 6
    3. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 596 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 596 : 4?
    596: 4
    Lösung zeigen
    1. 596 = 560 + 36
    2. 560 : 4 = 140 und 36 : 4 = 9
    3. 140 + 9 = 149
    Ergebnis:
    149

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 73 − 53 = ___ − 58
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 58: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 5 größer.
  3. 73 + 5 = 78
  1. 53 wird zu 58: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 5 größer.
  3. 73 + 5 = 78
Ergebnis:
78

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 73 + 78 = 70 + ___
    73 + 78=70 + ?
    So fängst du an:
    73 wird zu 70: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 70: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 78 um 3 größer.
    3. 78 + 3 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 47 + 18 = 57 + ___
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 10 kleiner.
    3. 18 − 10 = 8
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 13 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 5 · 73? Nenne ihn und rechne.
    5 · 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 73 = 70 + 3.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 3 = 15
    3. Zusammen: 365
    Ergebnis:
    zerlegen, 365
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 36 + 69 + 64? Nenne ihn und rechne.
    36 + 69 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 69 = 169
    Ergebnis:
    vertauschen, 169

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 388 − 119 und erhält 269. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 269 + 119 = 388
  2. 388 ist genau 388: Es stimmt.
  3. 388 − 119 = 269
  1. Umkehraufgabe: 269 + 119 = 388
  2. 388 ist genau 388: Es stimmt.
  3. 388 − 119 = 269
Ergebnis:
stimmt, 269

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 819 : 9 und erhält 91. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    819 : 9Ergebnis 91?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 91 · 9 = 819
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 91 · 9 = 819
    2. 819 ist genau 819: Es stimmt.
    3. 819 : 9 = 91
    Ergebnis:
    stimmt, 91
  2. ●23
    Lea rechnet 513 : 9 und erhält 58. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    513 : 9Ergebnis 58?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 58 · 9 = 522
    2. 522 ist nicht 513: Es ist falsch.
    3. 513 : 9 = 57
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 57
  3. ★24
    Milan rechnet 5198 − 2814 und erhält 2484. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2484 + 2814 = 5298
    2. 5298 ist nicht 5198: Es ist falsch.
    3. 5198 − 2814 = 2384
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2384

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 56 + 19
    115619
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 56
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 56 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●26
    Rechne geschickt: 11 · 5 · 20
    11520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 11
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 49 = 40 + ___
    3749
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
    3. 40 + 46 = 86
    Ergebnis:
    46
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 116 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 116 um 2 größer: 118.
    3. 118 − 40 = 78
    Ergebnis:
    118
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 19 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 9 = 45
    4. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 14 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1047
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. Zusammen: 70 + 28 = 98
    Ergebnis:
    98 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 56 + 38 + 4
    56384
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 96
    6996
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    165

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 168 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 168 : 8?
    168: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 52 + 64 = 50 + ___
    52 + 64=50 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 58? Nenne ihn und rechne.
    5 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 290

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 640 : 8 und erhält 90. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    640 : 8Ergebnis 90?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 127
  2. 85
  3. 1925
  4. 45
  5. 42
  6. 2423
  7. 117 Hefte
  8. 57
  9. 455
  10. 27
  11. 62 Bücher
  12. 149
  13. 81
  14. 8
  15. 26
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. zerlegen, 365
  21. vertauschen, 169
  22. stimmt, 91
  23. falsch, richtig ist 57
  24. falsch, richtig ist 2384
  25. 86
  26. 1100
  27. 46
  28. 118
  29. 95 Stühle
  30. 98 Kästchen
  31. 98
  32. 165
  33. 85
  34. 21
  35. 66
  36. 180
  37. zerlegen, 290
  38. falsch, richtig ist 80
  39. 22
  40. 96
  41. 27
  42. 55