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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 5 + 8 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (3 + 4) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 4 = 7
    2. 7 · 4 = 28
    Ergebnis:
    28

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 8 + 45 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 65 + 67 + 35
656735
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 65 + 35 + 67
  2. 65 + 35 = 100
  3. 100 + 67 = 167
  1. Vertauschen: 65 + 35 + 67
  2. 65 + 35 = 100
  3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
167

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 21 + 44 + 9
    21449
    So fängst du an:
    Vertauschen: 21 + 9 + 44
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 44
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 44 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●2
    Rechne geschickt: 95 + 48 + 5
    95485
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 95 + 5 + 48
    2. 95 + 5 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    148
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 293 + 179 + 707 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    293179707
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 293 + 707 + 179
    2. 293 + 707 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 179 = 1179
    Ergebnis:
    1179

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 76 = 40 + ___
3976
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 76 um 1 kleiner werden: 76 − 1 = 75
  3. 40 + 75 = 115
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 76 um 1 kleiner werden: 76 − 1 = 75
  3. 40 + 75 = 115
Ergebnis:
75

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 47 + 34 als 50 + 34. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    4734
    So fängst du an:
    Zeynep hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 34 = 84.
    3. 3 wieder abziehen: 84 − 3 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 86
    6786
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
    2. 67 + 86 = 70 + 83
    3. 70 + 83 = 153
    Ergebnis:
    153
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 996 + 509 = 1000 + ___
    996509
    Lösung zeigen
    1. 996 wird zu 1000: 4 mehr.
    2. Also muss 509 um 4 kleiner werden: 509 − 4 = 505
    3. 1000 + 505 = 1505
    Ergebnis:
    505

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 14
Schritt für Schritt
  1. 14 = 10 + 4
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 4 = 32
  3. 80 + 32 = 112
  1. 14 = 10 + 4
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 4 = 32
  3. 80 + 32 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Hefte mit je 57 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 9 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    4. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 4 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 8 = 32
    4. 240 + 32 = 272
    Ergebnis:
    272 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 120
    Lösung zeigen
    1. 120 = 100 + 20
    2. 7 · 100 = 700; 7 · 20 = 140
    3. 700 + 140 = 840
    Ergebnis:
    840

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 87 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 87 : 3?
87: 3
Schritt für Schritt
  1. 87 = 60 + 27
  2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
  3. 20 + 9 = 29
  1. 87 = 60 + 27
  2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
  3. 20 + 9 = 29
Ergebnis:
29

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 364 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 364 : 7?
    364: 7
    So fängst du an:
    364 = 350 + 14
    Lösung zeigen
    1. 364 = 350 + 14
    2. 350 : 7 = 50 und 14 : 7 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    135 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 135 : 5
    2. 135 = 100 + 35
    3. 100 : 5 = 20 und 35 : 5 = 7
    4. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27 Bücher
  3. ★12
    621 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 621 : 9
    2. 621 = 540 + 81
    3. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
    4. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 10 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 58 − 46 = ___ − 56
    So fängst du an:
    46 wird zu 56: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 56: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
    3. 58 + 10 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 94 − 17 = ___ − 19
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 19: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 2 größer.
    3. 94 + 2 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 68 + 35 = 70 + ___
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 2 kleiner.
    3. 35 − 2 = 33
    Ergebnis:
    33

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 86? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
  2. 4 · 80 = 320 und 4 · 6 = 24
  3. Zusammen: 344
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
  2. 4 · 80 = 320 und 4 · 6 = 24
  3. Zusammen: 344
Ergebnis:
zerlegen, 344

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 246 + 198? Nenne ihn und rechne.
    246 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 246 + 198 = 244 + 200
    3. 244 + 200 = 444
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 444
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 343 + 497? Nenne ihn und rechne.
    343 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 343 + 497 = 340 + 500
    3. 340 + 500 = 840
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 840
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 68 + 87? Nenne ihn und rechne.
    13 + 68 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 605 − 281 und erhält 334. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 334 + 281 = 615
  2. 615 ist nicht 605: Es ist falsch.
  3. 605 − 281 = 324
  1. Umkehraufgabe: 334 + 281 = 615
  2. 615 ist nicht 605: Es ist falsch.
  3. 605 − 281 = 324
Ergebnis:
falsch, richtig ist 324

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina erhält für 42 · 33 das Ergebnis 1286. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 30 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 1286 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 42 · 33 = 1386
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1386
  2. ●23
    Lea rechnet 372 : 4 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    372 : 4Ergebnis 94?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 94 · 4 = 376
    2. 376 ist nicht 372: Es ist falsch.
    3. 372 : 4 = 93
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 93
  3. ★24
    Tom erhält für 188 · 35 das Ergebnis 6380. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 6380 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 188 · 35 = 6580
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6580

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 16 + 53 + 44
    165344
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 44 + 53
    2. 16 + 44 = 60
    3. 60 + 53 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kartons13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 13
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 45
    6745
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 45 gibt 3 ab.
    2. 67 + 45 = 70 + 42
    3. 70 + 42 = 112
    Ergebnis:
    112
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 113 − 19
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 113 − 19 = 114 − 20
    3. 114 − 20 = 94
    Ergebnis:
    94
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
    4. 150 + 45 = 195
    Ergebnis:
    195 Stühle
  6. ●30
    Elias rechnet 4 · 12 so: erst 4 · 10, dann 2 dazu. Elias erhält 42. Zeige am Bild, was fehlt.
    1024
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 4 · 2 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 38 + 47 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    384722
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    107

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 28 = 300 + ___
    29828
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    328 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 56 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 7 = 6 · ___
    12 · 7=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 67? Nenne ihn und rechne.
    9 · 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 603

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 78 · 36 das Ergebnis 2908. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2808

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 74
  2. 148
  3. 1179
  4. 81
  5. 153
  6. 505
  7. 513 Hefte
  8. 272 Bonbons
  9. 840
  10. 52
  11. 27 Bücher
  12. 69 Bücher
  13. 68
  14. 96
  15. 33
  16. 210
  17. 70
  18. 800
  19. gegensinnig verändern, 444
  20. gegensinnig verändern, 840
  21. vertauschen, 168
  22. falsch, richtig ist 1386
  23. falsch, richtig ist 93
  24. falsch, richtig ist 6580
  25. 113
  26. 1300 Bälle
  27. 112
  28. 94
  29. 195 Stühle
  30. 48
  31. 107
  32. 26
  33. 328 Bonbons
  34. 14
  35. 14
  36. 180
  37. zerlegen, 603
  38. falsch, richtig ist 2808
  39. 13
  40. 28
  41. 53
  42. 38