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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 49 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 49 − 24 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 3 = 33
    Ergebnis:
    33

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 8 + 55 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
85522
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 55
  2. 8 + 22 = 30
  3. 30 + 55 = 85
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 55
  2. 8 + 22 = 30
  3. 30 + 55 = 85
Ergebnis:
85

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 73 + 13 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    731327
    So fängst du an:
    Vertauschen: 73 + 27 + 13
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 73 + 27 + 13
    2. 73 + 27 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 13 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●2
    Rechne geschickt: 42 + 32 + 18
    423218
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 18 + 32
    2. 42 + 18 = 60
    3. 60 + 32 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★3
    Milan rechnet 89 + 543 + 73 + 11 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    89543731127
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 89 + 11 + 73 + 27 + 543
    2. 89 + 11 = 100 und 73 + 27 = 100
    3. 100 + 100 + 543 = 743
    Ergebnis:
    743

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 54
3754
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
  2. 37 + 54 = 40 + 51
  3. 40 + 51 = 91
  1. 37 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
  2. 37 + 54 = 40 + 51
  3. 40 + 51 = 91
Ergebnis:
91

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 69
    6869
    So fängst du an:
    68 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
    2. 68 + 69 = 70 + 67
    3. 70 + 67 = 137
    Ergebnis:
    137
  2. ●5
    Emma rechnet 298 + 24 als 300 + 24. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    29824
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 24 = 324.
    3. 2 wieder abziehen: 324 − 2 = 322
    Ergebnis:
    322
  3. ★6
    Lea rechnet 398 + 688 als 400 + 688. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    398688
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 398 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 400 + 688 = 1088.
    3. 2 wieder abziehen: 1088 − 2 = 1086
    Ergebnis:
    1086

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 43
Schritt für Schritt
  1. 43 = 40 + 3
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 3 = 15
  3. 200 + 15 = 215
  1. 43 = 40 + 3
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 3 = 15
  3. 200 + 15 = 215
Ergebnis:
215

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 68
    Lösung zeigen
    1. 7 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
    4. 420 + 56 = 476
    Ergebnis:
    476 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 8 Hefte mit je 59 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 9 = 72
    4. 400 + 72 = 472
    Ergebnis:
    472 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 5 = 35
    3. 280 + 35 = 315
    Ergebnis:
    315

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 72 : 4
Schritt für Schritt
  1. 72 = 40 + 32
  2. 40 : 4 = 10 und 32 : 4 = 8
  3. 10 + 8 = 18
  1. 72 = 40 + 32
  2. 40 : 4 = 10 und 32 : 4 = 8
  3. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    175 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    175 : 7
    Lösung zeigen
    1. 175 : 7
    2. 175 = 140 + 35
    3. 140 : 7 = 20 und 35 : 7 = 5
    4. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Sticker
  2. ●11
    558 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 558 : 9
    2. 558 = 540 + 18
    3. 540 : 9 = 60 und 18 : 9 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 675 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 675 : 9?
    675: 9
    Lösung zeigen
    1. 675 = 630 + 45
    2. 630 : 9 = 70 und 45 : 9 = 5
    3. 70 + 5 = 75
    Ergebnis:
    75

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 − 46 = ___ − 47
Schritt für Schritt
  1. 46 wird zu 47: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 1 größer.
  3. 51 + 1 = 52
  1. 46 wird zu 47: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 1 größer.
  3. 51 + 1 = 52
Ergebnis:
52

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 4 = 6 · ___
    12 · 4=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 84 − 29 = ___ − 31
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 2 größer.
    3. 84 + 2 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 10 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 38 + 74 + 62? Nenne ihn und rechne.
38 + 74 + 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 38 + 62 = 100
  3. 100 + 74 = 174
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 38 + 62 = 100
  3. 100 + 74 = 174
Ergebnis:
vertauschen, 174

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 27 + 23 + 73? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    vertauschen, 123
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 3070 − 1437? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3070 − 1437 = 1633
    Ergebnis:
    schriftlich, 1633

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 320 : 5 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
320 : 5Ergebnis 64?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 64 · 5 = 320
  2. 320 ist genau 320: Es stimmt.
  3. 320 : 5 = 64
  1. Umkehraufgabe: 64 · 5 = 320
  2. 320 ist genau 320: Es stimmt.
  3. 320 : 5 = 64
Ergebnis:
stimmt, 64

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 200 : 4 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    200 : 4Ergebnis 60?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 60 · 4 = 240
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 60 · 4 = 240
    2. 240 ist nicht 200: Es ist falsch.
    3. 200 : 4 = 50
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 50
  2. ●23
    Jonas rechnet 135 : 3 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    135 : 3Ergebnis 55?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 55 · 3 = 165
    2. 165 ist nicht 135: Es ist falsch.
    3. 135 : 3 = 45
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 45
  3. ★24
    Paul rechnet 5737 − 4252 und erhält 1485. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1485 + 4252 = 5737
    2. 5737 ist genau 5737: Es stimmt.
    3. 5737 − 4252 = 1485
    Ergebnis:
    stimmt, 1485

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 29 + 22 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    82922
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 22 + 29
    2. 8 + 22 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 29 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 9 · 5
    2095
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 9
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 9 = 900
    Ergebnis:
    900
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 38
    6938
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 38 gibt 1 ab.
    2. 69 + 38 = 70 + 37
    3. 70 + 37 = 107
    Ergebnis:
    107
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 183 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 183 um 2 größer: 185.
    3. 185 − 50 = 135
    Ergebnis:
    185
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  6. ●30
    Aylin rechnet 5 · 26 so: erst 5 · 20, dann 6 dazu. Aylin erhält 106. Zeige am Bild, was fehlt.
    2065
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 5 · 6 = 30
    3. 100 + 30 = 130
    Ergebnis:
    130

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 12 + 75 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    12758
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 44
    29844
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    342

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    296 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 212 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 212 : 4?
    212: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 50 − 28 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 340 : 5 und erhält 67. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    340 : 5Ergebnis 67?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 68

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 113
  2. 92
  3. 743
  4. 137
  5. 322
  6. 1086
  7. 476 Bonbons
  8. 472 Hefte
  9. 315
  10. 25 Sticker
  11. 62 Murmeln
  12. 75
  13. 8
  14. 86
  15. 20
  16. 70
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. vertauschen, 123
  21. schriftlich, 1633
  22. falsch, richtig ist 50
  23. falsch, richtig ist 45
  24. stimmt, 1485
  25. 59
  26. 900
  27. 107
  28. 185
  29. 147
  30. 130
  31. 95
  32. 342
  33. 296 Bonbons
  34. 53
  35. 60
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 68
  39. 25
  40. 33
  41. 49
  42. 51