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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 49 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 49 − 24 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 3 = 33
    Ergebnis:
    33

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 44 + 27 + 6
44276
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 27
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 27 = 77
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 27
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 27 = 77
Ergebnis:
77

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 79 + 14 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    791421
    So fängst du an:
    Vertauschen: 79 + 21 + 14
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 79 + 21 + 14
    2. 79 + 21 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 14 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●2
    Rechne geschickt: 12 + 39 + 8
    12398
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 39
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★3
    Rechne geschickt: 261 + 884 + 39
    26188439
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 261 + 39 + 884
    2. 261 + 39 = 300
    3. 300 + 884 = 1184
    Ergebnis:
    1184

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 42
29942
Schritt für Schritt
  1. 299 bekommt 1 dazu, 42 gibt 1 ab.
  2. 299 + 42 = 300 + 41
  3. 300 + 41 = 341
  1. 299 bekommt 1 dazu, 42 gibt 1 ab.
  2. 299 + 42 = 300 + 41
  3. 300 + 41 = 341
Ergebnis:
341

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 25 = 200 + ___
    19925
    So fängst du an:
    199 wird zu 200: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 25 um 1 kleiner werden: 25 − 1 = 24
    3. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    24
  2. ●5
    Can rechnet 298 + 25 als 300 + 25. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    29825
    Lösung zeigen
    1. Can hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 25 = 325.
    3. 2 wieder abziehen: 325 − 2 = 323
    Ergebnis:
    323
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 696 + 679 = 700 + ___
    696679
    Lösung zeigen
    1. 696 wird zu 700: 4 mehr.
    2. Also muss 679 um 4 kleiner werden: 679 − 4 = 675
    3. 700 + 675 = 1375
    Ergebnis:
    675

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 32
    So fängst du an:
    32 = 30 + 2
    Lösung zeigen
    1. 32 = 30 + 2
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 2 = 14
    3. 210 + 14 = 224
    Ergebnis:
    224
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 137
    Lösung zeigen
    1. 137 = 100 + 30 + 7
    2. 7 · 100 = 700; 7 · 30 = 210; 7 · 7 = 49
    3. 700 + 210 + 49 = 959
    Ergebnis:
    959

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

225 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 225 : 5
  2. 225 = 200 + 25
  3. 200 : 5 = 40 und 25 : 5 = 5
  4. 40 + 5 = 45
  1. 225 : 5
  2. 225 = 200 + 25
  3. 200 : 5 = 40 und 25 : 5 = 5
  4. 40 + 5 = 45
Ergebnis:
45 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    154 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    154 : 7
    Lösung zeigen
    1. 154 : 7
    2. 154 = 140 + 14
    3. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
    4. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 364 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 364 : 7?
    364: 7
    Lösung zeigen
    1. 364 = 350 + 14
    2. 350 : 7 = 50 und 14 : 7 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 198 : 6
    Lösung zeigen
    1. 198 = 180 + 18
    2. 180 : 6 = 30 und 18 : 6 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 15 = 8 · ___
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 73 + 31 = 72 + ___
    73 + 31=72 + ?
    So fängst du an:
    73 wird zu 72: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 72: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 31 um 1 größer.
    3. 31 + 1 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 91 − 31 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 41: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 10 größer.
    3. 91 + 10 = 101
    Ergebnis:
    101
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 11 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 58? Nenne ihn und rechne.
5 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
  3. Zusammen: 290
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
  3. Zusammen: 290
Ergebnis:
zerlegen, 290

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 261 + 399? Nenne ihn und rechne.
    261 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 261 + 399 = 260 + 400
    3. 260 + 400 = 660
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 660
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 45? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 225
    Ergebnis:
    zerlegen, 225
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 588 − 168 und erhält 520. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 520 + 168 = 688
  2. 688 ist nicht 588: Es ist falsch.
  3. 588 − 168 = 420
  1. Umkehraufgabe: 520 + 168 = 688
  2. 688 ist nicht 588: Es ist falsch.
  3. 588 − 168 = 420
Ergebnis:
falsch, richtig ist 420

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 78 · 17 das Ergebnis 1226. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 20 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1226 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 17 = 1326
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1326
  2. ●23
    Tom rechnet 459 − 214 und erhält 235. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 235 + 214 = 449
    2. 449 ist nicht 459: Es ist falsch.
    3. 459 − 214 = 245
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 245
  3. ★24
    Zeynep rechnet 2697 − 2450 und erhält 237. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 237 + 2450 = 2687
    2. 2687 ist nicht 2697: Es ist falsch.
    3. 2697 − 2450 = 247
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 247

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 15 + 21 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    152115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 15 + 21
    2. 15 + 15 = 30
    3. 30 + 21 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●26
    Rechne geschickt: 19 · 50 · 2
    19502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 19
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 77
    29877
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 77 gibt 2 ab.
    2. 298 + 77 = 300 + 75
    3. 300 + 75 = 375
    Ergebnis:
    375
  4. ●28
    Lea rechnet 54 − 28 als 54 − 30 und erhält 24. Ist das schon das Ergebnis?
    54 − 2854 − 30
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 24 + 2 = 26
    Ergebnis:
    Nein, 26
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
    3. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117
  6. ●30
    Ben rechnet 5 · 13 so: erst 5 · 10, dann 3 dazu. Ben erhält 53. Zeige am Bild, was fehlt.
    1035
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 97 + 41 + 3
    97413
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    141

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 298 + 48 als 300 + 48. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    29848
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    346

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 52
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    260

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 39 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 6 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 47 + 37 + 53? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 137

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 48 · 15 das Ergebnis 720. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 720

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 114
  2. 59
  3. 1184
  4. 24
  5. 323
  6. 675
  7. 224
  8. 147
  9. 959
  10. 22 Sticker
  11. 52
  12. 33
  13. 32
  14. 101
  15. 22
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. gegensinnig verändern, 660
  20. zerlegen, 225
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 1326
  23. falsch, richtig ist 245
  24. falsch, richtig ist 247
  25. 51
  26. 1900
  27. 375
  28. Nein, 26
  29. 117
  30. 65
  31. 141
  32. 346
  33. 260
  34. 13
  35. 12
  36. 90
  37. vertauschen, 137
  38. stimmt, 720
  39. 25
  40. 33
  41. 49
  42. 51