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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 31 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 31 − 8 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 9 = 144
    Ergebnis:
    144

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 6 + 16 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 76. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 21 + 54 + 29
215429
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 54
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 54 = 104
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 54
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 54 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 35 + 27 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    352715
    So fängst du an:
    Vertauschen: 35 + 15 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 27
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 27 = 77
    Ergebnis:
    77
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 88 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    348826
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 26 + 88
    2. 34 + 26 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 185 + 611 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    18561115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 185 + 15 + 611
    2. 185 + 15 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 611 = 811
    Ergebnis:
    811

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 97
3997
Schritt für Schritt
  1. 39 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
  2. 39 + 97 = 40 + 96
  3. 40 + 96 = 136
  1. 39 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
  2. 39 + 97 = 40 + 96
  3. 40 + 96 = 136
Ergebnis:
136

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 39 + 27 als 40 + 27. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    3927
    So fängst du an:
    Lea hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 27 = 67.
    3. 1 wieder abziehen: 67 − 1 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 73 = 50 + ___
    4973
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
    3. 50 + 72 = 122
    Ergebnis:
    72
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 704 = 500 + ___
    497704
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 704 um 3 kleiner werden: 704 − 3 = 701
    3. 500 + 701 = 1201
    Ergebnis:
    701

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
  4. 120 + 30 = 150
  1. 6 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
  4. 120 + 30 = 150
Ergebnis:
150 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Tüten mit je 35 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 35
    Lösung zeigen
    1. 3 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
    4. 90 + 15 = 105
    Ergebnis:
    105 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 5 Tüten mit je 32 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 2 = 10
    4. 150 + 10 = 160
    Ergebnis:
    160 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

126 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 126 : 3
  2. 126 = 120 + 6
  3. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
  4. 40 + 2 = 42
  1. 126 : 3
  2. 126 = 120 + 6
  3. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
  4. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 612 : 9
    So fängst du an:
    612 = 540 + 72
    Lösung zeigen
    1. 612 = 540 + 72
    2. 540 : 9 = 60 und 72 : 9 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 390 : 6
    Lösung zeigen
    1. 390 = 360 + 30
    2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★12
    1050 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1050 : 6
    2. 1050 = 1020 + 30
    3. 1020 : 6 = 170 und 30 : 6 = 5
    4. 170 + 5 = 175
    Ergebnis:
    175 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 + 27 = 73 + ___
Schritt für Schritt
  1. 83 wird zu 73: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 10 größer.
  3. 27 + 10 = 37
  1. 83 wird zu 73: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 10 größer.
  3. 27 + 10 = 37
Ergebnis:
37

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 73 + 89 = 70 + ___
    73 + 89=70 + ?
    So fängst du an:
    73 wird zu 70: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 70: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 3 größer.
    3. 89 + 3 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 − 43 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 45: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
    3. 59 + 2 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 16 · 10 = 8 · ___
    16 · 10=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 65? Nenne ihn und rechne.
6 · 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
  3. Zusammen: 390
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
  3. Zusammen: 390
Ergebnis:
zerlegen, 390

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 39 + 43 + 61? Nenne ihn und rechne.
    39 + 43 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    vertauschen, 143
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 29 + 56 + 71? Nenne ihn und rechne.
    29 + 56 + 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 29 + 71 = 100
    3. 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    vertauschen, 156
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 7 · 86? Nenne ihn und rechne.
    7 · 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
    2. 7 · 80 = 560 und 7 · 6 = 42
    3. Zusammen: 602
    Ergebnis:
    zerlegen, 602

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 479 − 202 und erhält 377. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 377 + 202 = 579
  2. 579 ist nicht 479: Es ist falsch.
  3. 479 − 202 = 277
  1. Umkehraufgabe: 377 + 202 = 579
  2. 579 ist nicht 479: Es ist falsch.
  3. 479 − 202 = 277
Ergebnis:
falsch, richtig ist 277

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 470 − 349 und erhält 131. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 131 + 349 = 480
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 131 + 349 = 480
    2. 480 ist nicht 470: Es ist falsch.
    3. 470 − 349 = 121
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 121
  2. ●23
    Lea rechnet 414 : 9 und erhält 46. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    414 : 9Ergebnis 46?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 46 · 9 = 414
    2. 414 ist genau 414: Es stimmt.
    3. 414 : 9 = 46
    Ergebnis:
    stimmt, 46
  3. ★24
    Can erhält für 226 · 14 das Ergebnis 3064. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 3064 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 226 · 14 = 3164
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3164

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 14 + 15 + 36
    141536
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 15
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 6 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    6254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 6
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 96
    4896
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 96 gibt 2 ab.
    2. 48 + 96 = 50 + 94
    3. 50 + 94 = 144
    Ergebnis:
    144
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 224 − 197
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 224 − 197 = 227 − 200
    3. 227 − 200 = 27
    Ergebnis:
    27
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 31
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186
  6. ●30
    Emma rechnet 6 · 26 so: erst 6 · 20, dann 6 dazu. Emma erhält 126. Zeige am Bild, was fehlt.
    2066
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 23 + 74 + 77 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    237477
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 86
    19786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    283

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 145 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 145 : 5?
    145: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 + 77 = 50 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 32 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 32 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 132

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 72 · 36 das Ergebnis 2592. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2592

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 77
  2. 148
  3. 811
  4. 66
  5. 72
  6. 701
  7. 105 Bonbons
  8. 160 Bonbons
  9. 117
  10. 68
  11. 65
  12. 175 Sticker
  13. 92
  14. 61
  15. 20
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 90
  18. 490
  19. vertauschen, 143
  20. vertauschen, 156
  21. zerlegen, 602
  22. falsch, richtig ist 121
  23. stimmt, 46
  24. falsch, richtig ist 3164
  25. 65
  26. 600
  27. 144
  28. 27
  29. 186
  30. 156
  31. 174
  32. 283
  33. 196
  34. 29
  35. 76
  36. 210
  37. vertauschen, 132
  38. stimmt, 2592
  39. 23
  40. 144
  41. 22
  42. 57