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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 61 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 61 − 21 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●40
    Rechne: (4 + 3) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 3 = 7
    2. 7 · 9 = 63
    Ergebnis:
    63

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 7 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 7 = 49
    2. 5 + 49 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 88. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 36 + 77 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
367714
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 77
  2. 36 + 14 = 50
  3. 50 + 77 = 127
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 77
  2. 36 + 14 = 50
  3. 50 + 77 = 127
Ergebnis:
127

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 21 + 25 + 19
    212519
    So fängst du an:
    Vertauschen: 21 + 19 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 19 + 25
    2. 21 + 19 = 40
    3. 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 52 + 79 + 48 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    527948
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 52 + 48 + 79
    2. 52 + 48 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    179
  3. ★3
    Mia rechnet 136 + 565 + 164 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    136565164
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 136 + 164 + 565
    2. 136 + 164 = 300
    3. 300 + 565 = 865
    Ergebnis:
    865

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 37 + 59 als 40 + 59. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
3759
Schritt für Schritt
  1. Can hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 59 = 99.
  3. 3 wieder abziehen: 99 − 3 = 96
  1. Can hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 59 = 99.
  3. 3 wieder abziehen: 99 − 3 = 96
Ergebnis:
96

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 99 + 84 als 100 + 84. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9984
    So fängst du an:
    Noah hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 84 = 184.
    3. 1 wieder abziehen: 184 − 1 = 183
    Ergebnis:
    183
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 69
    19769
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 69 gibt 3 ab.
    2. 197 + 69 = 200 + 66
    3. 200 + 66 = 266
    Ergebnis:
    266
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 998 + 198
    998198
    Lösung zeigen
    1. 998 bekommt 2 dazu, 198 gibt 2 ab.
    2. 998 + 198 = 1000 + 196
    3. 1000 + 196 = 1196
    Ergebnis:
    1196

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Hefte mit je 69 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 69
  2. 69 = 60 + 9
  3. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
  4. 300 + 45 = 345
  1. 5 · 69
  2. 69 = 60 + 9
  3. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
  4. 300 + 45 = 345
Ergebnis:
345 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    4. 90 + 3 = 93
    Ergebnis:
    93 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 6 Hefte mit je 73 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 73
    2. 73 = 70 + 3
    3. 6 · 70 = 420 und 6 · 3 = 18
    4. 420 + 18 = 438
    Ergebnis:
    438 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 87 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 87 : 3?
87: 3
Schritt für Schritt
  1. 87 = 60 + 27
  2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
  3. 20 + 9 = 29
  1. 87 = 60 + 27
  2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
  3. 20 + 9 = 29
Ergebnis:
29

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 39 : 3
    So fängst du an:
    39 = 30 + 9
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 30 : 3 = 10 und 9 : 3 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●11
    Zerlege 272 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 272 : 8?
    272: 8
    Lösung zeigen
    1. 272 = 240 + 32
    2. 240 : 8 = 30 und 32 : 8 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Zerlege 984 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 984 : 8?
    984: 8
    Lösung zeigen
    1. 984 = 960 + 24
    2. 960 : 8 = 120 und 24 : 8 = 3
    3. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    123

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 65 − 48 = ___ − 58
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 65 um 10 größer.
  3. 65 + 10 = 75
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 65 um 10 größer.
  3. 65 + 10 = 75
Ergebnis:
75

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 84 + 62 = 83 + ___
    So fängst du an:
    84 wird zu 83: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 83: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 1 größer.
    3. 62 + 1 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 14 · 10 = 7 · ___
    14 · 10=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 3 · 40 + 3 · 7 = 3 · ___
    3 · 40 + 3 · 7=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 40 und 3 mal 7 sind zusammen 3 mal (40 + 7).
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 341 + 299? Nenne ihn und rechne.
341 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 341 + 299 = 340 + 300
  3. 340 + 300 = 640
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 341 + 299 = 340 + 300
  3. 340 + 300 = 640
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 640

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 7 · 59? Nenne ihn und rechne.
    7 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 413
    Ergebnis:
    zerlegen, 413
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 29? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 29 = 20 + 9.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 145
    Ergebnis:
    zerlegen, 145
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 378 : 7 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
378 : 7Ergebnis 55?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 55 · 7 = 385
  2. 385 ist nicht 378: Es ist falsch.
  3. 378 : 7 = 54
  1. Umkehraufgabe: 55 · 7 = 385
  2. 385 ist nicht 378: Es ist falsch.
  3. 378 : 7 = 54
Ergebnis:
falsch, richtig ist 54

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 460 − 199 und erhält 361. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 361 + 199 = 560
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 361 + 199 = 560
    2. 560 ist nicht 460: Es ist falsch.
    3. 460 − 199 = 261
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 261
  2. ●23
    Mia erhält für 55 · 25 das Ergebnis 1575. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 1575 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 55 · 25 = 1375
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1375
  3. ★24
    Paul rechnet 4865 : 7 und erhält 695. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4865 : 7Ergebnis 695?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 695 · 7 = 4865
    2. 4865 ist genau 4865: Es stimmt.
    3. 4865 : 7 = 695
    Ergebnis:
    stimmt, 695

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 6 + 68 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    66814
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 68
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 68 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kisten13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 13
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 38 = 200 + ___
    19838
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 38 um 2 kleiner werden: 38 − 2 = 36
    3. 200 + 36 = 236
    Ergebnis:
    36
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 117 − 99 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 117 um 1 größer: 118.
    3. 118 − 100 = 18
    Ergebnis:
    118
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  6. ●30
    Tom rechnet 3 · 14 so: erst 3 · 10, dann 4 dazu. Tom erhält 34. Zeige am Bild, was fehlt.
    1043
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 3 · 4 = 12
    3. 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 89 + 24 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    892411
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 67 = 200 + ___
    19767
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 43 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    129 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 126 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 − 47 = ___ − 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Zeynep verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 9 · 33? Nenne ihn und rechne.
    9 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 297

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 442 − 152 und erhält 390. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 290

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 65
  2. 179
  3. 865
  4. 183
  5. 266
  6. 1196
  7. 156
  8. 93 Bonbons
  9. 438 Hefte
  10. 13
  11. 34
  12. 123
  13. 63
  14. 20
  15. 47
  16. 180
  17. 80
  18. 3000
  19. zerlegen, 413
  20. zerlegen, 145
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. falsch, richtig ist 261
  23. falsch, richtig ist 1375
  24. stimmt, 695
  25. 88
  26. 1300 Bälle
  27. 36
  28. 118
  29. 295
  30. 42
  31. 124
  32. 64
  33. 129 Hefte
  34. 42
  35. 57
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. zerlegen, 297
  38. falsch, richtig ist 290
  39. 40
  40. 63
  41. 54
  42. 60