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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 9 + 21 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 13 + 64 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
13647
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 7 + 64
  2. 13 + 7 = 20
  3. 20 + 64 = 84
  1. Vertauschen: 13 + 7 + 64
  2. 13 + 7 = 20
  3. 20 + 64 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 36 + 15 + 14
    361514
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 14 + 15
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 14 + 15
    2. 36 + 14 = 50
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 74 + 25 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    157425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 25 + 74
    2. 15 + 25 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★3
    Rechne geschickt: 37 + 304 + 163
    37304163
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 163 + 304
    2. 37 + 163 = 200
    3. 200 + 304 = 504
    Ergebnis:
    504

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 74 = 50 + ___
4774
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 74 um 3 kleiner werden: 74 − 3 = 71
  3. 50 + 71 = 121
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 74 um 3 kleiner werden: 74 − 3 = 71
  3. 50 + 71 = 121
Ergebnis:
71

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 24
    19924
    So fängst du an:
    199 bekommt 1 dazu, 24 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 24 gibt 1 ab.
    2. 199 + 24 = 200 + 23
    3. 200 + 23 = 223
    Ergebnis:
    223
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 89
    19789
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 89 gibt 3 ab.
    2. 197 + 89 = 200 + 86
    3. 200 + 86 = 286
    Ergebnis:
    286
  3. ★6
    Ben rechnet 699 + 372 als 700 + 372. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    699372
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 372 = 1072.
    3. 1 wieder abziehen: 1072 − 1 = 1071
    Ergebnis:
    1071

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

64 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 64 : 4
  2. 64 = 40 + 24
  3. 40 : 4 = 10 und 24 : 4 = 6
  4. 10 + 6 = 16
  1. 64 : 4
  2. 64 = 40 + 24
  3. 40 : 4 = 10 und 24 : 4 = 6
  4. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 165 : 5
    So fängst du an:
    165 = 150 + 15
    Lösung zeigen
    1. 165 = 150 + 15
    2. 150 : 5 = 30 und 15 : 5 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 348 : 6
    Lösung zeigen
    1. 348 = 300 + 48
    2. 300 : 6 = 50 und 48 : 6 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 711 : 9
    Lösung zeigen
    1. 711 = 630 + 81
    2. 630 : 9 = 70 und 81 : 9 = 9
    3. 70 + 9 = 79
    Ergebnis:
    79

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 10 = 6 · ___
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 85 + 55 = 88 + ___
    85 + 55=88 + ?
    So fängst du an:
    85 wird zu 88: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 85 wird zu 88: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 3 kleiner.
    3. 55 − 3 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 53 − 32 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 42: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 53 um 10 größer.
    3. 53 + 10 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 59 + 4 · 6 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 59 und 4 mal 6 sind zusammen 4 mal (59 + 6).
    3. 59 + 6 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 139 + 399? Nenne ihn und rechne.
139 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 139 + 399 = 138 + 400
  3. 138 + 400 = 538
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 139 + 399 = 138 + 400
  3. 138 + 400 = 538
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 538

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 234 + 497? Nenne ihn und rechne.
    234 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 234 + 497 = 231 + 500
    3. 231 + 500 = 731
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 731
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 78 · 34 das Ergebnis 2652. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2652 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 34 = 2652
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2652 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 34 = 2652
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2652

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 342 : 9 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    342 : 9Ergebnis 48?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 48 · 9 = 432
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 48 · 9 = 432
    2. 432 ist nicht 342: Es ist falsch.
    3. 342 : 9 = 38
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38
  2. ●23
    Zeynep rechnet 407 − 196 und erhält 231. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 231 + 196 = 427
    2. 427 ist nicht 407: Es ist falsch.
    3. 407 − 196 = 211
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 211
  3. ★24
    Tom erhält für 486 · 33 das Ergebnis 17.038. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 30 = 15.000
    2. 17.038 liegt zu weit weg. Genau: 486 · 33 = 16.038
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 16.038

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 22 + 53 + 78 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    225378
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 78 + 53
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    153
  2. ●26
    Rechne geschickt: 13 · 5 · 20
    13520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 13
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Paul rechnet 47 + 58 als 50 + 58. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4758
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 58 = 108.
    3. 3 wieder abziehen: 108 − 3 = 105
    Ergebnis:
    105
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 154 − 99 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 154 um 1 größer: 155.
    3. 155 − 100 = 55
    Ergebnis:
    155
  5. ●29
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1094
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 10 = 40
    2. Rechter Teil: 4 · 9 = 36
    3. Zusammen: 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76 Kästchen
  6. ●30
    Rechne halbschriftlich: 224 : 4
    Lösung zeigen
    1. 224 = 200 + 24
    2. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 18 + 75 + 82
    187582
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    175

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 97 + 94 als 100 + 94. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    9794
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    191

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 164 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 164 : 4?
    164: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 6 · 6 = 3 · ___
    6 · 6=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 24 + 63 + 76? Nenne ihn und rechne.
    24 + 63 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 163

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 354 − 241 und erhält 103. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 113

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 65
  2. 114
  3. 504
  4. 223
  5. 286
  6. 1071
  7. 196
  8. 133
  9. 171
  10. 33
  11. 58
  12. 79
  13. 52
  14. 63
  15. 65
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 90
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 731
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. falsch, richtig ist 38
  23. falsch, richtig ist 211
  24. falsch, richtig ist 16.038
  25. 153
  26. 1300
  27. 105
  28. 155
  29. 76 Kästchen
  30. 56
  31. 175
  32. 191
  33. 95
  34. 41
  35. 12
  36. 80
  37. vertauschen, 163
  38. falsch, richtig ist 113
  39. 30
  40. 40
  41. 28
  42. 55