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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 7 + 12 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (4 + 8) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 8 = 12
    2. 12 · 5 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 8 + 20 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 29. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 37 + 28 + 23
372823
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 37 + 23 + 28
  2. 37 + 23 = 60
  3. 60 + 28 = 88
  1. Vertauschen: 37 + 23 + 28
  2. 37 + 23 = 60
  3. 60 + 28 = 88
Ergebnis:
88

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 11 + 45 + 9
    11459
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 9 + 45
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 9 + 45
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 45 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 21 + 42 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    182142
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 42 + 21
    2. 18 + 42 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★3
    Noah rechnet 11 + 406 + 73 + 89 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    11406738927
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 89 + 73 + 27 + 406
    2. 11 + 89 = 100 und 73 + 27 = 100
    3. 100 + 100 + 406 = 606
    Ergebnis:
    606

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 33 = 300 + ___
29933
Schritt für Schritt
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 33 um 1 kleiner werden: 33 − 1 = 32
  3. 300 + 32 = 332
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 33 um 1 kleiner werden: 33 − 1 = 32
  3. 300 + 32 = 332
Ergebnis:
32

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 67
    9867
    So fängst du an:
    98 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
    2. 98 + 67 = 100 + 65
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    165
  2. ●5
    Lea rechnet 67 + 39 als 70 + 39. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    6739
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 39 = 109.
    3. 3 wieder abziehen: 109 − 3 = 106
    Ergebnis:
    106
  3. ★6
    Can rechnet 496 + 277 als 500 + 277. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    496277
    Lösung zeigen
    1. Can hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 277 = 777.
    3. 4 wieder abziehen: 777 − 4 = 773
    Ergebnis:
    773

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 15 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
  4. 80 + 40 = 120
  1. 8 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 5 = 40
  4. 80 + 40 = 120
Ergebnis:
120 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
    3. 300 + 42 = 342
    Ergebnis:
    342
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 275 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 275 : 5?
275: 5
Schritt für Schritt
  1. 275 = 250 + 25
  2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 275 = 250 + 25
  2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    126 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    126 : 6
    Lösung zeigen
    1. 126 : 6
    2. 126 = 120 + 6
    3. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
    4. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21 Sticker
  2. ●11
    342 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 342 : 9
    2. 342 = 270 + 72
    3. 270 : 9 = 30 und 72 : 9 = 8
    4. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 427 : 7
    Lösung zeigen
    1. 427 = 420 + 7
    2. 420 : 7 = 60 und 7 : 7 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 12 = 6 · ___
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 62 = ___ − 64
    So fängst du an:
    62 wird zu 64: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 64: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 2 größer.
    3. 91 + 2 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 − 33 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 38: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 5 größer.
    3. 49 + 5 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 41 + 31 = 31 + ___
    41 + 31=31 + ?
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 31: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 31 um 10 größer.
    3. 31 + 10 = 41
    Ergebnis:
    41

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 201 + 497? Nenne ihn und rechne.
201 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 201 + 497 = 198 + 500
  3. 198 + 500 = 698
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 201 + 497 = 198 + 500
  3. 198 + 500 = 698
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 698

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 43 + 27 + 57? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 43 + 57 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    vertauschen, 127
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 22 + 36 + 78? Nenne ihn und rechne.
    22 + 36 + 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    vertauschen, 136
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 21 + 71 + 79? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    vertauschen, 171

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 225 : 3 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
225 : 3Ergebnis 77?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 77 · 3 = 231
  2. 231 ist nicht 225: Es ist falsch.
  3. 225 : 3 = 75
  1. Umkehraufgabe: 77 · 3 = 231
  2. 231 ist nicht 225: Es ist falsch.
  3. 225 : 3 = 75
Ergebnis:
falsch, richtig ist 75

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 946 − 817 und erhält 139. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 139 + 817 = 956
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 139 + 817 = 956
    2. 956 ist nicht 946: Es ist falsch.
    3. 946 − 817 = 129
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 129
  2. ●23
    Milan erhält für 40 · 37 das Ergebnis 2480. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 2480 liegt zu weit weg. Genau: 40 · 37 = 1480
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1480
  3. ★24
    Can erhält für 158 · 18 das Ergebnis 3044. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
    2. 3044 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 158 · 18 = 2844
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2844

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 31 + 13 + 69 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    311369
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 69 + 13
    2. 31 + 69 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 13 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 17
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 88
    6888
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 88 gibt 2 ab.
    2. 68 + 88 = 70 + 86
    3. 70 + 86 = 156
    Ergebnis:
    156
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 193 − 99 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 193 um 1 größer: 194.
    3. 194 − 100 = 94
    Ergebnis:
    194
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 52
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 2 = 12
    3. 300 + 12 = 312
    Ergebnis:
    312
  6. ●30
    Jonas rechnet 5 · 18 so: erst 5 · 10, dann 8 dazu. Jonas erhält 58. Zeige am Bild, was fehlt.
    1085
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 5 · 8 = 40
    3. 50 + 40 = 90
    Ergebnis:
    90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 35 + 43 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    35435
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Noah rechnet 99 + 83 als 100 + 83. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9983
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    182

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 64
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    256

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 90 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 99 − 82 = ___ − 92
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    109

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 30 + 46 + 70? Nenne ihn und rechne.
    30 + 46 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 146

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 484 − 417 und erhält 67. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 67

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 65
  2. 81
  3. 606
  4. 165
  5. 106
  6. 773
  7. 133
  8. 342
  9. 261
  10. 21 Sticker
  11. 38 Murmeln
  12. 61
  13. 93
  14. 54
  15. 41
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. vertauschen, 127
  20. vertauschen, 136
  21. vertauschen, 171
  22. falsch, richtig ist 129
  23. falsch, richtig ist 1480
  24. falsch, richtig ist 2844
  25. 113
  26. 1700 Bälle
  27. 156
  28. 194
  29. 312
  30. 90
  31. 83
  32. 182
  33. 256
  34. 18
  35. 109
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. vertauschen, 146
  38. stimmt, 67
  39. 19
  40. 60
  41. 28
  42. 25