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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 3 + 10 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 6 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 12 + 36 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 32 + 25 + 28
322528
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 32 + 28 + 25
  2. 32 + 28 = 60
  3. 60 + 25 = 85
  1. Vertauschen: 32 + 28 + 25
  2. 32 + 28 = 60
  3. 60 + 25 = 85
Ergebnis:
85

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 6 + 21 + 14
    62114
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 14 + 21
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 21
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 21 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 94 + 52 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    94526
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 94 + 6 + 52
    2. 94 + 6 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★3
    Lea rechnet 65 + 436 + 84 + 135 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    654368413516
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 65 + 135 + 84 + 16 + 436
    2. 65 + 135 = 200 und 84 + 16 = 100
    3. 200 + 100 + 436 = 736
    Ergebnis:
    736

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 33
3933
Schritt für Schritt
  1. 39 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
  2. 39 + 33 = 40 + 32
  3. 40 + 32 = 72
  1. 39 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
  2. 39 + 33 = 40 + 32
  3. 40 + 32 = 72
Ergebnis:
72

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 199 + 38 als 200 + 38. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    19938
    So fängst du an:
    Lea hat 199 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 38 = 238.
    3. 1 wieder abziehen: 238 − 1 = 237
    Ergebnis:
    237
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 69 = 70 + ___
    6869
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 69 um 2 kleiner werden: 69 − 2 = 67
    3. 70 + 67 = 137
    Ergebnis:
    67
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 699 + 197 = 700 + ___
    699197
    Lösung zeigen
    1. 699 wird zu 700: 1 mehr.
    2. Also muss 197 um 1 kleiner werden: 197 − 1 = 196
    3. 700 + 196 = 896
    Ergebnis:
    196

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 13
  2. 13 = 10 + 3
  3. 3 · 10 = 30 und 3 · 3 = 9
  4. 30 + 9 = 39
  1. 3 · 13
  2. 13 = 10 + 3
  3. 3 · 10 = 30 und 3 · 3 = 9
  4. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 57
    So fängst du an:
    57 = 50 + 7
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 7 = 28
    3. 200 + 28 = 228
    Ergebnis:
    228
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  3. ★9
    Es gibt 9 Hefte mit je 59 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 9 = 81
    4. 450 + 81 = 531
    Ergebnis:
    531 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

318 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 318 : 6
  2. 318 = 300 + 18
  3. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
  4. 50 + 3 = 53
  1. 318 : 6
  2. 318 = 300 + 18
  3. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
  4. 50 + 3 = 53
Ergebnis:
53 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 42 : 3
    So fängst du an:
    42 = 30 + 12
    Lösung zeigen
    1. 42 = 30 + 12
    2. 30 : 3 = 10 und 12 : 3 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    Zerlege 290 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 290 : 5?
    290: 5
    Lösung zeigen
    1. 290 = 250 + 40
    2. 250 : 5 = 50 und 40 : 5 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    Zerlege 783 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 783 : 9?
    783: 9
    Lösung zeigen
    1. 783 = 720 + 63
    2. 720 : 9 = 80 und 63 : 9 = 7
    3. 80 + 7 = 87
    Ergebnis:
    87

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 + 16 = 61 + ___
Schritt für Schritt
  1. 59 wird zu 61: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 2 kleiner.
  3. 16 − 2 = 14
  1. 59 wird zu 61: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 2 kleiner.
  3. 16 − 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 80 − 24 = ___ − 29
    So fängst du an:
    24 wird zu 29: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 29: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 80 um 5 größer.
    3. 80 + 5 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 75 + 35 = 76 + ___
    Lösung zeigen
    1. 75 wird zu 76: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 1 kleiner.
    3. 35 − 1 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 33 + 31 = 30 + ___
    33 + 31=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 30: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 31 um 3 größer.
    3. 31 + 3 = 34
    Ergebnis:
    34

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 289 + 198? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 289 + 198 = 287 + 200
  3. 287 + 200 = 487
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 289 + 198 = 287 + 200
  3. 287 + 200 = 487
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 487

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 5 · 46? Nenne ihn und rechne.
    5 · 46zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
    3. Zusammen: 230
    Ergebnis:
    zerlegen, 230
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 39 + 52 + 61? Nenne ihn und rechne.
    39 + 52 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 25 + 52 + 75? Nenne ihn und rechne.
    25 + 52 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 135 : 3 und erhält 45. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
135 : 3Ergebnis 45?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 45 · 3 = 135
  2. 135 ist genau 135: Es stimmt.
  3. 135 : 3 = 45
  1. Umkehraufgabe: 45 · 3 = 135
  2. 135 ist genau 135: Es stimmt.
  3. 135 : 3 = 45
Ergebnis:
stimmt, 45

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 493 − 255 und erhält 248. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 248 + 255 = 503
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 248 + 255 = 503
    2. 503 ist nicht 493: Es ist falsch.
    3. 493 − 255 = 238
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 238
  2. ●23
    Milan rechnet 741 − 412 und erhält 329. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 329 + 412 = 741
    2. 741 ist genau 741: Es stimmt.
    3. 741 − 412 = 329
    Ergebnis:
    stimmt, 329
  3. ★24
    Hanna erhält für 423 · 33 das Ergebnis 14.959. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 30 = 12.000
    2. 14.959 liegt zu weit weg. Genau: 423 · 33 = 13.959
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 13.959

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 83 + 19
    118319
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 83
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 83 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 19 · 2
    5192
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 19
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 79 = 70 + ___
    6879
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 79 um 2 kleiner werden: 79 − 2 = 77
    3. 70 + 77 = 147
    Ergebnis:
    77
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 92 − 29 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 92 um 1 größer: 93.
    3. 93 − 30 = 63
    Ergebnis:
    93
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 17
    Lösung zeigen
    1. 17 = 10 + 7
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 7 = 21
    3. 30 + 21 = 51
    Ergebnis:
    51
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 19?
    1093
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 9 = 27
    3. 3 · 19 = 30 + 27 = 57
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 9, zusammen 57

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 36 + 21 + 4
    36214
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 46 = 70 + ___
    6946
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 33
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 282 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 + 36 = 88 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 64? Nenne ihn und rechne.
    6 · 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 384

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 61 · 48 das Ergebnis 2728. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2928

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 41
  2. 152
  3. 736
  4. 237
  5. 67
  6. 196
  7. 228
  8. 472
  9. 531 Hefte
  10. 14
  11. 58
  12. 87
  13. 85
  14. 34
  15. 34
  16. 210
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. zerlegen, 230
  20. vertauschen, 152
  21. vertauschen, 152
  22. falsch, richtig ist 238
  23. stimmt, 329
  24. falsch, richtig ist 13.959
  25. 113
  26. 190
  27. 77
  28. 93
  29. 51
  30. 3 · 10 und 3 · 9, zusammen 57
  31. 61
  32. 45
  33. 132
  34. 47
  35. 33
  36. 200
  37. zerlegen, 384
  38. falsch, richtig ist 2928
  39. 13
  40. 90
  41. 48
  42. 54