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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 59 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 59 − 35 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (5 + 8) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 8 = 13
    2. 13 · 5 = 65
    Ergebnis:
    65

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 6 + 12 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 42. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 7 + 65 + 13
76513
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 65
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 65 = 85
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 65
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 65 = 85
Ergebnis:
85

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Emma rechnet 56 + 12 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    56124
    So fängst du an:
    Vertauschen: 56 + 4 + 12
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 12
    2. 56 + 4 = 60
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●2
    Rechne geschickt: 25 + 38 + 15
    253815
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 15 + 38
    2. 25 + 15 = 40
    3. 40 + 38 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Ben rechnet 288 + 511 + 76 + 12 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    288511761224
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 288 + 12 + 76 + 24 + 511
    2. 288 + 12 = 300 und 76 + 24 = 100
    3. 300 + 100 + 511 = 911
    Ergebnis:
    911

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 39
29939
Schritt für Schritt
  1. 299 bekommt 1 dazu, 39 gibt 1 ab.
  2. 299 + 39 = 300 + 38
  3. 300 + 38 = 338
  1. 299 bekommt 1 dazu, 39 gibt 1 ab.
  2. 299 + 39 = 300 + 38
  3. 300 + 38 = 338
Ergebnis:
338

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 77
    9777
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    2. 97 + 77 = 100 + 74
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 39 = 200 + ___
    19939
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 39 um 1 kleiner werden: 39 − 1 = 38
    3. 200 + 38 = 238
    Ergebnis:
    38
  3. ★6
    Paul rechnet 1996 + 549 als 2000 + 549. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    1996549
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 1996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 2000 + 549 = 2549.
    3. 4 wieder abziehen: 2549 − 4 = 2545
    Ergebnis:
    2545

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 51
Schritt für Schritt
  1. 51 = 50 + 1
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
  3. 200 + 4 = 204
  1. 51 = 50 + 1
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
  3. 200 + 4 = 204
Ergebnis:
204

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 69
    So fängst du an:
    69 = 60 + 9
    Lösung zeigen
    1. 69 = 60 + 9
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 9 = 81
    3. 540 + 81 = 621
    Ergebnis:
    621
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
    3. 210 + 49 = 259
    Ergebnis:
    259
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 396 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 396 : 9?
396: 9
Schritt für Schritt
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 9 = 40 und 36 : 9 = 4
  3. 40 + 4 = 44
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 9 = 40 und 36 : 9 = 4
  3. 40 + 4 = 44
Ergebnis:
44

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    310 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    310 : 5
    Lösung zeigen
    1. 310 : 5
    2. 310 = 300 + 10
    3. 300 : 5 = 60 und 10 : 5 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 495 : 9
    Lösung zeigen
    1. 495 = 450 + 45
    2. 450 : 9 = 50 und 45 : 9 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★12
    1143 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1143 : 9
    2. 1143 = 1080 + 63
    3. 1080 : 9 = 120 und 63 : 9 = 7
    4. 120 + 7 = 127
    Ergebnis:
    127 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 4 · 12 = 2 · ___
4 · 12=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 53 − 27 = ___ − 28
    So fängst du an:
    27 wird zu 28: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 53 um 1 größer.
    3. 53 + 1 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 25 + 45 = 26 + ___
    25 + 45=26 + ?
    Lösung zeigen
    1. 25 wird zu 26: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 45 um 1 kleiner.
    3. 45 − 1 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 98 − 57 = ___ − 67
    Lösung zeigen
    1. 57 wird zu 67: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 10 größer.
    3. 98 + 10 = 108
    Ergebnis:
    108

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 219 + 198? Nenne ihn und rechne.
219 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 219 + 198 = 217 + 200
  3. 217 + 200 = 417
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 219 + 198 = 217 + 200
  3. 217 + 200 = 417
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 417

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 15 + 79 + 85? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    vertauschen, 179
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7315 − 2995? Nenne ihn und rechne.
    7315 − 2995zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7315 − 2995 = 4320
    Ergebnis:
    schriftlich, 4320

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 355 − 261 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 84 + 261 = 345
  2. 345 ist nicht 355: Es ist falsch.
  3. 355 − 261 = 94
  1. Umkehraufgabe: 84 + 261 = 345
  2. 345 ist nicht 355: Es ist falsch.
  3. 355 − 261 = 94
Ergebnis:
falsch, richtig ist 94

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 51 · 28 das Ergebnis 2428. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 30 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 2428 liegt zu weit weg. Genau: 51 · 28 = 1428
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1428
  2. ●23
    Aylin rechnet 222 : 3 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    222 : 3Ergebnis 76?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 76 · 3 = 228
    2. 228 ist nicht 222: Es ist falsch.
    3. 222 : 3 = 74
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 74
  3. ★24
    Jonas rechnet 1160 : 8 und erhält 155. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1160 : 8Ergebnis 155?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 155 · 8 = 1240
    2. 1240 ist nicht 1160: Es ist falsch.
    3. 1160 : 8 = 145
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 145

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 34 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    33417
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    1. Vertauschen: 3 + 17 + 34
    2. 3 + 17 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 34 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 15 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2155
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 15
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 15 = 150
    Ergebnis:
    150
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 57 = 300 + ___
    29757
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    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 57 um 3 kleiner werden: 57 − 3 = 54
    3. 300 + 54 = 354
    Ergebnis:
    54
  4. ●28
    Tom rechnet 62 − 47 als 62 − 50 und erhält 12. Ist das schon das Ergebnis?
    62 − 4762 − 50
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 12 + 3 = 15
    Ergebnis:
    Nein, 15
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 33
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 3 = 15
    3. 150 + 15 = 165
    Ergebnis:
    165
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2057
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 5 = 35
    3. Zusammen: 140 + 35 = 175
    Ergebnis:
    175 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 51 + 87 + 9
    51879
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 56
    4856
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    104

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    265

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    136 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 65 + 71 = 67 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 72? Nenne ihn und rechne.
    9 · 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 648

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 82 · 46 das Ergebnis 3772. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 3772

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 72
  2. 78
  3. 911
  4. 174
  5. 38
  6. 2545
  7. 621
  8. 259
  9. 195
  10. 62 Bücher
  11. 55
  12. 127 Sticker
  13. 54
  14. 44
  15. 108
  16. 400
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. vertauschen, 179
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. schriftlich, 4320
  22. falsch, richtig ist 1428
  23. falsch, richtig ist 74
  24. falsch, richtig ist 145
  25. 54
  26. 150
  27. 54
  28. Nein, 15
  29. 165
  30. 175 Kästchen
  31. 147
  32. 104
  33. 265
  34. 34 Sticker
  35. 69
  36. 200
  37. zerlegen, 648
  38. stimmt, 3772
  39. 24
  40. 65
  41. 18
  42. 16